tlber die Honvergenz von Reihen orthogonaler Polynome. H e m Professor ERAARD SCHMIDT zum '76. Geburtstag gewidmet.

Von BELA SZ.-NAGY in Szeged (Ungarn).

(Eingegangen am 19. 4. 1950.)

Q 1. Es sei {q,,(z)} ein auf der mefibaren Menge M definiertes normiertes Ortho-

gonalsystem. Nach einem bekannten Satz von RADEMACHER und MENCHOFF~) ist die Reihe C cfl pn (2)

fast iiberall auf M konvergent fur jede Folge von [reellen) Koeffizienten {c,) , die der Bedisgung

genugt. In diesem Satze konnen die ,,Konvergenzfaktoren(' log'n im allgemeinen durch keine anderen, weniger rasch wachsenden ersetzt werden. Es gibt niimlich nach MENUHOF~) ein normiertes Orthogonalsystem {q,, (q} von der folgenden Eigenschaft : Zu jeder Folge von positiven Zahlen A,, mit

A,, = o(1og'nl.L)

liil3t sich eine Koeffizientenfolge {c,} derart bestimmen, da13

gilt und die Reihe

doch iiberall divergiert. Die von Menchoff konstruierten Funktionen q,, ( x ) sind sogar Polynome , die auf der Grundmenge M (ein endliches lineares Intervall) unter einer gemeinsamen Schranke bleiben :

I%b(s,J s c (n = 1 , 2 , . . . ; Z E Y ) . Es gibt aber besondere normierte Orthogonalsysteme, die auch solche Kon-

vergenzfaktoren zulassen, die weniger rasch als 1og"n wachsen, so vor allem das trigonometrische $ystem, fur das schon logn ein Konvergenzfaktor ists). Das

1) Siehe z. B. S. KACZMARZ und H. STEINHAUS, Theorie der Orthogonalreihen. War- szaws-Lwbw 1935, s. 164.

s) D. MXNCHOFR, Sur 10s multiplicateurs de convergence pour les s6iies de polynomes orthogonaux. Mat. Shornik, n. S. 6 (1939), 27-51.

*) Satz von KOLMOQOROFF, SELNERSTOFF und PLESSNER, siehe z. B. A. ZYQMUND, Trigonometrical series. War.szawa-Lw6w 1935, S. 253.

B. Sz.-Nagy, tfber die Konvergenz von Reihen orthogonaler Polynome. 51

gleiche gilt nach einem Satze von ALEXIT&) fur jedes System von Polynomen {p, ,(x)}, das aus dem Bystem der Potenzfunktionen xq (n = 0 , 1 , 2 , . . .) entsteht, wenn man diese im Interval1 [-1,1] in bezug auf eine integrierbarw Gewichts- funktion w(a) nach dem Verfahren von ERHARD ~CICHIIPIDT orthogonalisiert, vor- ausgesetzt, daS die folpenden Beschranktheitsbedingungen gelten :

b) Ipn(x) I S C (-1 5 ~ $ 1 ; n = 0,1 ,2 , . . .). a) 0s w(x) 4 W , Die vorliegende Note schliefit sich diesem Sat5 von Herrn Alexits an; unser

Ziel ist, uns von den Beschriinktheitsbedingungen moglichst zu befreien. Es stellt sich heraua, daS die erste Bedingung ganz weggelassen und die zweite gemildert werden kann : es genugt, deS die Funktionen p , (x) in jedem abgeschlossenen Interval1 beschrlinkt sind, das ganz im Inneren von [-I, I] liegt.

Diem Bedingung ist z. B. erfiillt bei den normierten Orthogonalpolynomen p p B ) ( x ) von JACOBI, die zur Gewichtsfunktion

w ( z ) = (1 - 5)" (I + s)! (a >. -1, B > -1)

gehorena). Bedeuten P'$ @) (5) die iiblichen (nioht normierten) Jacobischen Polynome, so hat man bekanntlich

mit

Hieraus folgt das spezielle Ergebnis : Far j e d e Koeffizientenfolge (C,) mit

log n CC:-;;-<oO

hvergiert die Re&

fast iiberaU in [-1,1]. cc,,Pc,".@q,) (a> - 1 , /9> -1)

% 2. Wir werden folgenden allgemeineren Satz beweisen :

Sat% Es eei u(x) eine auf [-I) 11 definierte, nicid abmhmende und umndlich viek We& anndmende Fwnkth. D i e Menge der Unstetigkeitsslellen von a(x) sei mit E und die Henge der Stellen, an denen a ( x ) einen endlichen Dif#erential- quotienten besitzt, eei mit E' bezeichmt; ec?dieplich sei Elt die komplerneniiire Menge Btt = [ -1, I] - ( E + El) ; dime id eine Ndmenge.

Es sei {p . , ( z ) ] o h System der Polynmne, o h aua dem System der Potenziunk- tionen x' (nl= 0,1,2, , . .) entsteht, wenn nuan diese im IntervaU [-I, 11 in bezug auf du.s Nap du(z) w h dew Verfhhrerc iron E. 8chaidt ort?qmli&ert. Das he@, p, (x) ist vom Grade n, beginnt mit dem Gliede knx" (k, > O), und ee gilt

l) G. A L B ~ S , Sur la convergence des s6rie~ de polynomes orthogonaux. Comment.

*) Siehe c. B. G. SmaB, Orthogonal polynomieh. New York 1939, S. 07 u. 164. math. Helvetici 16 (1944), 200-208.

4*

52 B. Sz.-N@gy, uber die Konvergenz yon Reihen orthogonaler Polynome.

Ea aei noch uorawgeoetzt, dap ea ein offeneo Internall A C [-1 , 11 dermt gibt, dctp die Funktionen pn(x) in jedem abgeschbeaenen Tedintervall 6 vo011 A beochTankt sind:

(1) ] P ~ ( Z ) I I c d (n = 0 , 1 , 2 , . . .; x E 6).

let dccnn {cn} eine beliebige Koeffizientenfolge mit

m

2 cf: logn < 00 , 1

80 h v e r g i e r t die R&h- W

(3) C cn% (z) 0

&era11 in E und fmt &em11 in A * El in bezug auf dm Ma@ CEa ( 2 ) .

Beweis. Es ist leicht zu sehen, daB (2), und sogar schon die Bedingung c: < 00, die Konvergeni von (3) in jeder Unstetigkeitsstelle x = xo von

a(z) sichert. Man hat ja

also

Urn die Konvergenz fast uberall in A - El zu beweisen, betrachten wir die ,Lebesgueschen Funktionen"

mit

Wir werden zeigen, daB in jedem Punkte Ton A . Ef

(4) L,(x) = 0 (logn) gilt.

ein ebenfalls festes abgeschlos- sene8 Internall, das x,, zum

Es sei xo ein fester Punkt ELUS der Menge A El und 8 = [xo - h , xo + h]

A

Mittelpunkt hat und ga& in A -- - 1 Z# - h ZI X , + h 1

liegt (vgl. die Figur). --- Wegen (1) gilt offenbar a

(6) IKfl(xo, y ) ~ s 4 ( n + 1) fur yE 8. Urn weitere Abschiitzungen zu gewinnen, machen wir von der Forinel von

CHRISTOWEL und DARBOUX Gebrauch :

1) Siehe z. B. SmaO, a. a. O., S. 42.

B. Sz.-Nagy, uber die Konvergenz von Reihen orthogonder Polynome. 53

kn k.+: x~,(z) = k,,z"+' + * * * =-- p , + 1 (z) + (Glieder vom Grade g n) ,

hat man 1

also, nach der Schwarzschen Ungleichung,

Also folgt aus (6) und (1)

(7) und

2 I & ( S O > Y)I I G T - 3 fur yJE 6

- (8) J K , ( ~ ~ : , , ~ ) ~ I ~ ~ ~ D ~ [ I A ( Y ) ~ + I P ~ + ~ ( Y ) I I fur Y E 6=r--1,11--6;

1 hier bedeutet Dd das Maximum von I xo - y 1- fur y E d. h. D, = L. Wenn man n geniigend groB wahlt, dann zerlegen die Punkte

1 1 -1, 5--> x o - ; > 5+,, % + h , 1

das Interval1 [-1 , 11 in funf konsekutive Intervalle. Es sei

j , K d z 0 , Y)I d a M = 4 + 1, + 4 + 1 4 + 1, -1

die entsprechende Zerlegung des Integrals, das L, (xo) definiert. Nach (8) gilt 1

11 + 15 caoa 1 [I pn(y) I + I P n + 1 ( ~ ) I I d&(y) . -1

dnwendung der Schwarzschen Ungleichung ergibt

also

(9) Il + I5 = O(1) fur n --+ 00.

Aus (7) folgt weiter 1 xo--

Integriert man partiell, so erhiilt man

54 B. Sz.-Nagy, Dber die Konvergenz von Reihen orthogoneler Polynome.

Nun strebt die Funktion

fiir y + xo gegen den endlichen Wert d(x0); folglich ist sie beschriinkt in ganzem Intervalle [ -1, 11 *

If(Y)I s A .

Also ist die rechte Seite von (10) kleiner als

1 sB--

2A + A S & = A(2 + loghn) Xo-h

und daher.

(11) I, = 0 (logn) . Eine analoge Rechnung ergibt (12) I4 = 0 (logn).

Urn endlich eine Hbschiitzung von I, zu gewinnen, machen wir von (5 ) Gebrauch. So ergibt sich

, - a ( . p - t ) 2 -32C:a’(z0), -

also

(13)

1 ZC-;; n

I , = O(1).

Aus (9), (ll), (12) und (13) folgt durch Addition

L,, (5) = 0 flogn) , wie behauptet wurde.

Nun kann man folgenden Satz von KAUZKURZ anwendenl): 1st {q,(z)} eia auf der meBbaren Menge M definiertes normiertes Orthogonalsystem und sind die entsprechenden Lebesgueschen Funktionen auf einer Untermenge m C M von der GrbBenordnung O(In) , wo 0 < I , -+ m, so folgt aus C c: A, < 00 die Kon- vergenz von 2 cnpn(z) fast uberall auf m, Dieser Satz, urspriinglich fiir den Fall ausgesprochen, da13 M ein Interval1 und das Ma0 das gewohnliche Lebesgue- sche MaB ist, gilt (wie eine leichte Oberpriifung seines Bewises zei’gt) fiir ein beliebiges Lebesgue-Stieltjessches MaB.

In unseremFalle kann man m = A . El und I, = logn setzen, und so bekornmt man, daB aus (2) die Konvergenz von (3) fast iiberall in A - El (in bezug auf das Ma13 dor(z)) folgt.

Damit ist der Sabz bewiesen.

l ) Siehe KACZMARZ und STEINHAUS, a. a. O., S . 175-176.

B. Sz.-Nagy, uber die Konvergenz von Reihen orthogonaler Polynome. 55

§ 3. 1st a(x) in A singuliir, d. h. ist d (x) = 0 fast uberall in A so ist die Menge

A El vom da(z)-MaBe Null, kurz : eine a-NdZmenge. In diesem Falle ist aIso unser Satz leer.

Im entgegengesetzten Fall, daB af (x) > 0 fast uberall in A , betrachten wir die Menge M derjenigen Punkte von A, in denen die Reihe (3) divergiert. Diese Menge ist gewiB meBbar, ja sogar borelsch, da offenbar

M = q r=1 N = l "i m,n=N 5 M 4

1 wo M,,, die Menge der Punkte 2 von A bedeutet, in denen jpm (z) - p,, (2) I 2 7 ist, Wir wollen zeigen, daB 2 2 eine (gewohnliche) Nullmenge ist.

Da M gewiB keine Punkte von E enthiilt, ist

M = M f + Mff, wo Mf = M * E f , Mff = M - E " .

Da Etf eine Nullmenge ist, ist M f f auch eine Nullmenge. Die Menge M f der Divergenzpunkte in A - E' ist nach unserem Satze eine a-Nullmenge. Wir lassen RUS M f die Menge Mh derjenigen Punkte weg, in denen af (2) = 0 ist; nach der Voraussetzung ist dies eine (gewohnliche) Nullmenge. Der ubriggebliebenq Teil MI,. = M' - MA = M - M f f - MA ist meBbar im gewohnlichen Sinne und ist - zugleich mit M f - eine a-Nullmenge. Das bedeutet, daB die Variation von a(s) auf M ; , d. h. das Ma13 der Bildmenge 8(M\), gleich Null ist. Da aber auf M', uberall a'(z) > 0 gilt, folgt hieraus, daD N: eine Nullmenge (in gewohn- lichem Sinne) ist. Sonst wiire ja

/'af(x)dx> 0;

dieses Integral ist aber gleich der Variation der totalstetigen Komponente at (z) von a(%) auf MI, . Da aber die Variation von at(%) auf M: hochstens gleich der Variation von u(x) ist, und da diese verschwindet, so gelangt man zu einem Widerspruch.

Also ist M ; eine Nullmenge auch im gewohnlichen Sinne, und das gleiche gilt dann auch fur die Menge M = MA + M $ + M f t . Damit ist folgendes gezeigt :

1st unter den Bedingungen des Satzes a f ( x ) > 0 fast .iiberaU in A , 80 fo&t aus ( p ) , dap die Reib (3) f a t iiberall in A konvergiert. (,,Fast uberall" ist hier im gewohnlichen Sinne und nicht in bezug auf a(x) gemeint.)

Insbesondere gilt das, wenn die Verteilung a(%) durch eine fast uberall positive Dichte erzeugt wird, also wenn a(%) die Integralfunktion einer fast uberall positiven Funktion w (5) ist.

M;