V. Algebra und Geometrie

15. Polynome

Definition. Eine formale Summe mit der reellen Variablen x

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn =

n

k

kk xa

0

(15.1)

mit k 0, ak , an ≠ 0 heißt reelles Polynom des Grades n.

p(x) = a0 mit a0 ≠ 0 ist wegen a0 = a0x0 ein Polynom vom Grad 0.

Die Addition und Multiplikation zweier Polynome ist definiert durch

n

k

kk xa

0

+

m

k

kk xb

0

=

)(

0

)(nm,max

k

kkk xba (15.2)

n

k

kk xa

0

)(

m

k

kk xb

0

) =

i

j

nm

i

ijj-i xba

00

)( (15.3)

n

k

kk xa

0

+

m

k

kk xb

0

=

)(

0

)(nm,max

k

kkk xba (15.2)

n

k

kk xa

0

)(

m

k

kk xb

0

) =

i

j

nm

i

ijj-i xba

00

)( (15.3)

(1x0 + 2x1 + 4x2) + (3x0 + 5x1 + 6x3) = 4x0 + 7x1 + 4x2 + 6x3

(1 + 2x + 4x2)(3 + 5x + 6x3) = 3 + 11x + 22x2 + 26x3 + 12x4 + 24x5

n

k

kk xa

0

+

m

k

kk xb

0

=

)(

0

)(nm,max

k

kkk xba (15.2)

n

k

kk xa

0

)(

m

k

kk xb

0

) =

i

j

nm

i

ijj-i xba

00

)( (15.3)

Die Menge aller reellen Polynome ist "fast" ein Körper. Seien p(x), q(x) und r(x) Polynome, dann gilt

Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ.

p(x) [q(x) + r(x)] = p(x) q(x) + p(x) r(x).

p(x) + 0(x) = p(x) mit 0(x) = 0.

p(x) 1(x) = p(x) mit 1(x) = 1x0.

Zu jedem p(x) existiert ein p´(x) mit p(x) + p´(x) = 0(x).

Aber die sechste Bedingung ist nicht für alle p(x) erfüllt.

Zum Beispiel existiert zu

p(x) = x kein p-1(x)

Mit

p(x)p-1(x) = 1(x).

p-1(x) müsste x-1 sein, aber (-1) 0.

Ein mathematisches System, das außer dem letzten alle Axiome eines Körpers erfüllt, heißt kommutativer Ring mit Eins. Falls die Multiplikation nicht kommutativ und kein Einselement vorhanden ist, so spricht man lediglich von einem Ring.

Grad (p(x) + q(x)) ≤ max { Grad (p(x)), Grad (q(x)) }

Grad (p(x) q(x)) = Grad (p(x)) + Grad (q(x))

Damit die zweite Bedingung auch dann noch gilt, wenn das Nullpolynom x 0(x) 0 als Faktor auftritt, setzt man formal Grad (0(x)) = -.

Division liefert b(x) = q(x)a(x) + r(x), mit Grad (r(x)) < Grad(a(x)).

Beispiel: b(x) : a(x) = q(x) Rest r(x) (2x3 + 1x2 + 3x - 1) : (1x2 + 2x + 1) = (2x - 3) Rest (7x + 2) -(2x3 + 4x2 + 2x) (-3x2 + 1x - 1) -(-3x2 - 6x - 3) (7x + 2) b(x) = q(x) a(x) + r(x) (2x3 + x2 + 3x - 1) = (2x - 3) (x2 + 2x + 1) + (7x + 2)

Grad (a(x)) = 2, Grad (r(x)) = 1.

Beispiel: b(x) : a(x) = q(x) Rest r(x) (2x3 + 1x2 + 3x - 1) : (x) = (2x2 + 1x + 3) Rest (-1) -(2x3) (1x2 + 3x -1) -(1x2) (3x -1) -(3x) (-1) b(x) = q(x) a(x) + r(x) (2x3 + x2 + 3x - 1) = (2x2 + x + 3) (x) + (-1) Grad (a(x)) = 1, Grad (r(x)) = 0.

Definition. heißt Nullstelle des Polynoms p(x), wenn

p() = 0

Nach dem Divisionsalgorithmus gilt für a(x) = (x - ): Es existiert ein q(x) und ein r(x) mit Grad (r(x)) < 1, also r(x) = r0 = konstant, so dass

p(x) = q(x) (x - ) + r0

Wird die Nullstelle eingesetzt, so folgt

0 = p() = q() ( - ) + r0 = r0

Satz Wenn eine Nullstelle des Polynoms p(x) ist, so ist p(x) ohne Rest durch (x - ) teilbar.

a(x) ist ein Teiler von b(x), wenn es ein Polynom q(x) gibt, so dass

b(x) = q(x) a(x) (15.4)

Also ist (x - ) ein Teiler von p(x). Ein Teiler kann auch als Faktor aufgefasst werden. Weil (x - ) in x linear ist (x in der ersten Potenz auftritt), heißt (x - ) Linearfaktor.

Dieselbe Überlegung können wir auf q(x) = p(x)/(x - ) anwenden. Ist eine Nullstelle von q(x), so ist (x - ) ein Teiler von q(x). Jeder Teiler von q(x) ist aber gleichzeitig Teiler von

p(x) = q(x) (x - )

Satz Sind 1, ..., s paarweise verschiedenen Nullstellen von p(x), so gilt für geeignetes q(x)

p(x) = q(x) . (x - 1) ... (x - s)

Definition. Ein Polynom p(x) heißt genau dann irreduzibel, wenn es außer der reellen Zahl und Polynomen der Form p(x) mit 0 ≠ keinen weiteren Teiler besitzt. (Analogie zur Primzahl.)

Beispiel: p(x) = x2 + 1 ist irreduzibel.

Diese Definition beruht allerdings darauf, dass wir bisher nur reelle Zahlen betrachtet haben. Lassen wir für auch komplexe Zahlen zu, so ist x2 + 1 reduzibel, denn mit i = -1 ist

x2 + 1 = (x + i) (x - i)

Polynome nullten und ersten Grades sind nach Definition immer irreduzibel. Nach obigem Beispiel gibt es für x auch irreduzible Polynome zweiten Grades. Verwenden wir dagegen auch komplexe Zahlen x , so gilt der 1799 von Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra:

Jedes nichtkonstante Polynom hat mindestens eine Nullstelle

Also gilt mit komplexen Nullstellen :

p(x) = q(x) (x - )

Wenn q(x) wieder ein reduzibles Polynom ist, d.h. Grad (q(x)) ≥ 2, so können wir den Fundamentalsatz abermals anwenden usw.

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

Satz Jedes nichtkonstante komplexe Polynom p(x) besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung

p(x) = (x - 1)n1(x - 2)n2 (x - r)nr

mit , x, 1, ..., r und r, n1, ..., nr . 1, ..., r sind die Nullstellen von p(x). ni heißt Multiplizität der Nullstelle i.

Satz Ist = u + iv mit u, v eine komplexe Nullstelle von p(x), so ist * = u - iv ebenfalls eine Nullstelle von p(x).

Beweis. Buch S. 133

Jedes Polynom kann demnach in der Form geschrieben werden:

p(x) = (x - 1)(x - *1) (x - s)(x - *s)(x - 1) (x - t)

Satz Jedes reelle Polynom lässt sich faktorisieren als Produkt aus Polynomen ersten und zweiten Grades.

Satz Jedes reelle Polynom von ungeradem Grade besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.

Für ungeraden Grad beginnt der Graph von p(x) im negativ Unendlichen und endet im positiv Unendlichen oder umgekehrt. Dabei muss er mindestens einmal die Abszisse kreuzen. Also existiert mindestens eine reelle Nullstelle.p(x) = x3 + x = (x - 0)(x - i)(x + i) 1 = 0, 2 = (-i), 3 = ip(x) = x3 = (x - 0)(x - 0)(x - 0) = 0 (Multiplizität 3)p(x) = x3 - x = (x - 1)(x - 0)(x + 1)1 = (-1), 2 = 0, 3 = 1Für geraden Grad beginnt und endet der Graph auf derselben Seite der Abszisse. Es ist möglich, dass keine reelle Nullstelle existiert.p(x) = x2 + 1 = (x - i)(x + i) keine reelle Nullstellep(x) = x2 = (x - 0)(x - 0) = 0 (Multiplizität 2)p(x) = x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)1 = (-1), 2 = 1Jedes Polynom n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen.

15.1 Geschlossene Lösungsverfahren

Die Menge der Nullstellen eines Polynoms bildet dessen Lösungsmenge. Statt von einer Nullstelle oder Lösung spricht man auch von einer Wurzel des Polynoms. Wie findet man nun diese Wurzeln?

f(x) = ax2 + bx + c

Nullstellen x1 und x2.

Normalform

b/a := p und c/a := q

xi2 + pxi + q = 0 mit i = 1, 2.

"quadratische Ergänzung" (p/2)2

xi2 + pxi +

4

2p =

4

2p - q

xi2 + pxi +

4

2p =

4

2p - q

Nun ist die linke Seite gerade gleich (xi + 2

p)2 so dass

xi = -2

p ± q

p

4

2 (15.9)

also

x1 = -2

p - q

p

4

2 und x2 = -

2

p + q

p

4

2

oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen

xi = -a

acbb

2

42 . (15.10)

xi2 + pxi +

4

2p =

4

2p - q

Nun ist die linke Seite gerade gleich (xi + 2

p)2 so dass

xi = -2

p ± q

p

4

2 (15.9)

also

x1 = -2

p - q

p

4

2 und x2 = -

2

p + q

p

4

2

oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen

xi = -a

acbb

2

42 . (15.10)

xi2 + pxi +

4

2p =

4

2p - q

Nun ist die linke Seite gerade gleich (xi + 2

p)2 so dass

xi = -2

p ± q

p

4

2 (15.9)

also

x1 = -2

p - q

p

4

2 und x2 = -

2

p + q

p

4

2

oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen

xi = -a

acbb

2

42 . (15.10)

xi2 + pxi +

4

2p =

4

2p - q

Nun ist die linke Seite gerade gleich (xi + 2

p)2 so dass

xi = -2

p ± q

p

4

2 (15.9)

also

x1 = -2

p - q

p

4

2 und x2 = -

2

p + q

p

4

2

oder mit den ursprünglichen Bezeichnungen

xi = -a

acbb

2

42 (15.10)

Wie erwartet, finden wir zwei Lösungen, die im Grenzfall 4

2p = q zu

einer Lösung der Multiplizität 2 verschmelzen. Die Lösungen sind aber

nur dann reell, wenn 4

2p q, d. h. wenn

2/

2/

bc

ab 0

xi = -2

p ± q

p

4

2 (15.9)

xi = -a

acbb

2

42 (15.10)

Wir betrachten nun wieder ein allgemeines Polynom, das allerdings in Normalform sein soll (d. h. an = 1), mit den Wurzeln xi

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn

= (x - x1)(x - x2) (x - xn-1)(x - xn)

Ausmultiplizieren der Linearfaktoren ergibt

p(x) = xn - (x1 + x2 + ... + xn)xn-1 + ... + (-1)n(x1x2 xn)

und Koeffizientenvergleich liefert die Sätze von Vieta:

(x1 + x2 + ... + xn) = -an-1

(x1x2 xn) = (-1)na0

In normierten Polynomen ist der Koeffizient der zweithöchsten Potenz gleich der negativen Summe aller Wurzeln. Das absolute Glied ist das Produkt aller Wurzeln, multipliziert mit (-1)n. Diese Sätze dienen als Probe zur Kontrolle der Rechenergebnisse.

Francois Viète (1540 - 1603)

und Koeffizientenvergleich liefert die Sätze von Vieta:

(x1 + x2 + ... + xn) = -an-1

(x1x2 xn) = (-1)na0

In normierten Polynomen ist der Koeffizient der zweithöchsten Potenz gleich der negativen Summe aller Wurzeln. Das absolute Glied ist das Produkt aller Wurzeln, multipliziert mit (-1)n. Diese Sätze dienen als Probe zur Kontrolle der Rechenergebnisse.

Francois Viète (1540 - 1603)

x1 + x2 = -p

x1x2 = q

xi = -2

p ± q

p

4

2

x2 + px + q = 0

Insbesondere folgt für a0 = 0: eine Nullstelle ist 0 besitzen.Der Graph des Polynoms läuft durch den Ursprung.

Satz Sind die Koeffizienten mi eines Polynoms ganzzahlig, so muss das absolute Glied unter seinen ganzzahligen Faktoren auch alle existierenden ganzzahligen Lösungen enthalten.

Beweis. Sei

p(x) = m0 + m1x + m2x2 + ... + mn-1xn-1 + mnxn mit mi

und es existiere eine Nullstelle x1 , d.h. p(x1) = 0, so folgt

m0/x1 = -(m1 + m2x1 + ... + mn-1x1n-2 + mnx1

n-1).

Da rechts eine ganze Zahl steht (Summe aus Produkten aus gan-zen Zahlen), muss auch m0/x1 sein, d.h. x1 ist Teiler von m0.

Beispiel: p(x) = x4 - x3 - 21x2 + x + 20 Faktoren des absoluten Gliedes: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20. Wurzeln: 1, -1, 5 und -4

Satz Sind alle Koeffizienten eines normierten Polynom ganzzahlig, so können die Nullstellen nicht gebrochen rational sein, sondern nur ganz-zahlig, irrational oder komplex. Beweis durch Widerspruch. Sei p(x) = m0 + m1x + m2x2 + ... + mn-1xn-1 + xn und es existiere eine Nullstelle x1 = u/v mit teilerfremden u, v , so folgt aus

n

n

n

n

nv

u

v

um

v

um

v

umm

1

1

12

2

210 ...0

nach Multiplikation mit vn-1

11

322

21

10 ...

n

nnnn

numvumuvmvm

v

u

Rechts steht eine ganze Zahl, also muss auch links eine solche stehen. Wenn aber u und v teilerfremd sind, so sind es auch un und v (Primfak-torzerlegung). Die Annahme war also falsch.

Satz Sind alle Koeffizienten eines normierten Polynom ganzzahlig, so können die Nullstellen nicht gebrochen rational sein, sondern nur ganz-zahlig, irrational oder komplex. Beweis durch Widerspruch. Sei p(x) = m0 + m1x + m2x2 + ... + mn-1xn-1 + xn und es existiere eine Nullstelle x1 = u/v mit teilerfremden u, v , so folgt aus

n

n

n

n

nv

u

v

um

v

um

v

umm

1

1

12

2

210 ...0

nach Multiplikation mit vn-1

11

322

21

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n

nnnn

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v

u

Rechts steht eine ganze Zahl, also muss auch links eine solche stehen. Wenn aber u und v teilerfremd sind, so sind es auch un und v (Primfak-torzerlegung). Die Annahme war also falsch.

Satz Sind alle Koeffizienten eines normierten Polynom ganzzahlig, so können die Nullstellen nicht gebrochen rational sein, sondern nur ganz-zahlig, irrational oder komplex. Beweis durch Widerspruch. Sei p(x) = m0 + m1x + m2x2 + ... + mn-1xn-1 + xn und es existiere eine Nullstelle x1 = u/v mit teilerfremden u, v , so folgt aus

n

n

n

n

nv

u

v

um

v

um

v

umm

1

1

12

2

210 ...0

nach Multiplikation mit vn-1

11

322

21

10 ...

n

nnnn

numvumuvmvm

v

u

Rechts steht eine ganze Zahl, also muss auch links eine solche stehen. Wenn aber u und v teilerfremd sind, so sind es auch un und v (Primfak-torzerlegung). Die Annahme war also falsch.

Satz Sind alle Koeffizienten eines normierten Polynom ganzzahlig, so können die Nullstellen nicht gebrochen rational sein, sondern nur ganz-zahlig, irrational oder komplex. Beweis durch Widerspruch. Sei p(x) = m0 + m1x + m2x2 + ... + mn-1xn-1 + xn und es existiere eine Nullstelle x1 = u/v mit teilerfremden u, v , so folgt aus

n

n

n

n

nv

u

v

um

v

um

v

umm

1

1

12

2

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nach Multiplikation mit vn-1

11

322

21

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n

nnnn

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v

u

Rechts steht eine ganze Zahl, also muss auch links eine solche stehen. Wenn aber u und v teilerfremd sind, so sind es auch un und v (Primfak-torzerlegung). Die Annahme war also falsch.

15.2 Approximation der Nullstellen

Führt Erraten nicht zum Ziel und ist eine geschlossene Lösung nicht möglich oder zu aufwendig, so bedient man sich der näherungsweisen Lösung. Die älteste Methode ist die Regula falsi (das Prinzip des falschen Ansatzes, schon um 870 n. Chr. im arabischen Raum bekannt).

mxx

xpxp

xx

xp

)()(

*

)(

m

xpxx

)(*

Man sucht x+ und x-, für die gilt p(x+) > 0 und p(x-) < 0.

Die Regula falsi hat den Nachteil, dass unter Umständen einer der Punkte x+, x- weit von x1 entfernt bleibt und der Fehler |x* - x1| daher nur sehr langsam abnimmt. Deswegen wendet man die Regula falsi meist nur für die ersten Iterationen an und bedient sich in der Nähe der Nullstelle des Newton-Verfahrens.

Sir Isaac Newton(1642 - 1727)

)(d

d

*

)(

xx

p

xx

xp

)(d

d)(

*

xx

pxp

xx

Sir Isaac Newton(1642 - 1727)

)(d

d

*

)(

xx

p

xx

xp

)(d

d)(

*

xx

pxp

xx

Ungünstige Wahl des Anfangspunktes x+ beim Newton-Verfahren.

Durch den Einsatz moderner Rechner hoher Leistung sind die genannten Verfahren in vielen Anwendungen durch einfache Intervallschachtelung abgelöst worden. Dabei wird das untersuchte Intervall durch

x* = (x- + x+ )/2

lediglich halbiert und x* im nächsten Schritt je nach dem Ergebnis von p(x*) als x- oder x+ eingesetzt.

15.1 Dividieren Sie 2x3 - 2,2x2 - 2,4x + 1,8 durch (x + 1). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle.

15.2 Dividieren Sie x5 - 2x4 + 3x - 6 durch (x - 2). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle.

15.3 Lösen Sie und prüfen Sie die Lösungen mit den Sätzen von Vieta.

x2 + 2x - 8 = 0

x2 - 9 = 0

x2 + 9 = 0

15.4 Finden Sie eine Lösung x3 + x + 30 = 0

[Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert. Verkleinern Sie das Intervall (x-, x+). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.]

15.5 Finden Sie eine Lösung x3 - x2 - 100 = 0

[Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert. Verkleinern Sie das Intervall (x-, x+). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.]