Materialtheorie / Dr. Schargott / Vorlesung 2. Versetzungen: Versetzungen als Grenze einer Schubzone, Burgersvektor, Stufen- und Schraubenverset-zungen. Annihilation von Versetzungen. Die Peach-Köhler-Kraft. Linienspannung einer Versetzung

2. Versetzungen In der folgenden Skizze werden die Bildung und die Bewegung einer Versetzung (sog. Stufenverset-zung) gezeigt. Deren Bewegung von einer Seite des Kristalls zur anderen führt zur Verschiebung des Bereichs oberhalb der Gleit-ebene gegenüber dem unter-halb der Gleitebene um eine Gitterperiode. Der Begriff der Versetzung wurde zum ersten Mal zur Beschreibung der Phänomene in kristallinen Materialien von Taylor sowie unabhängig von ihm von Orowan und Polyani 1934 angewandt. In die-sem Fall geht es um die sogenannte Stufenversetzung. Man kann sich vorstellen, dass eine Stufenver-setzung durch Schneiden des Kristalls entlang einer Halbebene und Hinzufügen einer atomaren zusätz-lichen Halbebene erzeugt wird. Daher besteht das übliche Symbol für die Stufenversetzun-gen aus zwei Strichen, wobei der horizontale Strich die Gleitebene und der vertikale Strich die extra Halbebene bezeichnet.

2.1. Versetzung als Grenze einer Schubzone: Der Burgersvektor Eine andere Definition einer Versetzung hebt ihre unmittelbare Verbindung zwischen den Versetzun-gen und dem plastische Gleiten hervor. Ein Kristallgitter hat folgende offensichtliche Eigenschaft:

Wenn wir einen Teilbereich des Kristallgitters oberhalb einer möglichen Gleitebene gegenüber dem zweiten genau um eine Gitterperiode ver-schieben, so ändert sich der Zustand des Kris-talls nicht.

In einem makroskopisch großen Kristall sollte es möglich sein, diese Verschiebung in einem begrenz-ten Gebiet der Gleitebene auszuführen, so dass nach der Verschiebung sowohl im Bereich, wo die Verschiebung stattgefunden hat, als auch im Bereich, wo keine stattgefunden hat, das beinahe ideale Kristallgitter wiederhergestellt ist. Der verschobene Bereich wird von dem nicht verschobenen Bereich durch eine geschlossene Grenze getrennt, die wir als Versetzungslinie be-zeichnen. Der verschobene Bereich pflanzt sich weiter fort, zusammen mit der Weiterbewegung dieser Grenze – die Versetzung bewegt sich dann. Offenbar ist eine Verschiebung, bei der innerhalb des verschobenen Gebietes keine Defekte zurückbleiben, nur gleich bestimmten Gitterperioden. Dieser Verschiebungsvektor ist also diskret. Er heißt Burgersvektor der Versetzung. Aus der gegebenen Definition kann man sofort die wichtigsten Eigenschaften von Verset-zungen herleiten:

• Der Burgersvektor der Versetzung bleibt entlang einer Versetzungslinie konstant. • Die Versetzungen sind linienhafte Objekte. • Sie können im Inneren eines Kristalls nicht enden. • Der Burgersvektor liegt immer in der Gleitebene einer Versetzung.

Bemerkung: Durch Wachstum (also nicht Gleiten) können auch Versetzungen entstehen, die diese Bedingungen nicht erfüllen.

2.2. Stufen- und Schraubenversetzungen Eine Versetzung kann lokal immer durch drei Vektoren charakterisiert werden: l

!: Der Linienvektor l

!(Einheitsvektor) zeigt immer in Richtung der Versetzungslinie. Man beachte,

dass die Orientierung Konvention ist und willkürlich festgelegt werden kann. b

!: Der Burgersvektor b

!gibt die Größe der Verschiebung an. Meist ist dies ein atomarer Abstand.

Dieser Vektor hat also eine bestimmte Länge Seine Orientierung ist an die von l!

gebunden. m! : Dieser Vektor ist der Normalen-(Einheits-)vektor der Gleitebene.

2.2.1. Stufenversetzungen Mathematisch können wir den Burgersvektor einer Stufenversetzung folgendermaßen definieren (hier am Beispiel eines einfach kubischen Gitters): Wir starten an irgendeinem Punkt und machen einen Umlauf (den sog. Burgersumlauf) um die Versetzung. Der Linienrichtungsvektor läuft in die Darstellungsebene hinein, der Umlauf erfolgt also in Form einer Rechtsschraube (mathematisch positiv). Wir zählen ein Parallelo-gramm ab (hier 2x3), wobei wir uns an den Atomen als „Referenz-punkte“ orientieren. Im idealen Kristall, den wir immer als Referenz heranziehen, wäre ein Parallelogramm natürlich geschlossen. Da eine Versetzung aber einen topologischen Defekt darstellt, ist der Umlauf hier nicht geschlossen. Den Unterschied bezeichnen wir als Burgersvektor. Hier ist er als Differenzvektor vom Ende des Um-lauf zum Anfang definiert. (Bemerkung: Es gibt andere Definitionen, dann ändert sich das Vorzeichen des Burgersvektors). Man beachte, dass die Definition des Burgersvektors an die Linienrichtung gekoppelt ist: Jede Gleichung, die also neben dem Betrag b auch die Richtung b

!enthält, muss auch den Linien-(Einheits-)Vektor l

!

enthalten, wenn das Vorzeichen eine Rolle spielt! Für Stufenversetzungen ist erkennbar, dass der Burgersvektor in der Gleitebene liegt, und der Norma-

leneinheitsvektor auf dieser Gleitebene ist gegeben durch b lm

b

!=

! !! (er zeigt also in Richtung der –

anschaulich - eingeschobenen Ebene). Die „Herstellung“ einer Stufenversetzung können wir uns so vorstellen, dass wir den Körper entlang der Gleitebene „aufschneiden“ und die obere Hälfte bis zur Linie der Versetzung (= Schnittlinie = Ende des geschnittenen Bereichs) um einen atomaren Abstand nach rechts verschieben. Die Verschiebung erfolgt also senkrecht zur Schnittlinie (daher ist der Bur-gersvektor selbstverständlich auch senkrecht zum Linienrichtungsvektor).

2.2.2. Schraubenversetzungen Für Schraubenversetzungen verschieben wir die Ufer des ge-schnittenen Bereichs parallel zur Schnittlinie. Die Atome der beiden Ufer kommen wieder zur Deckung, das funktioniert na-türlich in der unmittelbaren Nachbarschaft der Versetzungslinie nicht, da hier ja wieder ein topologischer Defekt entsteht. Wieder können wir den sog. Burgersumlauf durchführen. Wir erkennen, dass für Schraubenversetzungen Burgersvektor und Linienrichtungsvektor parallel sind. Hier gibt es für den Burgersvek-tor zwei Möglichkeiten: Parallel oder antiparallel zum Linienrich-tungsvektor. Dies sind zwei unterschiedliche Varianten von Schrau-benversetzungen. Diese Unterscheidung wird für die Versetzungs-wechselwirkungen wichtig werden, denn gleichartige Schraubenver-setzungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an. Man beachte, dass hier keine eindeutige Gleitebene existiert: Der Gleit-ebenen-Normalenvektor m! muss immer senkrecht zu b

! und l

! liegen,

was in diesem Fall aber nicht eindeutig ist. Dadurch wird das sogenannte Quergleiten möglich (siehe Bild rechts). So kann es passieren, dass es in einer Kristallebene ein Teil-Versetzungselement gibt, das nicht geschlos-sen ist.

2.2.3. Der allgemeine Fall (gemischte Versetzungen) Eine Versetzung grenzt einen Bereich der Gleitebene, wo bereits eine Ver-schiebung geschehen ist, von einem unverschobenen Bereich ab. Somit ist es klar, dass der Burgersvektor einer Versetzung entlang ihrer Linie konstant bleibt. Der Tangentialvektor der Versetzung (also der Linienrichtungsvektor l

!) dagegen kann sich ändern. Dadurch ändert sich aber auch der Winkel zwi-

schen Linien- und Burgersvektor entlang einer Versetzung und damit auch der

Typ der Versetzung vom Stufen- zum Schraubencharakter oder umgekehrt. Im Allgemeinen haben wir es mit "gemischten" Versetzungen zu tun. Oft gibt es allerdings bevorzugte Richtungen, in denen die Versetzungslinien orientiert sind, wie im Bild einer Versetzungsstruktur in einer intermetallischen Verbindung

3Ni Al zu erkennen ist.

2.3. Annihilation von Versetzungen Treffen zwei Versetzungen in der gleichen Gleitebene aufeinander, und sind ihre Burgersvektoren betragsmäßig gleich, aber antiparallel, so können diese sich gegenseitig vernichten. Dies gilt nur bei gleichem Linienrichtungsvektor. (Bild unten links: die beiden Stufenversetzungen sind gleich, ledig-lich die zusätzlich hineingeschobenen Ebenen sind entgegengesetzt.) Genauso vernichten sich zwei Versetzungen mit gleichem Burgersvektor und antiparallelen Linienrichtungen. (Bild unten rechts): Beide Areale wurden mit der gleichen Verschiebung b

!erzeugt, bei gleichem Umlaufssinn sind die

sich nahekommenden Linien aber entgegengesetzt orientiert. Also können sich die Versetzungen dort gegenseitig vernichten. Anschaulich werden die beiden verschobenen Gebiete einfach verbunden, indem der Zwischenraum nun ebenfalls um b

!

verschoben wird.

2.4. Die Peach-Köhler-Kraft Versetzungen können durch den Kristall laufen. Dafür ist aber eine treibende Kraft nötig. Diese ent-steht, wenn von außen ein Spannungsfeld aufgebracht wird. Allerdings laufen die Versetzungen nicht sofort los, sie müssen erst eine Art „Haftreibung“ in Form einer Schubspannung f! überwinden. Wie groß ist nun die auf eine Versetzungslinie wirkende Kraft? Im Modellkristall mit der Höhe H, der Breite B und der Dicke d wird eine Stufen-versetzung mit der Länge l=d erzeugt. Diese wandert durch den Kristall. Das Bild zeigt nur schematisch, was passiert, in Wirklich-keit ist dem ganzen Prozess noch eine elasti-sche Deformation überlagert. Nehmen wir also an, dass wir eine große Scherspannung ! angelegt ha-ben, bevor die Versetzung anfängt zu laufen. Eine Erhöhung der Spannung führt nun zum Laufen der Versetzung bis zum Ende des Kristalls. Die zusätzlich erforderliche Scherdeformation zur Erhöhung der Spannung wurde dadurch abgebaut, da nun nur die ursprüngliche Deformation vorhanden ist (im Bild ist diese abgezogen, daher ist am Anfang und am Ende gar keine elastische Deformation zu se-hen). Wir können nun die Kraft auf die Versetzung berechnen. denn zum einen haben wir Arbeit ver-richtet, um die zusätzlich elastische Deformation hervorzurufen, andererseits wird gerade diese Arbeit verwendet, um die Versetzung von links nach rechts laufen zu lassen. Es gilt also folgende Gleichung, wobei wir noch annehmen, dass die Spannung ! annähernd konstant bleibt:

, also: L L

bW V BHD f DB f b

H!" ! != = = =

Dabei ist V das Volumen, ! die zusätzlich aufgebrachte Scherdeformation und Lf die Kraft auf die

Versetzung pro Längeneinheit! Lf DB ist also gerade die Arbeit der Versetzung bei konstanter Kraft.

Die Kraft Lf b!= ist die sogenannte Peach-Köhler-Kraft und beschreibt die Kraft auf eine Einheits-

länge einer Versetzung, wenn am Ort der Versetzung die Spannung ! beträgt. (Man beachte, dass dies nicht immer die Spannung sein muss, die von außen an der Kristall angelegt wurde.) Eine genauere Betrachtung erfordert eine tensorielle Darstellung. Wir sehen zum Beispiel sofort, dass die Peach-Köhler-Kraft immer senkrecht zur Versetzungslinie sein muss. Der vektorielle Ausdruck für die Peach-Köhler-Kraft ist: ( )Lf l b!= " #

! ! !, wobei ! der volle Spannungstensor am Versetzungsort ist.

2.5. Die Linienspannung einer Versetzung Wie oben gesehen wirken elastische Spannungsfelder auf Versetzungen. Umgekehrt aber erzeugen Versetzungen aufgrund ihrer Topologie auch Spannungsfelder im umgebenden Material. Mit einer Versetzung hängt also eine zusätzliche Energie zusammen, die proportional zur Länge der Versetzungslinie ist. Diese resultiert aus der Tatsache, dass sich die Atome in der Näher des topologi-schen Defekts „Versetzung“ nicht auf ihrer energetisch günstigsten Lage befinden, sondern eine höhe-re potentielle Energie besitzen. Bezieht man die Energie einer Versetzung auf eine Einheitslänge, so erhält man einheitenmäßig eine Kraft. Dies ist die sogenannte Linienspannung. Eine Verlängerung der Versetzungslänge erfordert Arbeit, ähnlich dem Verlängern einer gespannten Saite. Daher ist die Linienspannung gleich der Kraft, mit der eine Versetzungslinie „gespannt“ ist.

2.5.1. Spannungsfeld, Energie und Linienspannung einer Schraubenversetzung Für eine Schraubenversetzung können wir dieses Spannungsfeld nun abschätzen: Gegeben sei eine Schraubenversetzung mit dem Burgersvektor b . Wenn wir uns im ursprünglichen, nicht deformierten Kristall einen Kreisring mit dem Radius r merken und seine Deformation im Zustand mit der Schraubenversetzung verfol-gen, so ist es leicht zu sehen, dass dies reiner Schub ist.

Der Schubwinkel ist 2

b

r!

"= .

Die Schubspannung ist daher gleich 2

GbG

r! "

#= = .

Die Energiedichte (Energie pro Volumen) ist 2/ 2G! , die gesamte Energie einer Versetzung daher:

!

1 1

0 0

2 2

22 4

R R

VolumenR REnergiedichte

G GbW L rdr L dr

r

!"

"= # =$ $"#$#% .

Das Integrationsvolumen ist ein Zylinder (Radius R1), aus dem ein Kern (Radius R0) ausgelassen wird. Für die Energie pro Längeneineinheit (Linienspannung) erhalten wir

2

1 0ln( / )4

L

W Gbw R R

L != = .

Das Ergebnis ist ganz ähnlich der Linienspannung für die Stufenversetzung (s.o.). Auch hier müssen wir wieder einen Kern mit dem Radius R0 (in der Größenordnung eines Burgersvektors) aus der Integ-ration herausnehmen, da für kleinere Radien die Kontinuumsannahme nicht mehr funktioniert und wir atomar rechnen müssten. Schlussfolgerung: Es ist energetisch vorteilhaft, Versetzungen mit kleinstem Burgersvektor zu erzeu-gen (da beispielsweise 2 2 2(2 )b b b> + ). Hinweis: Bewegt sich eine Schraubenversetzung mit der Geschwindigkeit v , so wächst ihre Linien-energie:

2 21 /

L

v

ww

v c

=

!

, wobei c die transversale Schallgeschwindigkeit ist.

2.5.2. Linienspannung einer Stufenversetzung

Für eine Stufenversetzung gilt: 2

1

0

ln4 (1 )

L

RW Gbw

L R! "= #

$

mit W: Versetzungsenergie, L: Referenzlänge, wL: Linienspannung, also Energie pro Versetzungs-länge, G: Schubmodul, ! : Poisson-Zahl, b: Burgers-Vektor,

1R - charakteristische Länge der Verset-

zung bzw. der Schubzone, 0R Radius des Versetzungskerns (dieser kann meist gleich dem Burgers-

vektor angenommen werden). Setzt man hier Zahlwerte für Kupfer ein ( 40G GPa= , 0,25b nm= , 1/ 3! = ,

0R b= , 8

110R m

!= ) erhält man: 9

1,8 10Lw N

!" # . Auf atomare Abstände bezogen (d.h. mit b

als Referenzlänge multipliziert) ergibt sich eine Energie: 194,5 10 2,8

LW w b Nm eV

!= " # " # . Die Ein-

heit Elektronenvolt ist häufig in der Literatur anzutreffen. Typische Versetzungsenergien auf atomare Längen bezogen liegen in der Größenordnung 1 eV.