Vorlesung CompilertechnikSommersemester 2008

Optimierung

M. Schölzel

2

Einbettung der Optimierung in den Compiler

Gründe für die Optimierung: Vom Frontend generierter Zwischencode ist ineffizient, da er aus der

Struktur des Quellprogramms entstanden ist und sich nicht an der Zielarchitektur orientiert.

Programmierer schreiben "verbesserungsfähigen" Quellcode.

ParserQuell-text

Quell-text Scanner

Zwischencode und

Symbol- tabelle

Zwischencode und

Symbol- tabelle

Ziel-code

Ziel-code

Zielcode-erzeugung

Zielcodeunab-hängige

Optimierungen

Kontext-prüfung

ZielcodeabhängigeOptimierungen

Frontend

Backen

d

3

Klassifizierung der Optimierung

Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter

Ausdrücke, Codeverschiebung

Lokal Global

Masc

hin

enunabhängig

Masc

hin

enabhängig

Registerplanung

Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter

Ausdrücke

Registerplanung,Zielcodeauswahl

4

Grundbegriffe (1)

S = (N,E,q,s) sei ein Steuerflussgraph. N = {b0,…,bn} sind die Basisblöcke im Steuerflussgraphen, wobei

ir0(bi),…,ir#(bi)(bi) die Folge der 3-Adress-Code-Anweisungen in bi

ist. Über b0 = q wird S betreten und über b1 = s (z.B. return)

verlassen. Eine Programmposition ist ein Tupel (i,j) wobei damit die Position

unmittelbar vor der 3-Adress-Code-Anweisung irj(bi) gemeint ist. Mit (0,0) wird Startposition und mit (1,0) Stoppposition

bezeichnet. Ein Pfad im Steuerflussgraphen von Programmposition (i,j) zur

Programmposition (m,n) ist eine Folge 0,…,k von 3-Adress-Code-Anweisungen, für die gilt:

0…k kann in 3-Adress-Code-Folgen 0…c = 0…k zerlegt werden, so dass:

z = ir0(baz)…ir#(baz)

(baz) für 1 z < c und

(0 = irj(ba0)…ir#(ba0)

(ba0) und c = ir0(bac

)…irn-1(bac) falls c > 0) oder

(0 = irj(ba0)…irn-1(ba0

) falls c = 0) und (ba0

, ba1),(ba1

, ba2),…,(bac-1

, bac) E

5

Grundbegriffe (2)

Verwendung einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) verwendet, falls iri(j) eine der Formen x := v, x := v, x := y v, x := v y, x := @v, @v := x, return v, if v then goto label, x := (Type) v, x := call f(…,v,…) hat.

Definition einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) definiert, falls iri(j) eine der Formen v := … hat.

Eine definierende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v definiert.

Eine verwendende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v verwendet.

6

Copy/Constant Propagation

Ersetze die Verwendung der Variablen y in einer Anweisung iri(j) durch z falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine

Anweisung irn(m) = "y := z" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n+1) zur Position (j,i) keine definierende

Anweisung für y und z gibt. Nach der Ersetzung kann es sein, dass die Variable y nicht mehr benutzt wird. z darf eine Variable (copy propagation) oder Konstante (constant propagation)

sein. Constant Folding: Ersetze Zwischencodeanweisungen der Form x := y z bzw.

x := z durch x := k, falls y und z konstant sind und k das Ergebnis der Operation ist.

t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := 8y := t0

t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := yt1 := x

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

7

Dead-Code Elimination

Eine Zwischencodeanweisung iri(j) = "x := e" kann aus dem Zwischencode entfernt werden, falls

für alle Programmpositionen (m,n) an denen x verwendet wird und alle Pfade von (j,i+1) nach (m,n) gilt: x wird auf diesen Pfaden definiert. Dabei ist e ein beliebiger Ausdruck des Zwischencodes oder

kein Pfad von (0,0) nach (j,i) existiert. Es kann neuer Dead-Code entstehen.

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

x := 7

z := 15

y := 8

t1 := x

t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

8

Global Common-Subexpression Elimination

Die Zuweisung iri(j) = "x := e" mit dem Ausdruck e kann durch x := t ersetzt werden, falls:

auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine Anweisung irn(m) = "y := e" existiert und

es auf allen Pfaden von Positionen (m,n) zur Position (j,i) keine definierenden Anweisungen für die Verwendungen in e gibt und

an allen Positionen (m,n+1) die Anweisung "t := y" eingefügt wird. Es entstehen neue Kopierbefehle.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * j

m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jx' := x

m := 5 * yn := x'x := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

9

Global Code Motion

Es sei L die Menge der Knoten des Steuerflussgraphen, die auf einem Zykel liegen und d L der einzige Knoten der nicht zu L gehört und eine Kante zu einem Knoten in L besitzt.

Eine Anweisung iri(j) = "x := e" kann im Block bj L durch x := t ersetzt und am Ende des Blocks d t := e eingefügt werden, falls kein Block in L eine Definition einer Verwendung in e enthält.

Es entstehen neue Kopierbefehle.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jx' := xm' := 5 * y

m := m'n := x'x := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jx' := x

m := 5 * yn := x'x := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

10

Strength-Reduction in Schleifen

Suchen einer Variablen x (Induktionsvariablen), die in jedem Schleifendurchlauf um eine Konstante c erhöht wird.

Suchen nach einer Berechnung y := f(x), wobei f(x + c) – f(x) = dx Statt f(x) in jeder Iteration zu berechnen, wird in jeder Iteration zu

y dx addiert.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'

z := x * ii := i + 2

n := 6 * jm := i + 1

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'x'' := x * i

z := x''t := 2 * xx'' := x'' + ti := i + 2

n := 6 * jm := i + 1

11

Datenflussanalyse

Beobachtung: In den meisten Beispielen wurden Informationen der folgenden Art genutzt:

auf allen Pfaden zur Programmposition (j,i) existiert eine Anweisung der Art … und

auf allen Pfaden zwischen diesen Anweisungen und der Position (j,i) existiert keine Anweisung der Art … .

…t3 := t1 + t2…

…t0 := t1 – t9…

…t2 := t3 * t5…

Erzeugt eine Information I

Zerstört die Information I

Information I gilt noch

Information I gilt auch hier…

… und hier…

… und hier.

Information I gilt hier nicht mehr.

Information I gilt hier auch nicht

mehr.

12

Grundprinzip der Datenflussanalyse

Informationen I breiten sich entweder mit oder gegen den Steuerfluss aus. Für jeden Basisblock b gibt es:

Eingehenden Informationen: in(b), ausgehende Informationen: out(b), erzeugte Informationen: gen(b), zerstörte Informationen: kill(b).

Abhängig von der Ausbreitungsrichtung der Informationen sind: Vorwärtsanalyse:

in(b) = out(b1) out(b2) … out(bn), wobei die bi die Steuerflussvorgänger von b sind und

out(b) = (in(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Rückwärtsanalyse:

out(b) = in(b1) in(b2) … in(bn), wobei die bi die Steuerflussnachfolger von b sind und in(b) = (out(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt)

Durch den Steuerflussgraphen wird eine Mengengleichungssystem definiert. Falls der Steuerflussgraph Zyklen enthält, ist das Mengengleichungssystem

rekursiv; Lösung durch Fixpunktiteration.

13

Beispiel: Reaching Definitions

Bei Verwendung einer Programmvariablen an Position (i,j) interessiert, an welchen Programmpositionen der Wert der Variablen definiert wurde.

Menge aller Informationen: (()V) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {((i,j),v) | irj(i) ist letzte Definition von v in bi} kill(bi) := {((m,n),v) | m, n und bi enthält eine Definition von v}

t0 := at1 := bt2 := t0 + t1

t0 := t2 – t0t0 := b

t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4

in(b2) =

in(b3) =

in(b4) =

in(b1) = gen(b3) = {((3,1),t0)}

kill(b3) = {((m,n),t0)}

gen(b4) = {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

kill(b4) = {((m,n),t3), ((m,n),t4), ((m,n),t2)}

gen(b2) = {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

kill(b3) = {((m,n),t0), ((m,n),t1), ((m,n),t2)}

out(b0) =

out(b2) =

out(b3) =

out(b4) =

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((3,1),t0)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((3,1),t0)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0), ((2,0),t0),

((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

b2

b3 b4

b1

b0

14

Anwendung Reaching Definition

Erkennung der Benutzung einer Variablen vor ihrer Definition.

Definiere out(b0) := {((0,0),v) | v hat Verwendung im Steuerflussgraph}.

Berechne Reaching Definitions. Falls bei einer Verwendung von v die Information

((0,0),v) vorhanden ist, dann kann es einen Pfad zu dieser Verwendung geben, auf dem v nicht initialisiert wird.

15

Beispiel: Lebendige Variablen

An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, ob es einen Pfad zu einer Programmposition gibt, an der v verwendet wird, ohne auf diesem Pfad definiert zu werden.

Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(bi) := {v | irj(i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: irk(i) ist keine Defintion von

v} kill(bi) := {v | v wird in bi definiert}

t0 := at1 := bt2 := t0 + t1

t0 := t2 – t0t0 := b

t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4

gen(b3) = {b, t2, t0}

kill(b3) = {t0}

gen(b4) =

kill(b4) =

gen(b2) = {a,b}

kill(b2) = {t0,t1,t2} gen(b4) = {t2}

kill(b4) = {t2,t3,t4}

in(b0) = in(b2)

in(b2) = (in(b3) in(b4) – kill(b2)) gen(b2)

in(b3) = (in(b1) – kill(b3)) gen(b3)

in(b4) = ((in(b4) in(b1)) – kill(b4)) gen(b4)

b2

b3 b4

b1

b0

16

Anwendung Lebendige Variablen

Registerallokation: Treffen der Spill-Entscheidung in Basisblöcken. Bestimmung der zu sichernden Variablen am

Ende eines Basisblocks. Globale Registerallokation durch Graphfärbung:

Konstruktion eines Interferenzgraphen Variablen sind Knoten Eine Kante zwischen zwei Knoten existiert gdw. es eine

Programmposition gibt, an der beide Variablen lebendig sind.

Färbung des Interferenzgraphen liefert eine Registerallokation (Jede Farbe entspricht einem Prozessorregister).

Details…

17

Beispiel: Reaching Copies

An einer Position (i,j) interessiert, ob auf allen Pfaden von (0,0) nach (i,j) eine Anweisung x := y liegt und auf allen Pfaden von diesen Anweisungen nach (i,j) weder x noch y definiert werden.

Menge aller Informationen: ({x := y | x ist Variable, y ist Variable oder Konstante})

Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {x := y | nach irj(i) = "x := y" folgt keine

Definition von x oder y in bi} kill(bi) := {x := y, y := x | bi enthält eine Definition von x

und y ist Konstante oder Variable} Ist an einer Programmposition irj(i) = "z := e" die

Information x := y verfügbar und e enthält eine Verwendung von x, dann kann x durch y ersetzt werden.

18

Beispiel: Available Expressions

An einer Programmposition (i,j) ist ein Ausdruck e verfügbar, falls e auf allen Pfaden von Position (0,0) nach (i,j) berechnet wurde und für jeden dieser Pfade gilt, dass nach der letzten Berechnung von e die verwendeten Variablen in e bis zur Position (i,j) nicht definiert wurden.

Menge aller Informationen: Menge aller Teilmengen von Ausdrücken.

Vorwärtsanalyse mit := . gen(bi) := {e | irj(i) = "t := e" und für alle j < k #(bi)

gilt: irk(i) ist keine Definition einer Verwendung in e} kill(bi) := {e | eine Verwendung in e wird in bi

definiert}

19

Rahmenwerk zur Datenflussanalyse (DFA)

DFA-Rahmenwerk: (D, I, , ) besteht aus: Der Richtung D der Analyse (vorwärts oder rückwärts) Einem Halbverband (I, ), d.h. für alle x, y, z I

x x = x x y = y x x (y z) = (x y) z es ex. ein I, so dass für alle x I gilt x = x

Einer Menge , die für jeden Basisblock des Steuerflussgraphen eine Transferfunktion f : I I enthält, die monoton und stetig ist.

Induzierte Ordnung auf I: x y gdw. x y = y Voraussetzungen für den Fixpunktsatz von Tarski und

Knaster sind erfüllt. Damit existiert der kleinste Fixpunkt und kann durch Iteration berechnet werden, weil:

(I, ) ist eine vollständig geordnete Menge, weil für alle x, y I gilt: x y ist kleinste oberer Schranke von x und y.

Jedes f F ist monoton und stetig.

20

(I,) ist eine geordnete Menge

Reflexivität:x x gilt wegen x x = x.

Antisymmetrisch:x y und y x x y = y und y x (= x y) = x x = y.

Transitivität:x y und y z x y = y und y z = z z = (x y) z = x (y z) = x z x z.

21

(I,) ist eine vollständig geordnete Menge

Wir zeigen: Für alle x, y I ist z = x y die kleinste obere Schranke von x und y:

x z x z = x (x y) = (x x) y) = x y = z.

y z y z = y (x y) = y (y x) = (y y) x) = y x = x y = z.

Angenommen x u und y u, dann x u = u und y u = u und z u = u u = u u = x u y u = x u y = z u z u

Damit ist für jede endliche nicht leere Kette K I mit K = {k1, k2, k3,…,kn} k1 k2 k3 … kn die kleinste obere Schranke von K.

22

Fixpunktiteration

Es ist der Fixpunkt einer Funktion F (out(b0),…,out(bm)) = F((out(b0),…,out(bm))) bzw. (in(b0),…,in(bm)) = F((in(b0),…,in(bm))) gesucht.

Durch den Steuerflussgraphen wird für jede Komponente out(bi) bzw. in(bi) eine Mengengleichung erzeugt:

Vorwärtsanalyse:out(bi) = fi(out(bk1

)…out(bkn)), wobei bk1

,…,bkn die Steuerflussvorgänger

von bi sind und 0 kj m. Rückwärtsanalyse:

in(bi) = fi(in(bk1)…in(bkn

)), wobei bk1,…,bkn

die Steuerflussvorgänger von bi sind und 0 kj m.

Wir schreiben kurz: (b0,…,bm) = F((b0,…,bm)) und abstrahieren von der Richtung.

Die induzierte Ordnung auf I wird zu einer Ordnung auf Im+1 erweitert:(a0,…,am) (b0,…,bm) gdw. j: 0 j m aj bj. Analog wird der Operator für einen Vektor erweitert.

Unter der Voraussetzung, dass die Transferfunktionen fi monoton und stetig sind, ist es F auch (Beweis folgt).

23

Monotonie von F

F monoton gdw. aus (a0,…,am) (b0,…,bm) folgt F(a0,…,am) F(b0,…,bm).

a = (a0,…,am) (b0,…,bm) = b gdw. i: ai bi. Für jedes ai und bi gilt nun:

Es seien ak1,…,akn

bzw. bk1,…,bkn

die Komponenten in a bzw. b, die den in/out-Resultaten der Steuerflussvorgänger/-nachfolger von ai bzw. bi entsprechen.

Wegen akj bkj

ist ak1…akn

bk1

…bkn. (Bew. durch

Induktion; im Schritt: a b a b = b und a' b' a' b' = b' b b' = a b a' b' = (a a') (b b') (a a') (b b')).

Wegen der Monotonie der Transferfunktion fi gilt dann fi(ak1

…akn)

fi(bk1

…bkn)

Und damit F(a0,…,am) F(b0,…,bm)

24

Stetigkeit von F

F stetig gdw. F(a0,…,am) F(b0,…,bm) = F(a0b0,…,ambm).

Es seien ai' und bi' die i-ten Komponenten des Resultats von F(a) bzw. F(b), d.h.: b'i = fi(bk1

,…,bkn ) und a'i = fi(ak1

,…,akn)

Wegen der Stetigkeit von fi gilt: a'i b'i = fi(ak1

,…,akn) fi(bk1

,…,bkn)

= fi(ak1)… fi(akn

)fi(bk1)…fi(bkn

) = fi(ak1

) fi(bk1)…fi(akn

)fi(bkn)

= fi(ak1bk1

)…fi(aknbkn

) = fi(ak1

bk1,…,akn

bkn).

fi(ak1bk1

,…,aknbkn

) ist auch die i-te Komponente des Resultats von F(a0b0,…,ambm)

Ende der Optimierung

Ende der Vorlesung

26

Beispiel Steuerflussgraph/Interferenzgraph

d := 0a := 1c := 3

f := c

d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v

c:= d+3a := e*c

z:= a+d

(d)(a,d)(a,d,c)

(a,c,f,d)

(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)

(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)

(d,c)(d,c,a)

(z)

a d s

f c r

vu

w

t

e

z

27

Färbung des Interferenzgraphen

Gesucht Färbung I : V R mit I(u) I(v) gdw. {u,v} E, wobei R die Menge der Prozessorregister ist.

Finden einer Färbung durch schrittweises Entfernen von Knoten v mit adjazenten Kanten, falls v mit echt weniger als |R| Knoten adjazent ist:

Falls kein Knoten mit weniger als |R| Nachbarn existiert, dann Spillentscheidung treffen.

Falls I zum leeren Graphen reduziert wurde, Einfügen der Knoten mit Kanten in umgekehrter Reihenfolge und Färben der Knoten.

a d s

f c r

vu

w

t

e

I = (V, E), R = {0,1,2}

a d s

f c r

v uw t e

z

z

d4

d1 d2 d3v uw t e d4 z d1 d2 d3 s r c f a

a d s

f c r

v uw t e

z

d4

d1 d2 d3

28

Spillen

d := 0a := 1c := 3

f := c

d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v

c:= d+3a := e*c

z:= a+d

(d)(a,d)(a,d,c)

(a,c,f,d)

(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)

(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)

(d,c)(d,c,a)

(z)

d := 0@&d := da := 1c := 3

f := c

d1 := @&dd1:= d1+1@&d := d1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d2 := a+f@&d := d2u := cv := u+1w := v+1e := v

d3 := @&dc:= d3+3a := e*c

d4 := @&dz:= a+d

(d)()(a,d)(a,c)

(a,c,f)

(c,d1)(c,d1)(c)(c,r)(s,r)(t)(e)

(c,d2)(c)(u)(v)(w)(e)

(d3,c)(c)(c,a)

(d4)(z)

Spillen von d

29

Auswahl der Spillvariablen

Falls ein Interferenzgraph nicht weiter reduziert werden kann, dann wird aus den verbleibenden Knoten der ausgewählt, für den

minimal ist. Dabei sind DefUse(v) alle Programmpositionen, an denen v verwendet/definiert wird. und deepth(p) die Schachtelungstiefe der innersten Schleife, die die Programmposition p enthält.

Vor/nach allen Verwendungen/Definitionen von v wird Spillcode in den Zwischencode eingefügt.

Interferenzgraph muss neu konstruiert werden. Es können mehrere solcher Iterationen erforderlich sein, bis

eine Färbung des Interferenzgraphen gefunden wird. Variablen zwischen deren Definition und Verwendung keine

anderen Variablen sterben, werden nicht gespillt.

( )

( )

( ), wobei ( ) 10

( )deepth p

p DefUse v

spillCost vspillCost v

deg v Î

= å