Vorlesung Compilertechnik Sommersemester 2009 Optimierung M. Schölzel.

Vorlesung CompilertechnikSommersemester 2009

Optimierung

M. Schölzel

2

Einbettung der Optimierung in den Compiler

Gründe für die Optimierung: Vom Frontend generierter Zwischencode ist ineffizient, da er aus der

Struktur des Quellprogramms entstanden ist und sich nicht an der Zielarchitektur orientiert.

Programmierer schreiben "verbesserungsfähigen" Quellcode.

ParserQuell-text

Quell-text Scanner

Zwischencode und

Symbol- tabelle

Zwischencode und

Symbol- tabelle

Ziel-code

Ziel-code

Zielcode-erzeugung

Zielcodeunab-hängige

Optimierungen

Kontext-prüfung

ZielcodeabhängigeOptimierungen

Frontend

Backen

d

3

Klassifizierung der Optimierung

Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter

Ausdrücke, Codeverschiebung

Lokal Global

Masc

hin

enunabhängig

Masc

hin

enabhängig

Registerplanung

Eliminierung redun-danter Berechnungen,Berechnung konstanter

Ausdrücke

Registerplanung,Zielcodeauswahl

4

Grundbegriffe (1)

S = (N,E,q,s) sei ein Steuerflussgraph. N = {b0,…,bn} sind die Basisblöcke im Steuerflussgraphen, wobei

ir0(bi),…,ir#(bi)(bi) die Folge der 3-Adress-Code-Anweisungen in bi

ist. Über b0 = q wird S betreten und über b1 = s (z.B. return)

verlassen. Eine Programmposition ist ein Tupel (i,j) wobei damit die Position

unmittelbar vor der 3-Adress-Code-Anweisung irj(bi) gemeint ist. Mit (0,0) wird Startposition und mit (1,0) Stoppposition

bezeichnet. Ein Pfad im Steuerflussgraphen von Programmposition (i,j) zur

Programmposition (m,n) ist eine Folge 0,…,k von 3-Adress-Code-Anweisungen, für die gilt:

0…k kann in 3-Adress-Code-Folgen 0…c = 0…k zerlegt werden, so dass:

z = ir0(baz)…ir#(baz)

(baz) für 1 z < c und

(0 = irj(ba0)…ir#(ba0)

(ba0) und c = ir0(bac

)…irn-1(bac) falls c > 0) oder

(0 = irj(ba0)…irn-1(ba0

) falls c = 0) und (ba0

, ba1),(ba1

, ba2),…,(bac-1

, bac) E

5

Beispiel

0: Function f: 1: t0 := 1 2: fak = t0 3: while_0_cond: 4: t1 := n 5: t2 := 0 6: t3 := t1 > t2 7: t4 := not t3 8: if t4 then while_0_end 9: t5 := fak10: t6 := n11: t7 := t5 * t612: fak := t713: t8 := n14: t9 := 115: t10 := t8 – t916: n := t1017: goto while_0_cond18: while_0_end:19: t11 := fak20: return t11

t0 := 1

fak = t0

t1 := n

t2 := 0

t3 := t1 > t2

t4 := not t3

if t4 then 21

t11 := fak

f = t11

t5 := fak

t6 := n

t7 := t5 * t6

fak := t7

t8 := n

t9 := 1

t10 := t8 – t9

n := t10

0

3

4

6

7

8

10

return f

21

22

1

9

11

12

13

14

15

16

17

18

6

……

Qualität des Modells

Steuerflussgraph modelliert alle möglichen Abarbeitungspfade des Programms, unabhängig davon, ob alle diese Pfade bei der Ausführung des Programms betreten werden können.

Falls Turingmaschine i auf Eingabe i nach n Schritten stoppt, dann gibt es eine Eingabe n, so dass 4 nach 2 ausgeführt wird, sonst nicht.

if (TMi(i)n) then 4

Eingabe von n0

2

3 4

…1

7

Grundbegriffe (2)

Verwendung einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) verwendet, falls iri(j) eine der Formen x := v, x := v, x := y v, x := v y, x := @v, @v := x, return v, if v then goto label, x := (Type) v, x := call f(…,v,…) hat.

Definition einer Variablen v:Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung iri(j) definiert, falls iri(j) eine der Formen v := … hat.

Eine definierende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v definiert.

Eine verwendende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v verwendet.

Erreichende Definition: Die Definition einer Programmvariablen v erreicht eine Verwendung von v, falls es einen Pfad im Steuerflussgraphen von dieser Definition zur Verwendung gibt, auf dem keine andere Definition von v liegt.

8

Beispiel Erreichende Definitionen

t0 := 1

fak = t0

t1 := n

t2 := 0

t3 := t1 > t2

t4 := not t3

if t4 then while_0_end

0

3

4

6

7

8

10

9

Definition zu einer Verwendung ist in unverzweigtem Steuerfluss einfach zu

finden.

t0 := 1

fak = t0

t1 := n

t2 := 0

t3 := t1 > t2

t4 := not t3


t11 := fak

kgv = t11

t5 := fak

t6 := n

t7 := t5 * t6

fak := t7

t8 := n

t9 := 1

t10 := t8 – t9

n := t10

0

3

4

6

7

8

10

return kgv

21

22

1

9

11

12

13

14

15

16

17

18

Definition zu einer Verwendung ist bei Verzweigungen im Steuerfluss schwieriger zu finden.

9

Grundidee Datenflussanalyse am Beispiel der Erreichenden Definitionen

t1 := 1

t1 := n

t3 := t1 > t2


Es gibt eingehende Informationen I in einen Knoten: I = in(2)

Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden Informationen

zerstört: I := I – Kill(2)

Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden neue Informationen

generiert: I := I Gen(2)

0

1

2

t2 := 2

Es entstehen ausgehende Informationen an einen Knoten: out(2)

3

4

in(2) = {(t2,0),(t1,1)}

out(2) = {(t2,0),(t1,2)}Gen(2) = {(t1,2)}

Kill(2) = {(t1,i) | i }

10

Transferfunktion für einen Basisblock

Steuerfluss in einem Basisblock i mit den Anweisungen ir0(i),…,ir#i(i) ist bekannt.

Damit ist die Transferfunktion für diesen Basisblock:

Vereinfachung der Transferfunktion zu out(i) = (in(i) – kill(i)) gen(i).

t1 := 1

t1 := n

t3 := t1 > t2


0

1

2

t2 := 2

3

4

0 0 1 0 # #( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))i iout i in i Kill ir i Gen ir i Kill ir i Gen ir i Kill ir i Gen ir i= - È - È - - ÈK

in(i)

- Kill(0) Gen(0)

- Kill(1) Gen(1)

- Kill(2) Gen(2)

- Kill(3) Gen(3)

- Kill(4) Gen(4)

out(i)

11

Datenflussanalyse bei Verzweigungen im Steuerflussgraphen

Ausgehende Informationen out(i) gelangen zu jedem Steuerflussnachfolger von i.

Treffen Informationen von mehreren Steuerflussvorgängern zusammen, müssen diese zu einer eingehenden Information zusammengefasst werden.

…t3 := t1 + t2…

…t0 := t1 – t9…

…t2 := t3 * t5…

Transformiert eingehende Informatione

n

Ausgehende Informationen

II

I

Hier müssen Informationen

kombiniert werden


n


n

12

Grundprinzip Datenflussanalyse

Informationen I breiten sich entweder mit oder gegen den Steuerfluss aus.

Für jeden Knoten b gibt es: Eingehenden Informationen: in(b), ausgehende Informationen: out(b), erzeugte Informationen: gen(b), zerstörte Informationen: kill(b).

Abhängig von der Ausbreitungsrichtung der Informationen sind: Vorwärtsanalyse:

in(b) = out(b1) out(b2) … out(bn), wobei die bi die Steuerflussvorgänger von b sind und

out(b) = (in(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Rückwärtsanalyse:

out(b) = in(b1) in(b2) … in(bn), wobei die bi die Steuerflussnachfolger von b sind und

in(b) = (out(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Durch den Steuerflussgraphen wird eine Mengengleichungssystem

definiert. Falls der Steuerflussgraph Zyklen enthält, ist das

Mengengleichungssystem rekursiv; Lösung durch Fixpunktiteration.

13

Information Erreichende Definitionen

An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, an welchen Programmpositionen der Wert der Variablen v definiert und bis zur Position (i,j) nicht mehr verändert wurde.

Menge aller Informationen: (()V) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {((i,j),v) | irj(i) ist letzte Definition von v in bi} kill(bi) := {((m,n),v) | m, n und bi enthält eine Definition von v}

t0 := at1 := bt2 := t0 + t1

t0 := t2 – t0t0 := b

t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4

in(b2) =

in(b3) =

in(b4) =

in(b1) = gen(b3) = {((3,1),t0)}

kill(b3) = {((m,n),t0)}

gen(b4) = {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

kill(b4) = {((m,n),t3), ((m,n),t4), ((m,n),t2)}

gen(b2) = {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

kill(b3) = {((m,n),t0), ((m,n),t1), ((m,n),t2)}

out(b0) =

out(b2) =

out(b3) =

out(b4) =

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((3,1),t0)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((3,1),t0)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)}

{((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

{((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0), ((2,0),t0),

((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)}

b2

b3 b4

b1

b0

14

Information Lebendige Variablen

An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, ob es einen Pfad zu einer Programmposition gibt, an der v verwendet wird, ohne auf diesem Pfad definiert zu werden.

Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(bi) := {v | irj(i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: irk(i) ist keine Definition

von v} kill(bi) := {v | v wird in bi definiert}

t0 := at1 := bt2 := t0 + t1

t0 := t2 – t0t0 := b

t3 := t2t4 := t3 * t2t2 := t2 – t4

gen(b3) = {b, t2, t0}

kill(b3) = {t0}

gen(b4) =

kill(b4) =

gen(b2) = {a,b}

kill(b2) = {t0,t1,t2} gen(b4) = {t2}

kill(b4) = {t2,t3,t4}

in(b0) = in(b2)

in(b2) = (in(b3) in(b4) – kill(b2)) gen(b2)

in(b3) = (in(b1) – kill(b3)) gen(b3)

in(b4) = ((in(b4) in(b1)) – kill(b4)) gen(b4)

b2

b3 b4

b1

b0

15

Kopier- / Konstanten-Popagierung

Ersetze die Verwendung der Variablen y in einer Anweisung iri(j) durch z falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine

Anweisung irn(m) = "y := z" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n+1) zur Position (j,i) keine definierende

Anweisung für y und z gibt. Nach der Ersetzung kann es sein, dass die Variable y nicht mehr benutzt wird. z darf eine Variable (copy propagation) oder Konstante (constant propagation)

sein. Constant Folding: Ersetze Zwischencodeanweisungen der Form x := y z bzw.

x := z durch x := k, falls y und z konstant sind und k das Ergebnis der Operation ist.

t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := 8y := t0

t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := yt1 := x

y darf durch t0 ersetzt werdeny darf nicht

durch t0 ersetzt werden

16

Information für Kopier-/Konstanten-Propagierung

Berechnung der Information Erreichende Kopien RC(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:

Menge aller Informationen: ({x:=y | x:=y ist Kopierbefehl im Programm}) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {x:=y | x:=y ist Zwischencodebefehl irk(bi) und in allen Zwischencodebefehlen

irk+1(bi)… ir#bi(bi) wird weder x noch y definiert}

kill(bi) := {x:=z | x wird in Block bi definiert und x:=z ist Kopieranweisung im Programm} {z:=x | x wird in Block bi definiert und z:=x ist Kopieranweisung im Programm}

t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := 8y := t0

t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := yt1 := x

2:

1:

3: 4:

"t0:=8","y:=t0"

"t0:=8","y:=t0"

"t1:=x","t2:=y","z:=t3"

17

Kopier-/Konstanten-Propagierung im Basisblock

In einem Basisblock b wird die Verwendung von x in Anweisung i durch y ersetzt, falls:

x := y in(b) und in allen Anweisungen k mit 0 k < i weder x noch y definiert werden oder

Anweisung j < i die Form x := y hat und in allen Anweisungen k mit j < k < i weder x noch y definiert werden.

Diese Ersetzung muss gegebenenfalls wiederholt werden, bis keine weiteren Ersetzungen möglich sind.

t0 := 7x := t0t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := 8y := t0

t1 := xt2 := yt3 := t1 + t2z := t3

t0 := yt1 := x

2:

1:

3: 4:

"t0:=8","y:=t0"

"t0:=8","y:=t0"

"t1:=x","t2:=y","z:=t3"

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := yt3 := 7 + yz := t3

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := t0t3 := t1 + t2z := t3

t0 := yt1 := x

2:

1:

3: 4: t1 := xt2 := 8t3 := x + 8z := t3

Erneute Informationssammlung ergibt, dass y durch 8 ersetzt werden darf

18

Eliminierung toten Codes

Eine Zwischencodeanweisung iri(j) = "x := e" kann aus dem Zwischencode entfernt werden, falls

für alle Programmpositionen (m,n) an denen x verwendet wird und alle Pfade von (j,i+1) nach (m,n) gilt: x wird auf diesen Pfaden definiert. Dabei ist e ein beliebiger Ausdruck des Zwischencodes oder

kein Pfad von (0,0) nach (j,i) existiert. Es kann neuer toter Code entstehen.

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

2:

1:

3: 4:

Kann gestrichen werden.

Darf nicht gestrichen werden.

19

Information zur Eliminierung toten Codes

Berechnung der Information Lebendig: LE(x) = out(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:

Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(bi) := {v | irj(i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: irk(i) ist keine Definition von

v} kill(bi) := {v | v wird in bi definiert}

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

2:

1:

3: 4:

"x"

"x" "x"

20

Eliminierung toten Codes im Basisblock

Entferne die Anweisung x := expr an Position i im Basisblock b, falls: x an Position j > i definiert wird und für alle Anweisungen irk(b) mit i < k j gilt: irk(b) verwendet

x nicht oder x out(b) und in keiner Anweisung irk(b) mit i < k < #b wird x verwendet.

Durch das Entfernen einer Anweisung x := expr entfällt die Verwendung der Variablen in expr.

Konsequenz: Wiederholung der Eliminierung toten Codes erforderlich.

t0 := 7x := 7t1 := 7t2 := 8t3 := 7 + 8z := 15

t0 := 8y := 8

t1 := xt2 := 8t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

"x"

2:

1:

3: 4:

"x" "x"

x := 7t1 := x

t3 := t1 + 8x := t3

t0 := 8t1 := x…

2:

1:

3: 4:

21

Weitere Anwendung der Information Lebendig

Registerallokation: Treffen der Spill-Entscheidung in Basisblöcken. Bestimmung der zu sichernden Variablen am

Ende eines Basisblocks. Globale Registerallokation durch Graphfärbung:

Konstruktion eines Interferenzgraphen Variablen sind Knoten Eine Kante zwischen zwei Knoten existiert gdw. es eine

Programmposition gibt, an der beide Variablen lebendig sind.

Färbung des Interferenzgraphen liefert eine Registerallokation (Jede Farbe entspricht einem Prozessorregister).

Details…

22

Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke

Die Zuweisung iri(j) = "x := e" mit dem Ausdruck e kann durch x := t ersetzt werden, falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine Anweisung

irn(m) = "y := e" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n) zur Position (j,i) keine definierenden Anweisungen für die

Verwendungen in e gibt und an allen Positionen (m,n+1) die Anweisung "t := y" eingefügt wird.

Konsequenz: Es entstehen neue Kopierbefehle.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * j

m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

Hier darf 6 * j ersetzt werden.

Hier darf 6 * j nicht ersetzt werden.

23

Information zur globalen Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke

Berechnung der Information Verfügbare Ausdrücke AE(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:

Menge aller Informationen: ({e | e ist Ausdruck in einem Zwischencodebefehl}) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {e | irj(i) hat die Form x := e und für alle j k < #bi gilt: irk(i) definiert keine in e

verwendete Variable} kill(bi) := {e | Variable im Ausdruck e wird in bi definiert}

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * j

m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

2:

1:

3: 4:

4*i, 6*j

6*j

24

Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke in Basisblöcken

Ersetze die Anweisung x := e an Position i im Basisblock b durch x := t falls: die Anweisung irj(b) die Form y := e hat und j < i und für alle Anweisungen irk(b) mit j k < i gilt: irk(b)

definiert keine Variable, die in e verwendet wird oder e in(b) und in keiner Anweisung irk(b) mit 0 k < i wird eine Variable definiert, die in e verwendet

wird. Nach den Anweisungen y := e, die e berechnen, wird t := e eingefügt (t ist neue

Variable). Durch Ersetzung mit x := t entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung der Copy-/Constant-Propagation erforderlich.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * j

m := 5 * yn := 6 * jx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

2:

1:

3: 4:

4*i, 6*j

6*j

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jt := x

m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

25

Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen

Es sei L die Menge der Knoten des Steuerflussgraphen, die auf einem Zykel liegen und d L der einzige Knoten der nicht zu L gehört und eine Kante zu einem Knoten in L besitzt (d dominiert L).

Eine Anweisung iri(j) = "x := e" kann im Block bj L durch x := t ersetzt und am Ende des Blocks d t := e eingefügt werden, falls kein Block in L eine Definition einer Verwendung in e enthält.

Um eine spekulative Ausführung von e zu vermeiden, Einfügen eines neuen Basisblocks auf der Kante von d nach L und Einfügen von t := e in diesen neuen Basisblock.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jt := x

m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

5*y ist schleifeninvariant

i und x sind nicht schleifeninvariant

26

Informationen zum Finden schleifeninvarianter Berechnungen

Berechnung der Information Erreichende Definiton RD(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern:

Menge aller Informationen: (()V) Vorwärtsanalyse mit := gen(bi) := {((i,j),v) | irj(i) ist letzte Definition von v in bi} kill(bi) := {((m,n),v) | (m,n) ist Programmposition und bi enthält eine Definition von v}

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jt := x

m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

2:

1:

3: 4:

((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t)

((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)

((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((3,0),j),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)

27

Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen in L

Finde in L Anweisungen der Form x := e, wobei e nur Konstanten und Variablen v enthält, die außerhalb der Blöcke von L definiert wurden.

Ersetze x := e durch x := inv (inv ist neue Variable) und füge am Ende von d die Anweisung inv := e ein.

Es entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung von Konstanten- und Kopierpropagierung.

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jt := x

m := 5 * yn := tx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

2:

1:

3: 4:

((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)

j := j +1

y := 4 * ix := 6 * jt := xinv := 5 * y

m := invn := tx := x * 5i := i + 1

n := 6 * jm := i + 1

28

Weitere Anwendung der Information Erreichende Definitionen

Erkennung der Benutzung einer Variablen vor ihrer Definition.

Definiere out(b0) := {((0,0),v) | v hat Verwendung im Steuerflussgraph}.

Berechne Erreichende Definitionen. Falls bei einer Verwendung von v die Information

((0,0),v) vorhanden ist, dann kann es einen Pfad zu dieser Verwendung geben, auf dem v nicht initialisiert wird.

29

Strength-Reduction in Schleifen

Es sei L die Menge der Blöcke einer Schleife und d der Schleifenkopf (Dominator von L) Suchen einer Variablen i (Induktionsvariablen), die in jedem Schleifendurchlauf um eine Konstante c

erhöht wird. Suchen nach einer Berechnung y := f(i), wobei f(i + c) – f(i) = di Statt f(i) in jeder Iteration zu berechnen, wird in jeder Iteration zu y di addiert.

j := j +1

i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'

z := x * ii := i + 2…

n := 6 * jm := i + 1

i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird

z in jeder Iteration um 2*x größer.

30

Strength-Reduction im Schleifenkörper

Finden von Anweisungen der Form z := inv i oder z := i inv, wobei i eine Induktionsvariable ist, die in jedem Schleifendurchlauf um cexpr erhöht wird und inv schleifeninvariant ist.

Füge am Ende von d ein: dz := inv cexpr und nz := inv i

Im Schleifenkörper : Füge nach der Anweisung i := i + cexpr die Anweisung nz := nz + dz ein und ersetze z := inv i durch z := nz.

Dadurch kann nz selbst wieder zu einer Induktionsvariablen werden. Konsequenz: Wiederholung der Strength-Reduction.

j := j +1

i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'

z := x * ii := i + 2…

n := 6 * jm := i + 1

j := j +1

i := 0y := 4 * ix := 6 * jx' := xm := 5 * yn := x'dz := x * 2nz := x * i

z := nznz := nz + dzi := i + 2

n := 6 * jm := i + 1

i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird

z in jeder Iteration um 2*x größer.

nz und z sind

Induktions-variable.

31

Komplexbeispiel: Matrixmultiplikation

for(i = 0; i < n; i = i+1) {

for(j = 0; j < n; j = j+1) {

c[j][i] = 0.0;

for(k = 0; k < n; k = k+1) {

c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i]

}

}

}

innerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25

Quelltext für Matrixmultiplikation:

Erz

eu

gte

r Z

wis

ch

en

cod

e

32

Konstanten- und Kopierpropagierung und Eliminierung toten CodesinnerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25

innerLoop:

t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25

innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25

Copy-/Constant-Propagation und anschließende

Dead-Code-Elimination

33

Common Subexpression Elimination

innerLoop: t3 := j*n

t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25

innerLoop: t3 := j*n s1 := t3 s0 := t3 t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= s0 t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29:= s1 t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25


t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t32 := &c+t5 @t32:= t25


t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25

innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t31 := t3+i t32 := &c+t31 @t32:= t25

Kopierpropagierung und anschließende

Eliminierung toten Codes

Eliminierung des

gemeinsamen Teilausdrucks

j*n

Eliminierung des

gemeinsamen Teilausdrucks

t3+i und anschließende

Kopierpropagierung und

anschließende Eliminierung toten Codes

Eliminierung des gemeinsamen Teilausdrucks

&c+t5 und anschließende

Kopierpropagierung und

anschließende Eliminierung toten Codes

c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i]

34

Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen

k := 0innerLoopTest: t53:= k<n if t53 then innerLoop goto innerLoopEnd innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35 goto innerLoopTestinnerLoopEnd: ...

for(k = 0; k < n; k = k+1) { c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i] }

k := 0

t53:= k<nif t53 then 3

t3 := j*nt5 := t3+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= t3+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35

...

k := 0inv0 := j*n


t3 := inv0t5 := t3+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= t3+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35

...

k := 0inv0 := j*n


t5 := inv0+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35

...

35

Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen

k := 0inv0 := j*n


t5 := inv0+it6 := &c+t5t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35

...

k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+i


t6 := &c+inv1t7 := @t6t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@t6:= t25t35:= k+1k := t35

...

k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1


t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= k*nt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35

...

36

Bestimmung der Induktionsvariablen




...




...

37

Strength-Reduction




...

cexpr für k ist 1

k := 0inv0:= j*ninv1:= inv0+iinv2:= &c+inv1d := 1*nnn := k*n


t7 := @inv2t13:= inv0+kt14:= &a+t13t15:= @t14t19:= nnnn := nn + dt21:= t19+it22:= &b+t21t23:= @t22 t24:= t15*t23t25:= t7+t24@inv2:= t25t35:= k+1k := t35

...

38

Rahmenwerk zur Datenflussanalyse (DFA)

DFA-Rahmenwerk: (D, I, , ) besteht aus: Der Richtung D der Analyse (vorwärts oder rückwärts) Einem Halbverband (I, ), d.h. für alle x, y, z I

x x = x x y = y x x (y z) = (x y) z es ex. ein I, so dass für alle x I gilt x = x

Einer Menge , die für jeden Basisblock des Steuerflussgraphen eine Transferfunktion f : I I enthält, die monoton und stetig ist.

Induzierte Ordnung auf I: x y gdw. x y = y Voraussetzungen für den Fixpunktsatz von Tarski und

Knaster sind erfüllt. Damit existiert der kleinste Fixpunkt und kann durch Iteration berechnet werden, weil:

(I, ) ist eine vollständig geordnete Menge, weil für alle x, y I gilt: x y ist kleinste oberer Schranke von x und y.

Jedes f F ist monoton und stetig.

39

(I,) ist eine geordnete Menge

Reflexivität:x x gilt wegen x x = x.

Antisymmetrisch:x y und y x x y = y und y x (= x y) = x x = y.

Transitivität:x y und y z x y = y und y z = z z = (x y) z = x (y z) = x z x z.

40

(I,) ist eine vollständig geordnete Menge

Wir zeigen: Für alle x, y I ist z = x y die kleinste obere Schranke von x und y:

x z x z = x (x y) = (x x) y) = x y = z.

y z y z = y (x y) = y (y x) = (y y) x) = y x = x y = z.

Angenommen x u und y u, dann x u = u und y u = u und z u = u u = u u = x u y u = x u y = z u z u

Damit ist für jede endliche nicht leere Kette K I mit K = {k1, k2, k3,…,kn} k1 k2 k3 … kn die kleinste obere Schranke von K.

41

Fixpunktiteration

Es ist der Fixpunkt einer Funktion F (out(b0),…,out(bm)) = F((out(b0),…,out(bm))) bzw. (in(b0),…,in(bm)) = F((in(b0),…,in(bm))) gesucht.

Durch den Steuerflussgraphen wird für jede Komponente out(bi) bzw. in(bi) eine Mengengleichung erzeugt:

Vorwärtsanalyse:out(bi) = fi(out(bk1

)…out(bkn)), wobei bk1

,…,bkn die Steuerflussvorgänger

von bi sind und 0 kj m. Rückwärtsanalyse:

in(bi) = fi(in(bk1)…in(bkn

)), wobei bk1,…,bkn

die Steuerflussvorgänger von bi sind und 0 kj m.

Wir schreiben kurz: (b0,…,bm) = F((b0,…,bm)) und abstrahieren von der Richtung.

Die induzierte Ordnung auf I wird zu einer Ordnung auf Im+1 erweitert:(a0,…,am) (b0,…,bm) gdw. j: 0 j m aj bj. Analog wird der Operator für einen Vektor erweitert.

Unter der Voraussetzung, dass die Transferfunktionen fi monoton und stetig sind, ist es F auch (Beweis folgt).

42

Monotonie von F

F monoton gdw. aus (a0,…,am) (b0,…,bm) folgt F(a0,…,am) F(b0,…,bm).

a = (a0,…,am) (b0,…,bm) = b gdw. i: ai bi. Für jedes ai und bi gilt nun:

Es seien ak1,…,akn

bzw. bk1,…,bkn

die Komponenten in a bzw. b, die den in/out-Resultaten der Steuerflussvorgänger/-nachfolger von ai bzw. bi entsprechen.

Wegen akj bkj

ist ak1…akn

bk1

…bkn. (Bew. durch

Induktion; im Schritt: a b a b = b und a' b' a' b' = b' b b' = a b a' b' = (a a') (b b') (a a') (b b')).

Wegen der Monotonie der Transferfunktion fi gilt dann fi(ak1

…akn)

fi(bk1

…bkn)

Und damit F(a0,…,am) F(b0,…,bm)

43

Stetigkeit von F

F stetig gdw. F(a0,…,am) F(b0,…,bm) = F(a0b0,…,ambm).

Es seien ai' und bi' die i-ten Komponenten des Resultats von F(a) bzw. F(b), d.h.: b'i = fi(bk1

,…,bkn ) und a'i = fi(ak1

,…,akn)

Wegen der Stetigkeit von fi gilt: a'i b'i = fi(ak1

,…,akn) fi(bk1

,…,bkn)

= fi(ak1)… fi(akn

)fi(bk1)…fi(bkn

) = fi(ak1

) fi(bk1)…fi(akn

)fi(bkn)

= fi(ak1bk1

)…fi(aknbkn

) = fi(ak1

bk1,…,akn

bkn).

fi(ak1bk1

,…,aknbkn

) ist auch die i-te Komponente des Resultats von F(a0b0,…,ambm)

Ende der Optimierung

Ende der Vorlesung

45

Beispiel Steuerflussgraph/Interferenzgraph

d := 0a := 1c := 3

f := c

d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v

c:= d+3a := e*c

z:= a+d

(d)(a,d)(a,d,c)

(a,c,f,d)

(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)

(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)

(d,c)(d,c,a)

(z)

a d s

f c r

vu

w

t

e

z

46

Färbung des Interferenzgraphen

Gesucht Färbung I : V R mit I(u) I(v) gdw. {u,v} E, wobei R die Menge der Prozessorregister ist.

Finden einer Färbung durch schrittweises Entfernen von Knoten v mit adjazenten Kanten, falls v mit echt weniger als |R| Knoten adjazent ist:

Falls kein Knoten mit weniger als |R| Nachbarn existiert, dann Spillentscheidung treffen.

Falls I zum leeren Graphen reduziert wurde, Einfügen der Knoten mit Kanten in umgekehrter Reihenfolge und Färben der Knoten.

a d s

f c r

vu

w

t

e

I = (V, E), R = {0,1,2}

a d s

f c r

v uw t e

z

z

d4

d1 d2 d3v uw t e d4 z d1 d2 d3 s r c f a

a d s

f c r

v uw t e

z

d4

d1 d2 d3

47

Spillen

d := 0a := 1c := 3

f := c

d:= d+1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d:= a+fu := cv := u+1w := v+1e := v

c:= d+3a := e*c

z:= a+d

(d)(a,d)(a,d,c)

(a,c,f,d)

(c,d)(c,d,r)(d,s,r)(d,t)(d,e)

(c,d)(d,u)(d,v)(d,w)(d,e)

(d,c)(d,c,a)

(z)

d := 0@&d := da := 1c := 3

f := c

d1 := @&dd1:= d1+1@&d := d1r := 2*ds := 3*ct := r+se := t+5

d2 := a+f@&d := d2u := cv := u+1w := v+1e := v

d3 := @&dc:= d3+3a := e*c

d4 := @&dz:= a+d

(d)()(a,d)(a,c)

(a,c,f)

(c,d1)(c,d1)(c)(c,r)(s,r)(t)(e)

(c,d2)(c)(u)(v)(w)(e)

(d3,c)(c)(c,a)

(d4)(z)

Spillen von d

48

Auswahl der Spillvariablen

Falls ein Interferenzgraph nicht weiter reduziert werden kann, dann wird aus den verbleibenden Knoten der ausgewählt, für den

minimal ist. Dabei sind DefUse(v) alle Programmpositionen, an denen v verwendet/definiert wird. und deepth(p) die Schachtelungstiefe der innersten Schleife, die die Programmposition p enthält.

Vor/nach allen Verwendungen/Definitionen von v wird Spillcode in den Zwischencode eingefügt.

Interferenzgraph muss neu konstruiert werden. Es können mehrere solcher Iterationen erforderlich sein, bis

eine Färbung des Interferenzgraphen gefunden wird. Variablen zwischen deren Definition und Verwendung keine

anderen Variablen sterben, werden nicht gespillt.

( )

( )

( ), wobei ( ) 10

( )deepth p

p DefUse v

spillCost vspillCost v

deg v Î

= å

Vorlesung Compilertechnik Sommersemester 2009 Optimierung M. Schölzel.

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