Proseminar

Geometrie

JProf. Dr. Petra Schwer

Dieses Proseminar zur Geometrie bietet anhand vielfältiger Themen eine Einführung indie klassische und moderne Geometrie. Als Grundlage dient uns das Buch Anschauliche

Geometrie von Hilbert und Cohn-Vossen, sowie weitere, ergänzende Literatur.

Wir machen eine (Zeit-)Reise durch die Geometrie. Wir gehen zurück zu Euklid (300v.C.) und lernen seinen axiomatischen Zugang zur Geometrie kennen. Nicht-euklidischeGeometrie wurde erst viel später entwickelt. Wir werden auch diese diskutieren und Modelledafür einführen. Wir werden sehen, was es bedeutet, dass eine Kurve oder Fläche gekrümmtist und so erste Einblicke in die Di�erentialgeometrie bekommen. Weiter gibt es Aus�ügein die Kinematik, die Topologie und in diskrete Formen der Geometrie.

Voraussetzung: Lineare Algebra und Analysis.

Ein Termin für die Vorbesprechung wird noch auf der Webseite bekanntgegeben.

Vortragsthemen

(1) Kurven und Flächen

Es werden einfache Kurven und Flächen, so-wie deren Konstruktion in Ebene und imRaum betrachtet. Zeigen Sie, wie man Flä-chen aus Kurven konstruieren kann. Disku-tieren Sie den Begri� der Rotations�äche, so-wie Fadenkonstruktionen.

Literatur: [HCV] �1-4

(2) Kon�gurationen

�Wir werden in diesem Kapitel geometri-sche Tatsachen kennen lernen, zu deren For-mulierung und Beweis wir keine Streckenund Winkel auszumessen oder zu vergleichenbrauchen.�. Erläutern Sie das Konzept einerKon�guration und stellen Sie Beispiele undderen Eigenschaften vor.

Literatur: [HCV] � 15-17

(3) Perspektive

Im 15. Jahrhundert entdecken italienischeMaler die Perspektivzeichnung und mit ihrdie Möglichkeit dreidimensionale Bilder per-spektivisch korrekt darstellen. In diesemVortrag wird der Begri� der Perspektive ma-thematisch fundiert. Erklären Sie den axio-matischen Zugang zur projektiven Geome-trie. Führen Sie RP 2 und erste Eigenschaf-ten davon ein.

Literatur: [S] 5.1 - 5.4, 5.9, [HCV] �18

(4) Euklids Axiome

Euklids Buch Elemente, geschrieben etwa300 v.C., war lange Zeit die Grundlage derMathematik und der Geometrie. Darin eta-bliert Euklid unter anderem einen axiomati-schen Zugang zur (euklidischen) Geometrie.Stellen Sie die Axiome und ihre Geschich-te vor, erklären Sie die Bedeutung der Kon-gruenzaxiome sowie des Parallelenpostulats.Führen Sie einfache Beweise mit Hilfe dieserMethoden.

Literatur: [S] Kapitel 2, ergänzend: [S] Ka-pitel 1, [HCV] Seiten 210�

(5) Hyperbolische Geometrie I

Neben der euklidischen Geometrie gibt esweitere Geometrien, die Teilen der eu-klidischen Axiomen widersprechen. Diesefasst man unter dem Begri� der nicht-euklidischen Geometrie zusammen. Ein Bei-spiel ist die hyperbolische Geometrie. Erklä-ren Sie was das ist und führen Sie das Poin-caré Modell der hyperbolischen Ebene ein.

Literatur: Aspekte über hyperbolische Geo-metrie in Kapitel �34-36 von [HCV]; [S] Ka-pitel 8.9

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(6) Hyperbolische Geometrie II

Wir lernen mehr über hyperbolische Geome-trie, deren Eigenschaften auch in faszinieren-den Bildern von Escher anschaulich darge-stellt werden. Erklären Sie das obere Halb-ebenenmodell und Möbiustransformationen.Diskutieren Sie Parkettierungen der oberenHalbebene.

Literatur: [S] Kapitel 8

(7) Transformationen

Felix Klein entwickelte einen neuen Zugangzur Geometrie. Sein Programm sieht vorGeometrien mit Hilfe Ihrer Symmetriegrup-pen zu untersuchen. Ein Beispiel, lineareTransformationen, haben Sie sicher bereitskennen gelernt. Wir diskutieren in diesemVortrag Eigenschaften von Selbstabbildun-gen gewisser Geometrien, Transformationender projektiven Gerade, sowie konforme Ab-bildungen im Raum.

Literatur: [S] Kapitel 7.1 - 7.3, 7.9 und[HCV] �37,38

(8) Sphärische Geometrie

Ein weiteres Beispiel für nicht-euklidischeGeometrie ist die Geometrie unserer Welt,d.h. auf der Ober�äche der 2-dimensionalenKugel. Auch sie widerspricht dem Paralle-lenaxiom. Diskutieren Sie Transformationender Sphäre sowie elementare Eigenschaftender sphärischen Geometrie.

Literatur: [NS] �2 und [S] Kapitel 7.4 - 7.7,7.9

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(9) Krümmung I

Wir wenden uns jetzt der (lokalen) Di�eren-tialgeometrie zu. Ziel ist es Geometrien lokalum einen Punkt zu beschreiben und sie mitmöglichst einfachen Geometrien zu verglei-chen. Wir beginnen wieder mit Kurven undFlächen und diskutieren wie �krumm� sie imVergleich zur Gerade oder Ebene sind. Er-klären Sie Krümmung einer Kurve und füh-ren Sie den Begri� der Hauptkrümmung ein.

Literatur: [HCV] �26,28

(10) Krümmung II

Wir lernen das von Gauÿ begründete Ver-fahren kennen, die Krümmung einer Flächein einem Punkt mit einer einzigen Kenn-zahl anzugeben. Erklären Sie sphärische Ab-bildung, den Gauÿ'schen Krümmungsbegri�,sowie seine elementare Eigenschaften.

Literatur: [HCV] �29

(11) Kon�gurationen und reguläre Körper

Wir verallgemeinern den Kon�gurationsbe-gri� aus Vortrag (2) von der Ebene auf den3-dimensionalen Raum. Diskutieren sie dasBeispiel der Reyesche Kon�guration und er-klären Sie was Kon�gurationen mir regulä-ren Körpern zu tun haben.

Literatur: [HCV] �21- 23

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(12) Ein Aus�ug in die Kinematik

Kinematik untersucht in systematischerWeise Bewegungen. Wir konzentrieren unshier auf Gelenkmechanismen. DiskutierenSie den Peaucellierschen Mechanismus, derdie Senkrechte auf eine gegebene Streckekonstruiert. Wählen Sie aus dem weiterenMaterial zusätzliche Beispiele von Mechanis-men in Ebene und Raum aus.

Literatur: [HCV] �40, 42

(13) Polyeder und Flächen

Wir beschäftigen uns in diesem Vortrag mitObjekten der Topologie. Wir denken unsdie geometrischen Objekte gebaut aus defor-mierbarem Material und lernen Eigenschaf-ten kennen, die unter Verformungen erhaltenbleiben. Führen Sie die genannten Begri�eein. Erklären Sie, wie man (zweiseitige) Flä-chen topologisch klassi�zieren kann. ZeigenSie ein Beispiel für eine Fläche mit nur einerSeite.

Literatur: [HCV] �44-46, sowie Kap I im An-hang zu [HCV] von Alexandrov

(14) Die Projektive Ebene als geschlossene Fläche

Wir haben die projektive Ebene bereits ken-nen gelernt. Dieser Vortrag soll zeigen, dasssie auch als geschlossene Fläche darstellbarist. Erklären Sie Kreuzhaube und BoyscheFläche.

Literatur: [HCV] �47

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(15) Das Faden-, Farben- und Nachbarschaftsproblem

Wie auf einer Landkarte sei auf einer Flächesei eine Anzahl von Gebieten eingezeichnet.Alle Gebiete sollen eingefärbt werden. Dabeidürfen zwei angrenzende Gebiete nicht diegleiche Farbe haben. Wie viele Farben sindnötig um alle existierenden Karten so färbenzu können? Diskutieren Sie dieses und ver-wandte Probleme. Was ist der aktuelle Standder Forschung im Farbenproblem?

Literatur: [HCV] �51

Zusätzlich möglich: Punktgitter I und II. Grundlage: [HCV] �5,6 sowie [HCV] �7,8.

Literatur:

[HCV] David Hilbert, Stefan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie[S] John Stillwell: The four pillars of geometry[NS] Viacheslav Nikulin, Igor Shafarevich: Geometries and Groups

Hinweise: Für viele von Ihnen ist dies der erste Seminarvortrag. Aufgaben eines solchenVortrags sind im Wesentlichen folgende:

• der Vortragende soll lernen sich ein mathematisches Thema selbst anzueignen.

• die Seminarteilnehmer sollen etwas über das jeweilige Vortragsthema lernen. Diesgeschieht dadurch, dass der Vortragende sein erworbenes Wissen in aufbereiteterForm weitergibt.

Es ist nicht das Ziel alle Inhalte der Literatur wörtlich wiederzugeben. Auch ist es nichtdas Ziel den Dozenten davon zu überzeugen, dass man einen Schein verdient hat.

Wir helfen Ihnen gerne bei der Vorbereitung. Sie können dazu jederzeit in unsere Sprech-stunde kommen oder einen Termin mit uns ausmachen. Kommen Sie in jedem Fall zweiWochen vor Ihrem Vortrag mit einer schriftlichen (getippten) Ausarbeitung Ihres Vortragsvorbei.

Torsten Wedhorn und Manfred Lehn haben viele weitere hilfreiche Tips zur Vorbereitungund zum Halten eines Vortrags:https://www2.math.uni-paderborn.de/people/torsten-wedhorn/archiv/hinweise-seminarvortrag.html

Bitte lesen und beherzigen Sie diese!

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