Wärmelehre

Erster Hauptsatz und Zustandsänderungen

Inhalt• Die Temperatur• Energiezufuhr in Form von Wärme

– Spezifische Wärme • Erster Hauptsatz der Wärmelehre• Wirkung der Temperatur auf physikalische

Eigenschaften: Thermische Ausdehnung• Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre• Die Entropie:

– Definition nach Clausius: Maß für die Möglichkeit, einen Vorgang mit möglichst wenig Energiezufuhr umzukehren („Reversible Prozesse“)

– Definition nach Boltzmann: Maß für die Gleichverteilung von Orten und Impulsen der Teilchen

Vorzeichen Arbeit Wärmemenge

Positiv

Die Arbeit wird von außen an einer Flüssigkeit bzw. einem Gas geleistet, z. B. Kompression über einen Kolben

Die Wärme wird von außen dem Gas

zugeführt

Negativ

Die Arbeit wird von der Flüssigkeit bzw. dem Gas nach außen geleistet, z. B. die Expansion hebt über einen Kolben ein Gewicht an

Die Wärme wird vom Gas nach außen

abgegeben

Konvention zu den Vorzeichen der Arbeit

W Q

Mechanische Arbeit erhöht die Geschwindigkeit der Teilchen zunächst in eine Richtung, aber bald darauf verteilt sich die Energie auf alle Richtungen

Wärmezufuhr durch Kontakt der Teilchen mit der heissen Wand erhöht auch die Geschwindigkeit der Teilchen, aber in alle Richtungen

Möglichkeiten der Energiezufuhr am Beispiel eines Gases

,

Gleichverteilung in der Thermodynamik

• Unabhängig von der Ursache– Arbeitszufuhr durch mechanische Arbeit, z. B.

mit gerichteter Bewegung eines Kolbens,– Energiezufuhr durch Erwärmung

• wird in einem thermodynamischen System die Energie - nach kurzer Zeit - auf alle Freiheitsgrade gleichverteilt

Der erste Hauptsatz der Wärmelehre

• Wärmezufuhr oder mechanische Arbeit erhöht die Geschwindigkeit der Gasteilchen

1 JÄnderung der inneren Energie durch Wärme oder mechanische Arbeit

1 JÄnderung der „inneren Energie“

1 J Zu- oder abgeführte Wärme

1 JDurch Volumenverkleinerung zugeführte Energie

WQU

U

Q

dVpW

Summe der Energiebeiträge aller

mikroskopischen Teilchen, 1/2kT pro

Teilchen und Freiheitsgrad

Jede Geschwindigkeits- Komponente eines

Teilchens im Gas ist ein Freiheitsgrad

Speziell: Ideales Gas

• Wärmezufuhr oder mechanische Arbeit erhöht die Geschwindigkeit der Gasteilchen

1 JÄnderung der inneren Energie durch Wärme oder mechanische Arbeit

1 JÄnderung der „inneren Energie“ beim idealen Gas

1 J Zu- oder abgeführte Wärme

1 JDurch Volumenverkleinerung zugeführte Energie

WQU

TkU 2

3

Q

dVpW

Energiezufuhr durch Wärme

1 JEnergiezufuhr durch Wärme

1 J/K Wärmekapazität

1 J/(gK) „Spezifische Wärme“

TmcTCQ

T

QC

m

Cc

Versuch zur spezifischen Wärme

• Erwärmung eines Liter Wassers in einem elektrischen Wasserkocher

• Leistung nach Typenschild• Berechnung der Energie zur Erwärmung bis um

Siedepunkt• Abschätzung der Aufheiz-Zeit bis zum Sieden

Energiezufuhr am idealen Gas durch mechanische Arbeit

1 JTemperaturerhöhung – bei konstantem Druck - durch mechanische Arbeit

TkVpW 2

3

Zustandsänderungen

Bei allen Zustandsänderungen eines idealen Gases gilt

• Die allgemeine Gasgleichung• Der 1. Hauptsatz der WärmelehreMan unterscheidet folgende Zustandsänderungen:• Isochor: dV=0, keine mechanische Arbeit• Isobar: Konstanter Druck • Isotherm: dT=0, konstante innere Energie• Adiabatisch: dQ=0, keine Energiezufuhr durch

Wärme

Zustandsänderungen

108

64

22

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

dQ=Cp*dTdU=dQ

Isochor:Isobar:

dU=dQ-p*dVdQ=Cv*dT

Isobar

Isotherm

Isochor

Tem

pera

tur

Volum

en

Druck

dQ=p*dV

dU=0Isotherm:VpQU

Isochore Zustandsänderung

1 JIsochor, konstantes Volumen dV=0

1 J

Die zugeführte Wärme leistet keine Arbeit, sie erhöht nur die innere Energie und damit die Temperatur

Allg. Gasgleichung 1. Hauptsatz

Beide Gleichungen müssen immer erfüllt seinTRVp VpQU

QU

TCQV

TCUV

Zusätzlich zur Erwärmung wird bei der zur Erhaltung des konstanten Drucks erforderlichen Volumenvergrößerung auch noch Arbeit gegen den Druck verrichtet

Isobare Zustandsänderung

,

Isobare Zustandsänderung

1 JIsobar, konstanter Druck dp=0

1 J

Die zugeführte Wärme erhöht die innere Energie (ΔU=Cv ·ΔT) und das Volumen, leistet Arbeit

1 JVolumenvergrößerung durch Temperaturerhöhung

1 J Daraus folgt: Cp-Cv=R

Allg. Gasgleichung 1. Hauptsatz

Beide Gleichungen müssen immer erfüllt seinTRVp VpQU

VpQU 0

TCQp

TRVp 0

TRCTCU pV )(

Spezifische Wärmen

Cp-Cv=R

• Die spezifische Wärme bei konstantem Druck ist immer höher als die bei konstantem Volumen– Zusätzlich zur Erwärmung wird bei der zur Erhaltung des

konstanten Drucks erforderlichen Volumenvergrößerung auch noch Arbeit gegen den Druck verrichtet

• In Festkörpern ist die spezifische Wärme durch die Zahl der Atome gegeben, unabhängig von der Art des Elements (Dulong-Petit Regel)– Jeder Freiheitsgrad beansprucht cv=k/2, in einem mol

cv,m=R/2

Isotherme Zustandsänderung

1 JIsotherm, konstante Temperatur, dT=0

1 JDie zugeführte Wärme leistet nur Arbeit

Allg. Gasgleichung 1. Hauptsatz

Beide Gleichungen müssen immer erfüllt seinTRVp VpQU

VpQ 00

VpQ

Allg. Gasgleichung 1. Hauptsatz

Beide Gleichungen müssen immer erfüllt sein

Adiabatisch, ohne Wärmezufuhr:

Die zugeführte Arbeit ändert die innere Energie

Im idealen Gas ist die Änderung der inneren Energie gleich der Änderung der Translations-Energie, sie ist proportional zur Temperaturerhöhung.

p durch V, T aus der allgemeinen Gasgleichung ersetzt: Differentialgleichung für T, V

Adiabatische Zustandsänderungen

TRVp VpQU

0Q

VpU

TCU V

V

TRp

VpTCV

V

VR

T

TC

V

Differentialgleichung

Integration über Temperaturen und die Volumina ergibt die „Poisson“ oder „Adiabatengleichung“

Temperatur T, die, ausgehend von T0, bei adiabatischer Prozessführung von V0 zu V erreicht wird

„Adiabatenexponent“

Zahlenwert für viele Gase

Adiabatische Zustandsänderungen

V

VR

T

TC

V

dVVC

RdTT

V

VV

T

T 00

11

00

lnlnV

V

C

R

T

T

V

VC

R

V

V

T

T

0

0

4,01

V

VP

V C

CC

C

RVp CC

0

1

0 TV

VT

Erwärmung bei adiabatischer Kompression eines Mols von 22,4 Litern auf 1,1 Liter

0,005 0,010 0,015 0,020200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Kubikmeter

Kel

vin

F1

(Die Verdichtung 22:1 entspricht etwa den Verhältnissen in Dieselmotoren)

600000500000

400000300000

200000100000

0,005

0,010

0,0150,020

0,0250,030

0

500

1000

4

321

Tem

pera

tur

Volum

en

Druck

Linien adiabatischer Zustandsänderungen

S1

S2Linien konstanter Entropie

dQ2/T2

dQ1/T1

Entropie-Differenz zwischen Linien gleicher Entropie

T

dQdS

Versuch adiabatische Kompression

• Adiabatische Kompression / Expansion eines Luftvolumens. Ein Thermoelement misst die Temperaturerhöhung / Erniedrigung

Zusammenfassung

Bei allen Zustandsänderungen eines idealen Gases gilt• Die allgemeine Gasgleichung• Der 1. Hauptsatz der WärmelehreMan unterscheidet folgende Zustandsänderungen:• Isochor: dV=0, keine mechanische Arbeit• Isobar: Konstanter Druck • Isotherm: dT=0, konstante innere Energie• Adiabatisch: dQ=0, keine Energiezufuhr durch Wärme• Besonders bevorzugt: Zustandsänderungen ohne

Wärmeaustausch (adiabatische Zustandsänderungen)– Linien gleicher Entropie auf der p, V, T Fläche

Finis