Wahrscheinlichkeitstheorie

Statistische Methoden IWS 2002/2003

Zur Geschichte der Statistik

I. Beschreibende Statistik

1. Grundlegende Begriffe

2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)

3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume

1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-

lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte

Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen

3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz

3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial

Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen

1. Semester

2. Semester

Wahrscheinlich-keitstheorie

Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

WahrscheinlichkeitstheoretischeInterpretation von Mengenoperationen

Vereinigung

Durchschnitt

Differenz

Komplement

Wahrscheinlichkeitsräume

Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

Daraus ergeben sich:

Urnenmodelle

AchtungAchtung

Aufgabe!

Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)

(Gaußsche Glockenkurve)

Die Poisson-Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Notation

Die Binomialverteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Notation

Die geometrische Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze.

Aus der Urne werden nacheinander m Kugelnohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen?

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

AchtungAchtung

Aufgabe!

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

Wahrscheinlichkeitsdichten

Die Exponential-Verteilung

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnisund –Kurve auf100 DM-Schein

Die Cauchy-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung

Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

UnabhängigkeitVier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften:

1 1 1

Eine Karte wird zufällig gezogen.

Ereignisse A, B und C

A : „Oben steht eine 0“B: „In der Mitte steht eine 0“C: „Unten steht eine 0“

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig:

d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.

Man hat zwar:

Allgemein definiert man:

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht-rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir:

Allgemein definiert man:

AchtungAchtung

Aufgabe!

AchtungAchtung

Aufgabe!

Pfadregel

Dann hat man:

1.1.2 1.2.2 2.1.1 2.1.2 2.1.3 3.2.1 3.2.2 3.3.11.2.1 3.3.2

1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3

1 2 3

START

p(1)p(2)

p(3)

p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3)

p(1.2 1) p(3.3 3)p(2.1 2)

(Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1)

Baumdiagramm

1.1.1 1.2.3 3.1.

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.

1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt.

2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.

Urne mit roten und grünen Kugeln

START

0 1

0 01 1

3/4 1/4

4/5 1/5 3/5 2/5

Baumdiagramm

AchtungAchtung

Aufgabe!

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend

Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaf-fen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich:

Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

5

Allgemein:

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht:

wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus-länder ist?

D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man:

Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus ErfahrungBeispiel

Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:

A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün

Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un-bekannt. Wir setzen:

P(A1) = p1

P(A2) = p2

P(A3) = p3

Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.

Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht.

„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“

B

Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir:

Ebenso:

Für große m nähert sich die bedingte Wahr-scheinlichkeit für „A3 gegeben B“ dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlich-keiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.

Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:

Grundbegriffe

der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie

VerteilungsfunktionBeispiel „Würfel“

VerteilungsfunktionBeispiel „n-facher Münzwurf“

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

VerteilungsfunktionBeispiel „Haushaltsgröße“

Beispiel „Haushaltsgröße“

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)

Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen

VerteilungVerteilungsfunktion

WahrscheinlichkeitsfunktionDichtefunktion

Verteilung

Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen

diskret stetig

diskret

f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion

von X

stetig

f nennt man Dichtefunktion

von X

Verteilungsfunktion

diskret stetig

diskret

stetig

Erwartungswert und Varianz I

Der endliche Fall

Erwartungswert

Varianz

Die Binomialverteilung

Erwartungswert

Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen

Dann gilt immer:

Wenn gilt

dann hat man auch

Gleichheit von Bienaymé

Der diskrete unendliche Fall

Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz II

Die Poisson-Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Der stetige Fall

f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte.Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert und Varianz III

Erwartungswert

Varianz

Die Gauß- oder Normalverteilung

AchtungAchtung

Aufgabe!

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Erwartungswert

Varianz

Die geometrische Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Erwartungswert

Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen

Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen einesradioaktiven Präparats

Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelletankenden PKW

Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto

Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zuregulierenden Schadensfälle

Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder

Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr

n : Anzahl der betrachteten Haushalte

Annahmen

Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushaltengleich

Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt:

d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert.

Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt:

Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson-Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

Der Zentrale Grenzwertsatz

AchtungAchtung

Aufgabe!

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

AchtungAchtung

Aufgabe!

noch eine

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y

hat man