Was am Ende bleiben sollte! Nachhaltigkeit an der BHS … · Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung,...

Was am Ende bleiben sollte! –Nachhaltigkeit an der BHS

(am Beispiel HAK)

Mag. Peter Hofbauer

pete r . ho fbauer @ s chu l e .a t

Glaubensfragen – der Mentalist?

Wie viele von ihnen kommen aus einer AHS?

Prognose: > 90%

Wie viele von ihnen wollen wieder an einer AHS

unterrichten?

Prognose: > 95%

Wie viele haben sich schon genauer(!) mit den

Inhalten der BHS-Mathematik beschäftigt?

Prognose: <2%

Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer

Der Plan

Ein paar Bemerkungen zur BHS-Mathematik

allgemein

BHS-Mathematik am Beispiel HAK

Was auch für den AHS-Unterricht interessant sein

könnte


AHS

§ 34. Aufgabe der allgemeinbildenden

höheren Schulen

(1) Die allgemeinbildenden höheren Schulen haben

die Aufgabe, den Schülern eine

umfassende und vertiefte Allgemeinbildung zu

vermitteln und sie zugleich zur Universitätsreife zu

führen.


BHS

Aufgabe der berufsbildenden höheren

Schulen

§ 65. Die berufsbildenden höheren Schulen haben

die Aufgabe, den Schülern eine höhere allgemeine

und fachliche Bildung zu vermitteln, die sie zur

Ausübung eines gehobenen Berufes auf

technischem, gewerblichem, kunstgewerblichem,

kaufmännischem oder hauswirtschaftlichem und

sonstigem wirtschaftlichen Gebiet befähigt und sie

zugleich zur Universitätsreife zu führen.


Unterschiede im Unterrichtsfach Mathematik abstrakter, formalmathematischer Ansatz der

AHS mit dem Ziel der Überprüfung einer

allgemeinen Studierfähigkeit

sich am doppelten Bildungsauftrag

orientierender, praxisbezogener Ansatz der

Berufsbildung mit dem Ziel der

Universitätsreife und Befähigung für

verschiedene gehobene Berufe


BHS-Lehrpläne für "Angewandte Mathematik" aller betroffenen Ausbildungsformen


BHS-Lehrpläne für "Angewandte Mathematik" aller betroffenen Ausbildungsformen

Dem Gegenstand fällt innerhalb einer

Ausbildung die wichtige Aufgabe zu,

insbesondere jene mathematischen

Kompetenzen bei den Schüler/inne/n zu

entwickeln, die sie für den praktischen

Einsatz im angestrebten Berufsfeld

benötigen.


Handelsakademien

Ausbildungsziel der Handelsakademie

Berufliche Fähigkeiten

a) Allgemeine Kenntnisse und Fertigkeiten

Die Handelsakademie vermittelt alle Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die für mittlere und höhere kaufmännische und administrative Tätigkeitenqualifizieren. die Absolventen können in allen Bereichen der Wirtschaft und der Verwaltung Managementfunktionen ausüben. Die Ausbildung in mindestens zwei lebenden Fremdsprachen ermöglicht deren Einsatz sowohl im Alltagsleben als auch in der Wirtschaftspraxis.


Handelsakademien

Details


../upi_Seminar/HAK.doc

HandelsakademienMathematik und angewandte Mathematik

Lehrstoff: I I . J a h r gang:

Basislehrstoff:

Zahlensysteme, Zahlenmengen, Terme und Potenzen.

Funktionen, Umkehrfunktionen.

Gleichungen und Ungleichungen, Gleichungssysteme, numerische Lösungen.

Matrizen.

Beschreibende Statistik (Einführung und Trendlinie) und deren grafischen Darstellungsformen.

Erweiterungslehrstoff:

Ungleichungssysteme. Vektoren. Aussagenlogik. Boolsche Algebra.

IT-Bezug:

Gesamter Lehrstoff. Computereinsatz mit entsprechender Software (CAS und/oder Tabellenkalkulation, bzw. grafikfähige Taschenrechner).

Schularbeiten:

Zwei einstündige Schularbeiten (bei Bedarf zweistündig).



Lehrstoff: I I I . J a h r gang:

Basislehrstoff:

Trigonometrische Funktionen, Anwendungen.

Wachstums- und Abnahmeprozesse.

Rekursive Darstellung von Folgen, Differenzengleichungen.

Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung, Schuldtilgung.

Komplexe Aufgabenstellungen.


Simulation dynamischer Systeme. Kryptografie, Codierungstheorie.

IT-Bezug:

Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation bzw. grafikfähige Taschenrechner).

Übungsfirmen-Konnex:

Finanzmathematik.

Schularbeiten:




Lehrstoff: I V . J a h r gang:

Basislehrstoff:

Grundlagen der Differenzialrechnung, Kosten- und Preistheorie.

Integralbegriff.

Kurs- und Rentabilitätsrechnung; Investitionsrechnung.



Weitere Anwendungen der Differenzialrechnung. Integralrechung. Aktienanalyse.

IT-Bezug:

Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation

bzw. grafikfähige Taschenrechner).

Übungsfirmen-Konnex:

Investitionsrechnung.

Schularbeiten:




Lehrstoff: V . J a h r gang:

Basislehrstoff:

Beurteilende Statistik.

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen, Regressionsrechnung, Korrelation; Kontingenz.



Kombinatorische Hilfsmittel, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Simulation wirtschaftlicher Modelle.

Vertiefung und Verknüpfung von Lehrstoffinhalten aller Jahrgänge. Schließende Statistik. Lineare Optimierung.

Aktienanalyse.

IT-Bezug:

Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation bzw. grafikfähige Taschenrechner).

Schularbeiten:



Handelsakademien

Betriebswirtschaft I I . J a h r gang: …

Material- und Warenwirtschaft:

Aufgaben, Supply-Chain-Management; Beschaffungsmarketing, Organisation und Planung (Bedarfsplanung, Bestellmenge, Lagerarten, Vorratssicherung); Kosten und Risiken; Kennzahlen in Verschränkung zur Waren- und Materialbewertung im Rechnungswesen.

Betriebswirtschaft III . J a h r gang: …

Finanzmanagement:

Investitionsplanung und Investitionsentscheidung.

Finanzplanung und Finanzierungsentscheidung.


Handelsakademien

Betriebswirtschaft IV . J a h r gang:Kreditinstitute:

Funktionen und wirtschaftliche Bedeutung.

Aktiv-, Passiv- und Dienstleistungsgeschäfte. Abrechnung von Giro-und Kontokorrentkonten; Spareinlagen;

Wertpapierabrechnungen; Berechnung von Renditen; Beurteilung von Abrechnungskonditionen.

Portfolio-Management:

Wertpapiere und sonstige Instrumente der Vermögensveranlagung.

Kapitalmarkt.

Wertpapierbörse.

Net-Banking; Kauf- und Verkaufsabrechnung, Renditeberechnung.

Versicherungen:

Funktionen und wirtschaftliche Bedeutung.

Arten der Versicherungen; Inhalt und Abschluss des Versicherungsvertrages; Schadensabwicklung.


Handelsakademien

Volkswirtschaft V . J a h r gang: Basislehrstoff:

Volkswirtschaftliche Grundlagen:

Grundprobleme der Volkswirtschaft, Mikro- und Makroökonomie;

Grundlagen der Wirtschaftspolitik;

Konjunktur und Wirtschaftswachstum, Konjunktur- und

Wachstumspolitik; Angebot und Nachfrage, Marktformenlehre,

Preismechanismus und Preispolitik; Produktionsfaktoren und deren

Zusammenwirken;

wichtigste Lehrmeinungen; Überblick über volkswirtschaftliche

Gesamtrechnung

…


Finanzmathematik – Begriffe (1)

Zinsen, Zinssatz: Unter Zinsen versteht man im

Allgemeinen eine Vergütung, die beim Entleihen oder

Sparen vom Entlehner an den Verleiher bzw. von der

Bank an den Sparer zu zahlen ist. Der Prozentsatz, der

die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum (Zinsperiode)

angibt, heißt Zinssatz.

Zinsperiode: Das ist jener Zeitraum, auf den sich der

angegebene Zinssatz bezieht und nach dessen Ablauf die

Zinsen in Rechnung gestellt bzw. gutgeschrieben werden.

Beispiele: 5 % pro Jahr (p.a.), 4 % pro Semester (p.s.),

2 % pro Quartal (p.q.), 1 % pro Monat (p.m.)



Verzinsungsart, Berechnungsbasis: Werden die Zinsen ohne

Rücksicht auf die Verzinsungsdauer immer vom

Ursprungskapital errechnet, also ohne Berücksichtigung von

Zinsen aus früheren Zinsperioden, so spricht man von einfacher

oder kaufmännischer Verzinsung. Rechnet man jedoch die

Zinsen aus früheren Zinsperioden dem Kapital hinzu und

verzinst diese mit, dann handelt es sich um Zinseszinsen.

Zinsfälligkeit, Zinsentrichtungszeitpunkt

(Zinskapitalisierungszeitpunkt): Je nach Vereinbarung werden

die Zinsen am Ende jeder Zinsperiode bezahlt bzw.

gutgeschrieben (dekursiv, nachschüssig oder nachfällig, etwa

beim Sparbuch) oder sie sind schon am Beginn jedes

Verzinsungsabschnitts fällig (antizipativ, vorschüssig oder

vorfällig, zB bei manchen – älteren - Hypothekardarlehen).



Tageberechnung: Da ein Kapital oft nicht genau für die Dauer einer

Zinsperiode unangetastet bleibt, ist es notwendig, Teile einer

Zinsperiode anzugeben. Hierzu ist die Kenntnis der

Berechnungsmodalitäten wichtig, darunter versteht man die Art, wie

das Jahr und die Monate in die Zinsberechnung eingehen. Folgende

Berechnungsmethoden (Usancen) haben sich im Finanzwesen

durchgesetzt:

30/360: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet, das Jahr mit

360 Tagen (deutsche Usance).

kal/365: Die Monate werden kalendermäßig gezählt und das Jahr

hat immer 365 Tage (englische Usance). 30/365: Jeder Monat hat

30 Tage, ein Jahr geht aber mit 365 Tagen in die Berechnung ein.

kal/360: Die Monate werden kalendermäßig gezählt, das ganze

Jahr wird mit 360 Tagen gerechnet (internationale Usance).

kal/kal: Monate und das Jahr werden kalendermäßig berechnet.


Verzinsungsmodelle - einfacher Zins

Bei der einfachen oder kaufmännischen Verzinsungwerden die Zinsen immer vom ursprünglichen Kapital berechnet. Damit bleiben die Zinsen für jede Zinsperiode gleich hoch, sind also unabhängig davon, wie viel Zinsen bereits früher verrechnet wurden.

Bezeichnet man das Anfangskapital (den Barwert oder

Present Value) mit K0, so gilt für das Endkapital (Endwert,

Future Value) nach einer Laufzeit von n Zinsperioden:

Kn=K0(1+n·izp)

K0 ... Anfangskapital, Barwert

n ... Anzahl der Zinsperioden

izp ... Zinssatz pro Zinsperiode (zB i, i12, ...)

Kn ... Endkapital (Endwert) nach n Zinsperioden


Verzinsungsmodelle - Zinseszins

Werden die Zinsen zu jedem Zinsentrichtungszeitpunkt kapitalisiert, dh. dem vorhandenen Kapital angerechnet, so spricht man von Zinseszinsrechnung. Das um die Zinsen veränderte Kapital ist dann Ausgangspunkt für die Zinsberechnung der nächsten Zinsperiode.

Für das Endkapital Kn nach n Zinsperioden bei einem Zinssatz izp pro Zinsperiode gilt bei der Berechnung mit dekursivem Zinseszins:

Kn=K0·rzpn=K0·(1+izp)n rzp … Aufzinsungsfaktor

In der Praxis ist der einfache (kaufmännische) Zins dort von Bedeutung, wo der Verzinsungszeitraum kürzer als die Zinsperiode ist. Bei der Verzinsung über mehrere volle Zinsperioden hinweg ist der Zinseszins von Bedeutung.


Vergleich von Zinssätzen

Jahresnennzinssätze jm, die bei gleichem Barwert und gleicher Verzinsungsdauer denselben Endwert liefern, nennt man äquivalent. Die dazugehörigen relativen Zinssätze im nennt man zueinander konform.

Der nominelle Jahreszinssatz (Nominalzinssatz, Jahresnennzinssatz) jm wird angegeben, wenn die Zinsen m-mal pro Jahr zu einem Zinssatz von im = jm /m berechnet werden. im nennt man dann den relativen Zinssatz.

Nominalzinssätze sind daher für Zinsberechnungen grundsätzlich ungeeignet!


Die Äquivalenzgleichung

Entspricht ein Zinssatz von 4%p.a. einem Zinssatz von 1%p.q.?

€100 mit 4%p.a. verzinst ergeben nach 1 Jahr: €104,00

€100 mit 1%p.q. verzinst ergeben nach 1 Jahr: €104,06(weil 4mal pro Jahr verzinst wird, dh. 100·1,014)

Welcher Quartalszinssatz entspricht einem Zinssatz von 4%p.a.?

K0·(1+0.04)=K0·(1+i4)4

allg. gilt für konforme Zinssätze: (1+im)m = (1+ik)k


00985,0104,144 i

Die geometrische Reihe und ihre Folgen - Rentenrechnung

Unter Rente versteht man eine Folge von regelmäßig

wiederkehrenden Ein- oder Auszahlungen mit im

Allgemeinen gleich bleibenden Beträgen, den Rentenraten

(meist kurz Raten genannt). Die Zeitspanne zwischen zwei

aufeinander folgenden Zahlungen nennt man

Rentenperiode.

Je nachdem, ob die Zahlungen am Beginn oder am Ende

einer Periode geleistet werden, spricht man von einer

vorschüssigen Rente (Rente praenumerando, zB bei

Kapitallebensversicherungen oder Bausparverträgen)

oder einer nachschüssigen Rente (Rente postnumerando,

zB bei Krediten oder Gehaltszahlungen).


nachschüssige Rentenzahlungen


R RRR R R

zp

t

zp

ti

)i(RE

11 :RenteigennachschüsseinerEndwert

vorschüssige Rentenzahlungen


R RRR R R

zp

t

zp

zpti

)i(iRE

111

:RentegenvorschüssieinerEndwert

Bsp. Bausparvertrag


Finanzmathematik


Kosten- und Preistheorie

Kostenfunktion: fasst alle entstehenden Kosten (K) zusammen die für die Produktion einer bestimmten Menge (x) eines Produktes entstehen

Arten von Kosten:

variabel (vom Beschäftigungsgrad abhängig)

fix (vom Beschäftigungsgrad unabhängige Kosten)

absolut-fixe Kosten

intervall-fixe Kosten


Kostenverläufe

= Einteilung der Kosten nach ihrem Verhalten bei

unterschiedlichem Beschäftigungsgrad

proportionale Kosten: Kosten wachsen gleichlaufend mit

der Beschäftigungsgradzunahme

progressive Kosten: Kosten wachsen verhältnismäßig

schneller als die Beschäftigungsgradzunahme

degressive Kosten: Kosten wachsen verhältnismäßig

langsamer als die Beschäftigungsgradzunahme

regressive Kosten: Kosten sinken mit zunehmendem

Beschäftigungsgrad


Kostenverläufe


Kostenverläufe als KuDi

Man kann an der Krümmung der Funktion erkennen, wie

sich die Kosten verhalten.

proportionale Kosten: Funktion ist eine (steigende) Gerade

progressive Kosten: Linkskrümmung

degressive Kosten: Rechtskrümmung

regressive Kosten: Kostenfunktion fällt


Kostenverläufe als math. Modell

Meist unterliegen (einfache) Kostenmodelle der Annahme,

dass der Kostenverlauf sowohl aus einem progressiven als

auch einem degressiven Anteil bestehen.

Welche Polynomfunktion erfüllt diese Voraussetzung?

kubische Kostenfunktion: K(x)= ax3 + bx2 + cx + d


KuDi der Kostenfunktion

Kostenkehre: bezeichnet jene Produktionsmenge, bei der

sich der Kostenverlauf ändert.

math.: Wendepunkt der Kostenfunktion

Grenzkosten(funktion): Als Grenzkosten(funktion)

bezeichnet man die 1. Ableitung der Kostenfunktion.

Bedeutung?

Sie gibt an, um wie viel sich die Kosten ändern, wenn die

Produktion eines Gutes um eine (im Allgemeinen unendlich

kleine) Einheit erhöht wird lokale Linearisierung!


Betriebsoptimum, langfristige Preisuntergrenze

Betriebsoptimum … Produktionsmenge, bei der die

durchschnittlichen totalen Kosten minimal sind.

langfristige Preisuntergrenze … Stückkosten im

Betriebsoptimum

math.:

Bedeutung?


.min)(

)( x

xKxS:nfunktionStückkoste

Betriebsminimum, kurzfristige Preisuntergrenze

Betriebsminimum … Produktionsmenge, bei der die

durchschnittlichen variablen Kosten minimal sind.

kurzfristige Preisuntergrenze … variable Stückkosten im

Betriebsminimum

math.:

Bedeutung?


.min)0()(

)(

x

KxKxSv:nfunktionStückkoste variable

Ein Beispiel

Von einem Betrieb ist die Kostenfunktion bekannt:

K(x)=0,1x³-1,8x²+14x+15

Bestimme die Kostenkehre, Betriebsoptimum und –

minimum sowie die kurz- und langfristige Preisuntergrenze

und gib eine Interpretation der Ergebnisse.


Angebot und Nachfrage

Angebotsfunktion: beschreibt das Angebotsverhalten (der Produzenten) abhängig vom erzielbaren Marktpreis

je höher der erzielbare Preis, desto größere Mengen werden hergestellt (bzw. mehr Konkurrenten sind auf dem Markt)

Kostenrechnung legt Mindestpreise fest (Preis im

Betriebsminimum bzw. –optimum)

Nachfragefunktion: beschreibt die Marktnachfrage in

Abhängigkeit vom Preis

je höher der Preis ist, desto niedriger ist die Nachfrage

(Ausnahmen möglich, zB Snobeffekt)


Diskussion linearer Funktionen

Die einfachsten Modelle für Angebots- und

Nachfragefunktionen sind linear:


Ein Beispiel

In einem Polypol gelten folgende Eigenschaften für ein

bestimmtes Produkt:

Der Mindestpreis für die Erzeugung beträgt €250. Bei

einem erzielbaren Preis von €400 werden 10000 Stück

angeboten.

Bei einem Verkaufspreis von €300 besteht eine Nachfrage

nach 15000 Stück, jede Preiserhöhung um €50 führt zu

einem Nachfragerückgang um 1000 Stück.

Ermitteln Sie die Angebots- und Nachfragefunktion,

Sättigungsmenge und Höchstpreis und den

Gleichgewichtspreis.


Gewinnmaximierung, Cournotscher Punkt

Am atomistischen Markt (Polypol) muss der Produzent

den vorgegebenen Marktpreis akzeptieren.

Ein (Quasi-)Monopolist kann den Verkaufspreis

gewinnmaximierend festsetzen:

Cournotscher Punkt (C): bezeichnet den Punkt der

gewinnmaximalen Absatzmenge und des

gewinnmaximalen Preises, dh. C (xmax | pmax)


Ein Beispiel

Ein Monopolist hat bei der Erzeugung seiner Ware

Fixkosten in Höhe von €8000 und variable Kosten von

€100 pro Stück.

Am Markt stellt sich eine Sättigungsmenge bei 55

Produktionseinheiten ein, bei jeder Preiserhöhung um €20

sinkt die Nachfrage um 1 Produktionseinheit.

Bestimme den Cournotschen Punkt.


Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Erster Prüfungstermin: 08.11.2010

Anmeldung bis 04.11.2010 unter

[email protected]

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