Wenn Naturgefahren auf Aktuare treffen · Dr. Gero Nießen 19. Januar 2015 © 2015 Towers Watson....

Dr. Gero Nießen 19. Januar 2015

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Versicherungsmathematisches Kolloquium der Universität zu Köln

Wenn Naturgefahren auf Aktuare treffen …


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Einführung

Naturgefahrenmodellierung

Sensitivitätsanalyse

Agenda


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Einführung



Agenda

Ereignisse aus der jüngeren Vergangenheit


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Vier der weltweit zehn teuersten Naturkatastrophen 2013 betrafen

Deutschland:

2007: Kyrill

2002: Hochwasser

Quelle: SwissRe, Handelsblatt

Ereignistyp Zeitraum Weltrang-

listenplatz

Volkswirtschaftlicher

Schaden

Hochwasser Frühjahr Rang 1 18 Mrd. USD

Hagelstürme Juli Rang 2 4,8 Mrd. USD

Sturm „Christian“ Oktober Rang 5 2,7 Mrd. USD

Sturm „Xaver“ Dezember Rang 10 1,4 Mrd. USD

Das NatCat-Risiko ist einer der wesentlichen Treiber des

Risikokapitals von Schaden-/Unfallversicherern


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Quelle: BaFin; Ergebnisse der fünften quantitativen Auswirkungsstudie zu Solvency II (QIS 5)

Naturgefahren bleiben – Versicherungen wesentlich für

die gesamtwirtschaftliche Entwicklung


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Quelle: Aktuar aktuell 28, Dezember 2014

Naturgefahren und ihre Auswirkungen aus

unterschiedlichen Perspektiven


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Individuum Sturm Hagel Flut Erdbeben

Kraftfahrt-Kasko

Gebäude

Hausrat/Inhalt

„Elementarschäden“

(sind NICHT in der klassischen

Wohngebäudeversicherung gedeckt)

Portefeuille Sturm Hagel Flut Erdbeben

Kraftfahrt-Kasko

Gebäude

Hausrat/Inhalt

Mikroskopisch

Erstversicherer

Tarifierung

Einzelnes Risiko

Makroskopisch

Rückversicherer / Broker

Risikokapital / Rückversicherung

Portefeuille von Risiken


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Unterschiede in der aktuariellen Sichtweise

Beispiel Profitabilität Wohngebäude-Sturm


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0 1 2 3 4

Anzahl der Sturm-Vorschäden in den letzten drei Jahren (vor dem Modellierungsjahr)

Exposure Beobachteter Schadensatz

Dieser Effekt wird durch

keines der üblicherweise in

den Daten vorhandenen

Risikomerkmale auch nur

annähernd beschrieben.


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Einführung



Agenda

Modellierung von Naturgefahren auf Portefeuille-Ebene –

Herausforderungen (nicht nur) aus aktuarieller Sicht


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• „Low frequency, high severity“

Naturgefahren treten im Regelfall selten, dann aber mit extremen Schadenhöhen auf

• z.B. Erdbeben in Deutschland

Historische Zeitreihen sind fast immer zu dünn besetzt für valide statistische Schlussfolgerungen

• Zerstörung eines Wärmedämmverbundsystems durch Hagelschlag

• Schäden an Photovoltaikanlagen durch Sturm oder Hagel

• Erhöhte Dichte der Bebauung

• Steigender Anteil von Verträgen mit Elementargefahrendeckung

• Gestiegenes Anspruchsdenken

• …

Verwendung der Schadenhöhen aus der Vergangenheit zur Prognose zukünftiger Schadenhöhen schwierig, z.B.:

Naturgefahrenmodelle


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Quelle: RMS Model Use & Uncertainty, Camar, 10.10.2012

Geophysikalische Modelle:

Schematische Funktionsweise


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Grundlage ist ein Event-Set:

• Schadenereignisse der Vergangenheit

• Ergänzt durch „virtuelle“ Ereignisse (solche, die eintreten können, aber bisher nicht eingetreten sind)

• Expertenschätzungen zu Eintrittswahrscheinlichkeiten

Geokodiertes Portefeuille des Versicherers (möglichst mit

detaillierten Angaben zu Gebäudetyp etc.)

„Zufällige Ziehung“ von Ereignissen aus dem Event-

Set

Je Ereignis: Berechnung der Auswirkungen auf das

Portefeuille

Zusätzlich: Stochastische Variation relevanter

Ereignisparameter, z.B. Zugbahn, Windintensität, etc.

und Abschätzung des entsprechenden

Portefeuilleschadens


Schematische Funktionsweise


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Simulation des Events

•„Ziehung“ aus dem Event-Set

Auswirkung des Events

auf das Portefeuille

•Zusätzlich: Stochastische Variation der Eventparameter

Bestimmung der

Auswirkungen auf:

•Risikokapital

•Rückversicherung

•GuV

•…


Typische Outputs


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PML-Kurven / Wiederkehrperioden

OEP (Occurrence Exceedance Probability)

AEP (Annual Exceedance Probability)

ELT (Event Loss Table)

Ein hilfreicher Output für Aktuare: Event Loss Table (ELT)


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Event-

NummerFrequenz

Mittle re r

Schaden

Standard-

abwe ichungExposure -Wert

293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146

293.938 0,01289% 426.681.099 94.880.726 49.128.110.933

293.947 0,01289% 573.762.846 126.193.163 65.257.654.865

294.977 0,01289% 437.198.014 108.028.869 62.425.476.103

296.170 0,03437% 374.292.159 94.097.920 52.560.235.331

296.571 0,00067% 454.408.893 111.371.377 65.126.446.195

297.574 0,02578% 357.142.043 91.827.511 58.114.211.227

297.593 0,01289% 510.797.540 90.720.692 53.780.275.050

298.141 0,01125% 541.977.864 95.083.264 42.399.842.203

299.058 0,00106% 496.064.663 100.853.691 49.390.686.739

299.065 0,00137% 410.965.099 101.117.923 61.013.310.071

299.670 0,00950% 424.724.093 85.192.105 43.202.201.165

299.694 0,00262% 377.517.286 76.006.118 36.562.011.738

299.955 0,00095% 797.312.982 121.409.866 50.905.670.174

300.089 0,01750% 540.570.770 92.799.131 37.540.869.586

300.095 0,00086% 355.946.595 99.086.160 64.468.657.552

300.097 0,01750% 478.775.287 88.261.491 34.865.765.043

300.124 0,00802% 1.032.460.638 156.985.298 61.810.377.579

...

...

...

...

...

Informationen in einer ELT


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Event-Nr.: Festgelegt vom Anbieter (Event-Set)

Frequenz: Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Ereignisses

Mittlerer Schaden: Erwartungswert des Schadens für das spezifische Portefeuille des VU aus diesem Ereignis (Schadengradkurve ist stochastisch)

Standardabweichung

Exposure-Wert: Von diesem Event gefährdetes Exposure des VU

Event-

NummerFrequenz

Mittlerer

Schaden

Standard-

abweichungExposure-Wert

293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146

Modellierung einzelner Ereignisse mit Hilfe der ELT


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Je Event-Nummer: Verwendung der Werte „Mittlerer Schaden“, „Standardabweichung“ und „Exposure-Wert“ zur Parametrisierung der Schadengradkurve (unter der Annahme: Schadengrad ist Beta-verteilt)

Die Summe über die Frequenzen aller Event-Nummern ergibt den Erwartungswert der Anzahl der Ereignisse je Jahr

Simulation der Anzahl der Ereignisse pro Jahr

Je Ereignis:

• „Auswürfeln“ der Event-Nummer

•Ziehung des Schadengrades aus der Beta-Verteilung

•Schadenhöhe ergibt sich als Produkt aus Schadengrad mit Exposure-Wert

Event-

NummerFrequenz

Mittlerer

Schaden

Standard-

abweichungExposure-Wert

293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146

Beispielhafte Ergebnisse aus einem Simulationsmodell


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Eigene Sichtweise ist notwendig!


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Quelle: RMS Model Use & Uncertainty, Camar, 10.10.2012

Verwendung eigener Daten: Hagel-KfZ


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Schadendatum

Gesamtaufwand

aus dem Ereignis

(indexiert auf das

zu modellierende

Jahr)

Anzahl betroffener

Risiken

Anzahl versicherter

Risiken

Betroffen-

heitsgrad

Durchschnitts-

schaden

12/05/1990 39,026,166 58,578 1,001,980 5.85% 666

18/05/1990 6,561,265 15,955 1,001,980 1.59% 411

05/06/1990 9,762,185 32,169 1,001,980 3.21% 303

21/06/1990 1,408,154 13,970 1,001,980 1.39% 101

15/07/1990 15,019,904 72,349 1,001,980 7.22% 208

16/08/1990 7,227,897 54,240 1,001,980 5.41% 133

13/03/1992 6,434,826 36,999 1,035,314 3.57% 174

10/05/1992 7,940,952 39,900 1,035,314 3.85% 199

05/07/1992 3,878,351 27,193 1,035,314 2.63% 143

18/03/1993 4,408,972 37,915 1,051,981 3.60% 116

10/03/2011 18,104,430 62,838 1,351,987 4.65% 288

23/03/2011 2,263,324 18,943 1,351,987 1.40% 119

20/04/2011 4,284,516 38,505 1,351,987 2.85% 111

12/07/2011 22,301,422 32,649 1,351,987 2.41% 683

24/07/2011 17,018,896 109,257 1,351,987 8.08% 156

12/03/2012 24,487,825 78,501 1,368,654 5.74% 312

15/03/2012 2,326,921 21,679 1,368,654 1.58% 107

19/04/2012 8,781,395 78,619 1,368,654 5.74% 112

25/05/2012 8,291,493 68,182 1,368,654 4.98% 122

10/04/2013 4,730,136 44,119 1,385,321 3.18% 107

...

...

...

...

...

...



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Schadendatum

Gesamtaufwand

aus dem Ereignis

(indexiert auf das

zu modellierende

Jahr)

Anzahl betroffener

Risiken

Anzahl versicherter

Risiken

Betroffen-

heitsgrad

Durchschnitts-

schaden

12/05/1990 39,026,166 58,578 1,001,980 5.85% 666

18/05/1990 6,561,265 15,955 1,001,980 1.59% 411

05/06/1990 9,762,185 32,169 1,001,980 3.21% 303

21/06/1990 1,408,154 13,970 1,001,980 1.39% 101

15/07/1990 15,019,904 72,349 1,001,980 7.22% 208

16/08/1990 7,227,897 54,240 1,001,980 5.41% 133

13/03/1992 6,434,826 36,999 1,035,314 3.57% 174

10/05/1992 7,940,952 39,900 1,035,314 3.85% 199

05/07/1992 3,878,351 27,193 1,035,314 2.63% 143

18/03/1993 4,408,972 37,915 1,051,981 3.60% 116

10/03/2011 18,104,430 62,838 1,351,987 4.65% 288

23/03/2011 2,263,324 18,943 1,351,987 1.40% 119

20/04/2011 4,284,516 38,505 1,351,987 2.85% 111

12/07/2011 22,301,422 32,649 1,351,987 2.41% 683

24/07/2011 17,018,896 109,257 1,351,987 8.08% 156

12/03/2012 24,487,825 78,501 1,368,654 5.74% 312

15/03/2012 2,326,921 21,679 1,368,654 1.58% 107

19/04/2012 8,781,395 78,619 1,368,654 5.74% 112

25/05/2012 8,291,493 68,182 1,368,654 4.98% 122

10/04/2013 4,730,136 44,119 1,385,321 3.18% 107

...

...

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...

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Betroffenheitsgrad

Anzahl betroffener Risiken /

Anzahl versicherter Risiken

Durchschnittsschaden

Gesamtaufwand /

Anzahl betroffener Risiken



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Anpassen von Verteilungen für

Betroffenheitsgrad (z.B. Beta-

Verteilung)

Durchschnittsschaden (z.B.

LogNormal-Verteilung)

Geeignete Annahme über

Abhängigkeiten treffen

Verteilung für Anzahl der

Ereignisse pro Jahr

parametrisieren

Simulation von Einzelereignissen

Verwendung eigener Daten: Hagel – Abhängigkeit

zwischen Betroffenheitsgrad und Durchschnittsschaden


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Einführung



Agenda

Welche Anforderungen resultieren aus Solvency II?


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Gerade im Bereich

NatCat sind also wegen

seiner Relevanz für die

Höhe des Risikokapitals

Sensitivitätsanalysen

durchzuführen.

Mögliche Sensitivitätsanalysen für Naturgefahren


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Naturgefahrenmodell mit unterschiedlichen Exposureinformationen oder Event-Sets berechnen und anschließender Durchlauf des internen Modells

Alternative Naturgefahrenmodelle (anderer Hersteller) zur Berechnung verwenden

„Geeignete“ Skalierung des Outputs der Naturgefahrenmodelle, um die eigene Einschätzung adäquat abzubilden

Adjustierung der Gewichtung einzelner Simulationsszenarien zur Einbringung eigener Sichtweisen (REVO)

REVO: Relative Entropy View Overlay


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Einsatz im Rahmen von ESG‘s:

• Expertenmeinungen über

• Erwartungswerte

• Schwankungen

• Perzentile

• etc.

• sollten konsistent zum ESG verarbeitet werden (vor allem inklusive des Erhalts der durch den ESG vorgegebenen Abhängigkeitsstrukturen)

Einsatz im Rahmen von NatCat (oder auch ManMadeCat):

• Expertenmeinungen einbringen

• Sensitivitäten testen (Rückversicherung, SCR, etc.)

• Stresstests

REVO: Funktionsweise


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Standardmäßig ist jedes Szenario in einem Simulationsmodell mit dem gleichen Wert gewichtet („1“), d.h. die Gewichtung der Szenarien ist gleichverteilt.

Ziel ist es, die Gewichtung so zu verändern, dass die Vorgaben erreicht werden (bei gleichzeitigem Beibehalten der Abhängigkeitsstrukturen!)

Hätten wir (zufällig) ein Szenario, das genau die Vorgaben enthält, würde man das Ziel erreichen, indem man dieses Szenario mit 1 gewichtet und den Rest mit 0, was aber dem eigentlichen Ziel der Simulation zuwiderläuft.

REVO sucht nun die Gewichtung, bei der in den Szenarien die maximale „Unsicherheit“ verbleibt (die Entropie der Gewichte ist maximal).

Entropie: Theorie


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Wikipedia: „Entropie ist ein Maß für den mittleren Informationsgehalt

pro Zeichen einer Quelle, die ein System oder eine Informationsfolge

darstellt.“

ℍ 𝑋 = − 𝑝𝑗 log 𝑝𝑗

𝑛

𝑗=1

Claude Shannon

(1916 – 2001)

Entropie am Beispiel des Münzwurfs


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Bei einem Münzwurf ist das Erscheinen von Kopf und Zahl gleichwahrscheinlich.

Wenn man die Entropie als Maß der Ungewissheit auffasst, so wird sie hier maximal, denn es ist ungewiss, ob beim nächsten Wurf Kopf oder Zahl geworfen wird:

Ist 𝑋 die diskrete Zufallsvariable mit 𝑃 𝑋 = 𝐾𝑜𝑝𝑓 = 1 2 = 𝑃 𝑋 = 𝑍𝑎ℎ𝑙 , dann ergibt sich ℍ 𝑋 = − 𝑝𝑗 log2 𝑝𝑗

𝑛𝑗=1 = 0,5 + 0,5 = 1.

Bei einer gezinkten Münze mit Wahrscheinlichkeit für Kopf 75% und für Zahl 25%, ist die Ungewissheit für den Ausgang des nächsten Wurfes geringer als bei einer normalen Münze.

Die Entropie als Maß für die Ungewissheit sinkt in diesem Fall auf 0,811.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0% 20% 40% 60% 80% 100%

En

tro

pie

(In

form

ati

on

sg

eh

alt

)

Wahrscheinlichkeit für Kopf

Entropie beim Wurf einer Münze

REVO: Mögliche Ergebnisse im Simulationsmodell


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Sim.-

Nr.

NatCat-Ereignisse Brutto-

schäden

RV-

Entlastung

GuV Gewichtung

original

Gewichtung

REVO

1 1 mittlerer Sturm

1 schwere Überschwemmung

… … … 100% 250%

2 - … … … 100% 10%

3 - … … … 100% 20%

4 1 schwerer Sturm … … … 100% 140%

5 1 leichter Sturm

1 leichte Überschwemmung

… … … 100% 80%

… … … … … … …

REVO in der Praxis: Originalverteilung


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REVO in der Praxis: Adjustierung des Mittelwertes


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REVO in der Praxis: Adjustierung eines Perzentils


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REVO in der Praxis: Eine extremere Modifikation


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Schematische Darstellung in einem modularen System


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Ermöglicht die Analyse von Stress-

und Sensitivitätstests ohne erneutes

Durchrechnen der „Vormodelle“!

Beispiel: Auswirkung unterschiedlicher Stressszenarien

auf die Nettoposition und das SCR


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REVO: Fazit


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Neben dem Nutzen von REVO für die Verwendung im Kontext eines ESG bestehen weitere Nutzen hinsichtlich:

• Adjustierung der Modellrechnungen von Drittanbietern

• Sensitivitätstests

• Stresstests

In vielen Fällen können neue

Modelldurchläufe vermieden werden

Abhängigkeiten im Modell bleiben

bestehen

Sensitivitäts- und Stresstests können leicht durchgeführt werden; auch für solche Tests, die nicht direkt über Modellparameter gesteuert werden

können

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T +49 (0)221 8000 3269

F +49 (0)221 8000 3456

M +49 (0)173 7013 249

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