Technische Universität Wien

Seminararbeit

Wie Derivate die Finanzweltveränderten

Franz Reiter

Betreuer:Associate Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold

Wintersemester 2016/17

Inhaltsverzeichnis1 Vorwort 2

2 Grundlagen 32.1 Derivat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Call & Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Straddle & Butterfly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Long und Short . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Moneyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Exotische Optionen 83.1 Digital Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Lookback Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Asian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Barrier Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Preisfindung / Arbitrage 12

5 Capital Asset Pricing Model 14

6 Black-Scholes-Formel 156.1 Lemma von Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Die Black-Scholes-Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Die Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Abbildungsverzeichnis1 Forward Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Call und Put Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Straddle und Butterfly Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Digital Option Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Lookback Payoff Floating Strike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Lookback Payoff Fixed Strike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Barrier Payoff I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Barrier Payoff II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 Call und Put nach Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011 Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 Gamma und Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213 Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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1 VorwortDie vorliegende Seminararbeit beschäftigt sich mit Derivaten, welche verschiedenen Ar-ten es davon gibt und welche Fragestellungen zu diesem Thema die Mathematiker be-schäftigen. Einigen aufmerksamen Leser wird bei dieser Seminararbeit auffallen, dass sieeinige Begriffe und Ergebnisse bereits aus der Pflicht-Lehrveranstaltung „Finanzmathe-matik 1: diskrete Modelle“ kennen werden. Ich habe für meine Seminararbeit versuchtdass sich die hier behandelten Themen soweit wie möglich nicht mit oben genannnterPflicht-Lehrveranstatlung überschneiden - was nicht immer leicht war. Daher habe ichmir erlaubt, den mathematischen Aspekt - zumindest in den ersten Kapitel - ein bisschenin den Hintergrund zu rücken und eher den ökonomischen Ansatz darzustellen - dies warvor allem in Kapitel 2 der rote Faden, wo zuerst die grundlegenden Begriffe erklärt (oderje nach Vorwissen wiederholt) werden.

Darauf aufbauend werden wir uns Kapitel 3 widmen, in dem wir einige Arten von De-rivaten untersuchen. Die Auflistung in dieser Seminararbeit ist natürlich nur ein kleinerAusschnitt, eine Momentaufnahme von einer schier unermesslichen Anzahl verschiedens-ter Derivate zu denen natürlich laufend neue hinzukommen. Nachdem wir dann einigeArten von Derivaten kennen gelernt haben, widmen wir uns in Kapitel 4 die Frage derfairen Preisgestaltung - dabei sollen auch die Begriffe des Replizierens und der Arbitra-ge nicht unerwähnt bleiben, sie wurden jedoch bereits in „Finanzmathematik 1: diskreteModelle“ hinreichend besprochen und werden daher hier nicht mehr im Detail behandelt.Den Abschluss dieser Seminararbeit sollen zwei Themen einnehmen, die auf den erstenBlick nicht allzu viel miteinander verbindet. In Kapitel 5 widmen wir uns dem CAPM(Capital Asset Pricing Model), einem Marktmodell das auf einer im Grunde genommensehr einfachen Idee aufbaut. Ich möchte dieses Modell kurz vorstellen da Black und Scho-les bei der Herleitung ihrer Formel diese Markmodell kannten, und ihre Überlegungen indiesem Modell auch entsprechend zur Herleitung der Black-Scholes-Formel beigetragenhaben. Im Kapitel 6, wo wir uns genauer mit der Black-Scholes-Formel befassen, werdenwir uns dann hauptsächlich dem mathematischen Zugang widmen - dies führt uns indas Gebiet der stochastichen Analysis. Mithilfe des dort geläufigen Itô-Integrals werdenwir die Black-Scholes-Differentialgleichung herleiten, die dann entsprechend gelöst wer-den kann und, mit den entsprechenden Randbedingungen, die berühmte Formel für einenCall- bzw. einen Putpreis ergibt.

Für meine Arbeit habe ich mich vor allem an drei Bücher orientiert: Das Buch Derivatives:The Tools That Changed Finance von Boyle, Phelim. P & Boyle, Feidhilm liefert einesolide Grundlage für das Verständnis von Derivaten und deren Preisgestaltung. Für denmathematischen Aspekt dieses Themas habe ich mich vor allem an Stochastic Finance:An Introduction in Discrete Time von Föllmer, Hans & Schmied, Alexander orientiert.Desweiteren wurde der für die Itô-Formel nötige Teil dem Buch Stochastic Processes: ACourse Through Excercises von Brezniak, Zdzislaw & Zastawniak, Tomasz entnommen.Da für dieses Thema die wichtigste Sprache Englisch ist, werde ich meistens auch diesenFachjargon verwenden, da es oft auch für einige Begriffe keine geeignete Übersetzung insDeutsche gibt.

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2 Grundlagen

2.1 Derivat

Für die grundlegenden Begriffsbildungen orientieren wir uns an [8, S. 111].Unter einem Derivat verstehen wir

• ein ausgestelltes Recht

• zum Kauf bzw. Verkauf von bestimmten Basiswerten

Diese Basiswerte sind z.b. einzelne Aktienkurse, Kurse von Rohstoffen oder auch Fremd-währungen. Betrachten wir ein Derivat aus Käufersicht sprechen wir von einer sogennan-ten Long Position, während wir aus Sicht des Verkäufers eine Short Position haben.

2.2 Forward

Ein Forward Contract - oft nur Forward genannt - (Termingeschäft) verpflichtet,

• einen bestimmten Basiswert

• am Ende einer vereinbarten Laufzeit

• zu einem vorher fixierten Preis

• zu kaufen oder zu verkaufen.

Der vorher fixierte Preis wird dabei als Delivery Price (Lieferpreis), der Wert des Basis-werts als Underlying bezeichnet.

Bezeichnen wir nun den Delivery Price mit K und den Wert des Underlyings mit S, istder Payoff (Gewinn), den wir mit Cfw bezeichnen, gegeben durch

Cfw = S −K

Abbildung 1: Payoff eines Forwards

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2.3 Option

Eine Option berechtigt,

• gegen Bezahlung einer Prämie

• einen bestimmten Basiswert

• in Zukunft

• zu einem vorher fixierten Preis

• zu kaufen oder zu verkaufen.

Der vorher fixierte Preis wird hier, im Unterschied zum Forward, als Strike Price (Aus-übungspreis) bezeichnet. Die zu bezahlende Optionsprämie wird Option Premium ge-nannt. Im Unterschied zum Forward liegt hier Recht und keine Pflicht auf Ausübung vor- man kann eine Option ausüben (engl. to exercise the option) oder auch nicht.

Außerdem kann der Zeitpunkt, in dem eine Option fällig wird, sich von dem eines For-wards unterscheiden: Ist die Ausübung nur am Ende der vereinbarten Laufzeit möglichspricht man von einer europäischen Option. Im Gegenzug dazu spricht man von eineramerikanischen Option, wenn diese zu einem beliebigen Zeitpunkt während der gesamtenLaufzeit ausgeübt werden kann. Eine andere Variante besteht darin, wenn die Ausübungder Option an bestimmten, vorher fixierten Zeitpunkten möglich ist - diese Optionsartnennt man Bermudan Option. Ab jetzt betrachten wir, wenn nicht anders erwähnt, nureuropäische Optionen.

2.4 Call & Put

Bei einer Call Option (Kaufoption) wird dem Inhaber dieser Option das Recht einge-räumt, eine bestimmte Sache in Zukunft zu einen vorher vereinbarten Preis zu kaufen.Analog wird bei einer Put Option (Verkaufsoption) dem Inhaber dieser Option das Rechteingeräumt, eine bestimmte Sache in Zukunft zu einem vorher vereinbarten Preis zu ver-kaufen.

Wir sehen, dass man bei einer Call Option auf das Steigen des Preises hofft, währendhingegen bei einer Put Option das Fallen des Preises einen Gewinn abwirft.

Sei nun der Strike Price K und der Wert des Underlyings S, so gilt unter der Annahme,dass keine Optionsprämie fällig ist

Ccall = max((S −K), 0) = (S −K)+

Cput = max((K − S), 0) = (K − S)+

Bei einem Call bzw. einem Put ist der Verlust, im Gegensatz zum Forward, mit unsererAnnahme nach unten durch 0 beschränkt, da im Falle S < K der Call bzw. im FalleS > K der Put nicht ausgeübt wird.

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Abbildung 2: Payoff eines Calls bzw. eines Puts

2.5 Straddle & Butterfly

Betrachten wir nun Kombinationen von Calls und Puts so ergeben sich wiederum eigeneOptionen mit entsprechenden Payoffs, vgl. hierzu [5, 1.23 & 1.24]. Kauft man einen Callund einen Put auf dasselbe Underlying so ergibt sich ein sogenannter Straddle, der Payoffdieses Derivats ist

Cstraddle = Ccall + Cput = (S −K)+ + (K − S)+ = |S −K|

Der Payoff des Straddles steigt somit, je weiter sich der Preis vom Strike weg bewegt -man hofft somit auf eine starke Änderung der Preise.

Eine sogenannter Butterfly ist hingegen das Hoffen auf möglichst gleichbleibende Preise.Der Payoff ist hierbei gegeben durch

Cbutterfly = (K − |S −K|)+ = (K − Cstraddle)+

Abbildung 3: Payoff eines Straddles bzw. eines Butterflys

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Wenn wir nun Call und Put auf dasselbe Underlying folgendermaßen kombinieren ergibtsich die sogenannte Put-Call-Parity

Ccall − Cput = (S −K)+ − (K − S)+ = S −K = Cfw

Dies bedeutet, dass ein Forward als Kombination eines Calls und eines Puts aufgefasstwerden kann.

2.6 Long und Short

Alle in 2.2, 2.4 und 2.5 aufgelisteten Derivate wurden aus Sicht der Long Position be-trachtet, d.h. wir haben einen Long Forward, Long Call, Long Put, Long Straddle undeinen Long Butterfly betrachtet.

Wenn man diese Optionen nun aus Verkäufersicht betrachtet ergeben sich entsprechendandere Payoff - wir sprechen dann von einem Short Call, Short Put, Short Straddle undeinem Short Butterfly. Der Payoff einer Short Position ist offensichtlich negativ, wenndie entsprechende Long Position positiv ist und umgekehrt. Der Payoff eines beliebigenDerivats ist daher einfach gegeben durch

Cshort = −Clong

Anmerkung:

• Wir haben gesehen, dass bei einem Long Butterfly der Verlust (mit unsere Annah-me, dass kein Optionspreis fällig ist) im schlimmsten Fall 0 ist. Vergleicht man diesmit einem Short Straddle so hat der Payoff einen sehr ähnlichen Verlauf, jedoch mitdem Unterschied dass hier der Verlust nicht begrenzt ist.Analog sieht man, dass bei einem Short Butterfly im Unterschied zu einen LongStraddle der Gewinn begrenzt ist. Insgesamt kann man also festhalten, dass beieinem Straddle nur der Verlust (bei der Long Position) bzw. nur der Gewinn (beider Short Position) begrenzt ist, und bei einem Butterfly sowohl der Gewinn alsauch der Verlust, egal in welcher Position man sich befindet.

• Die Annahme, das beim Kauf der Option keine Optionsprämie fällig ist dient nurdem besseren Verständnis für den Verlauf des Payoffs und ist praktisch natürlichnicht möglich. In diesem Szenario wäre nämlich jede Long Position ein möglicherGewinn ohne Risiko des Verlustes (Arbitrage). Andererseits würde keine Short Po-sition einen Gewinn erzielen könnnen. Daher ist in der Praxis der Payoff bei einerLong Position am Anfang negativ - da ja das Option Premium bezahlt wurde - undbei einer Short Position entsprechend positiv. Entsprechend ist der Payoff einesLong-Calls dann erst positiv wenn der Wert des Underlyings über dem Strike plusdem Option Premium liegt, analoges gilt für einen Put bzw. die Short Position.

2.7 Moneyness

Mit Moneyness bezeichnen wir eine Kenngröße, die uns sozusagen die „Lage“ unsererOption beschreibt. Dafür benötigen wir zuerst zwei Begriffsbildungen, die des InnerenWerts und die des Zeitwerts, siehe hierzu [5, 1.37].

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Innerer Wert

• Der Innerer Wert einer Option ergibt sich aus der Differenz des aktuellen Werts desUnderlyings und dem Strike Price (bei einem Call ist der Innere Wert S −K, beieinem Put hingegen K − S).

• Mit obiger Definition könnte der Innere Wert auch negativ werden - in der Praxisist dies jedoch nicht relevant, da in diesem Fall der Call bzw. Put nicht ausgeübtwird. Daher setzen wir bei einem negativen Innerern Wert diesen gleich 0.

• Somit erhalten wir den Inneren Wert für einen Call bzw. einen Put mit (S −K)+

bzw. (K − S)+, was genau unserem vorher betrachteten Payoff entspricht. Manbeachte, dass der Innere Wert nur mit unserer Annahme wenn kein Optionskaufpreiszu bezahlen ist mit dem Payoff übereinstimmt (da beim Payoff im Unterschied zumInneren Wert noch der Optionskaufpreis abzuziehen ist).

• Der Innere Wert kann somit aufgefasst werden als Betrag, den man bekommenwürde wenn man jetzt sofort ausüben könnte - was natürlich nur bei amerikanischenOptionen möglich ist.

Zeitwert

• Der Zeitwert ergibt sich aus dem Wert der Option abzüglich dem Inneren Wert.Wie man den Optionswert (im Black-Scholes Modell) berechnet wird in Kapitel 6erläutert.

• Der Zeitwert kann somit interpretiert werden als die Hoffnung, dass Optionen dienoch keinen Payoff haben, doch noch einen Gewinn erwirschaften.

• Der Zeitwert ist abhängig von der Zeit t und der Volatilität σ, welches ein Maßfür die Schwankungsbreite eines Finanzinstruments ist - je größer die Volatilität,umso risikoreicher bzw. je größer σ, umso mehr reagiert das Finanzinstrument aufKursschwankungen.

• Ökonomisch würde es Sinn machen, wenn der Zeitwert fallend in t ist, d.h. derZeitwert sinkt, je näher wir der Maturität kommen. Da der Zeitwert ja dass Hoffenauf bessere Kurse ausdrückt wird diese Hoffnung bzw. die Möglichkeit, dass wirklichbessere Kurse eintreten, immer unwahrscheinlicher. Wir werden in Kapitel 6 sehendass dies im Black-Scholes Modell auch tatsächlich der Fall ist.

Mithilfe dieser Begriffe kann man nun folgende Sprechweise einführen:

• Wir sagen eine Option ist In-The-Money (im Geld) - oder nur ITM, wenn sie einenInneren Wert > 0 besitzt.

• Hat die Option hingegen einen Inneren Wert = 0 sprechen wir von einer Option,die Out-Of-The-Money (aus dem Geld) bzw. OTM ist.

• Man kann auch noch den Fall betrachten, dass S = K ist - hier spricht man voneiner Option At-The-Money (am Geld) - kurz nur ATM.

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3 Exotische Optionen

3.1 Digital Option

Eine Digital Option (Binär-Option) ist eine Option, bei der es nur zwei mögliche Payoffsgibt: Entweder es wird ein vorher fixierter Betrag ausbezahlt, oder aber der Payoff istNull, siehe [1, S. 22]

Auch hier können wir wieder zwischen einer (Digital) Call Option und einer (Digital)Put Option unterscheiden. Betrachten wir nun eine Digital Call (Put) Option, die Kausbezahlt wenn der Preis des Underlyings S zur Maturität über (unter) einen gewissenWert x liegt oder gleich x ist, so ergibt sich als Payoff

Cdigitalcall = K1{S≥x}

Cdigitalput = K1{S≤x}

Anmerkung: Die hier betrachtete Digital Option muss zur Maturität über bzw. unterder Schranke x liegen. Eine andere Möglichkeit ist, dass der Preis die Schranke währendeines beliebigen Zeitpunkts über oder unterschreitet - dies ist schon die einfachste Formeiner sogennanten Barrier Option - auf diese Form der Optionen wird später noch genauereingegangen.

Abbildung 4: Payoff einer Digital Call bzw. Put Option

3.2 Lookback Option

Eine Lookback Option ist eine Option, bei der ein Wert, der für den Payoff relevant ist,erst zur Maturität fixiert wird. Man wählt daher rückblickend den besten Wert für denPayoff aus. Abhändig davon, welcher Wert nun erst am Ende fixiert wird, unterscheidetman zwischen einer Floating Strike Lookback Option und einer Fixed Strike LookbackOption, vgl. hierzu [6].

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Bei einer Floating Strike wird der Strike erst am Ende der Ausübung fixiert. Dabei ent-spricht der Strike dem niedrigsten Preis des Underlyings über die gesamte Laufzeit beieinem Call, und dem höchsten Preis bei einem Put. Der Payoff ist somit die Differenz zwi-schen dem am Ende fixierten Strike Smin bzw. Smax und dem Marktpreis S zur Fälligkeit:

Cfloatcall = (S − Smin)

+ = S − Smin

Cfloatput = (Smax − S)+ = Smax − S

Abbildung 5: Payoff einer Lookback Option mit Floating Strike

Wir sehen insbesonders, dass der Payoff immer positiv ist, wobei sich im schlechtesten Fallein Payoff von 0 ergibt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der höchste (oder niedrigste)Wert des Underlyings gleich dem Marktpreis zu Fälligkeit entspricht. Da man mit dieserOption, welche eigentlich keine ist, weil der Käufer sowieso immer ausübt, vergleichsweisewenig Risiko hat, ist eine solche Lookback Option mit Floating Strike entsprechend teuer.

Abbildung 6: Payoff einer Lookback Option mit Fixed Strike

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Die andere Variante der Lookback Option besteht darin, den Strike Price am Anfangzu fixieren - wir sprechen daher von einem Fixed Strike. Bei einem Call erhalten wirdie Differenz zwischen den Fixed Strike K und dem höchsten Preis Smax während derLaufzeit, bei einem Put hingegen wird die Differenz zwischen K und dem niedrigstenPreis Smin während der Laufzeit ausbezahlt.

Cfixcall = (Smax −K)+

Cfixput = (K − Smin)

+

3.3 Asian Option

Eine Asian Option (Asiatische Option) ist eine Option, deren Payoff von der Differenzzwischen Strike und dem durchschnittlichen Marktpreis während eines gewissen Zeit-raums abhängt. Auch hier kann man wieder unterscheiden, je nachdem welcher Wertfixiert wird, siehe [1, S. 30]

Bei einer Fixed Strike Asian Option wird der Strike fixiert, und der andere für den Payoffrelevante Wert ergibt sich aus dem durchschnittlichen Marktpreis. Bezeichnen wir nunden Durchschnitt der Marktpreise in einen gewählten Zeitraum mit Savg, so ergibt sich

Cfixasian call = (Savg −K)+

Cfixasian put = (K − Savg)

+

Bei einer Floating Strike Asian Option hingegen ist der Strike abhängig vom Durchschnittder Marktpreise, womit sich folgender Payoff ergibt

Cfloatasian call = (S − Savg)

+

Cfloatasian put = (Savg − S)+

3.4 Barrier Option

Bei sogennanten Barrier Options (Barriere Optionen) ist der Payoff abhängig davon obder Preis des Underlyings während eines Zeitraums ein gewisses Level erreicht hat odernicht. Es gibt einige Varianten von Barrier Options, welche nachfolgend aufgelistet sind.Dabei unterscheiden wir ob eine Option eine gegebene Barrier erreichen soll, um einenPayoff zu erwirtschaften, oder eben nicht.

Eine Knock-Out Option ist eine Option, die sich wie eine „normale“ Standardoption ver-hält solange der Preis des Underlyings eine gewisse Schranke nicht erreicht. Wenn derPreis des Underlyings die Grenze doch erreicht bzw. über- oder unterschreitet wird nichtsausbezahlt. Ist die Schranke niedriger als der Anfangspreis des Underlyings, so sprichtman von einer Down-And-Out Option, d.h. der Preis darf während der Laufzeit nichtniedriger fallen als vorher in der Schranke festgelegt. Ist die Schranke hingegen größer alsder Anfangspreis spricht man von einer Up-And-Out Option, vgl. [1, S. 31]

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Die entsprechenden Payoffs für einen Call sind damit gegeben durch

Ccalld&o = (S −K)+ 1{Smin>x}

Ccallu&o = (S −K)+ 1{Smax<x}

Abbildung 7: Payoff einer U&O bzw. D&O Call Option

Man beachte, dass in Abbildung 7, als auch in nachfolgender Abbildung 8 jeweils immernur eine Option betrachtet wird. Das heißt wenn wir einen Down-And-Out-Call hätten,wäre der Payoff mit obigem Verlauf gleich (S − K). Hätten wir hingegen einen Up-And-Out-Call, so würde dieser mit obigem Verlauf wertlos verfallen. Es gibt jedoch auchOptionen, die zwei Schranken aufweisen und z.B. während der gesamten Laufzeit zwischendiesen zwei Schranken bleiben müssen, um einen Payoff zu erwirtschaften. Des weiterskann man auch einen Timer in den Schranken einbauen, das heißt man hat eine gewisseFrist wie lange der Wert des Underlyings maximal über oder unter einer Schranke seinkann - die Barrieren können auf unterschiedlichste Weisen modifiziert werden.

Eine Knock-In Option hingegen startet sozusagen wertlos und bezahlt erst - wie einenormale Standard Option - etwas aus wenn eine gewisse Schranke erreicht bzw. unter-oder überschritten wird. Wird die Schranke während des Zeitraums jedoch nicht erreichtso verfällt die Option wertlos. Auch hier unterscheidet man je nachdem wie die Schrankezum anfänglichen Marktpreis steht: Ist die Schranke unter dem anfänglichen Marktpreisangesetzt spricht man von einer Down-And-In Option, während man analog von einerUp-And-In Option spricht, wenn die Schranke höher als der Anfangspreis ist.

Für die Payoffs ergeben sich somit folgende Darstellungen:

Ccalld&i = (S −K)+ 1{Smin≤x}

Ccallu&i = (S −K)+ 1{Smax≥x}

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Abbildung 8: Payoff einer U&I bzw. D&I Call Option

Anmerkung:

• Für den Payoff eines entsprechenden Puts ersetzt man einfach (S − K)+ durch(K − S)+, da die Barrieren für Call und Put diesselben sind.

• Bei solchen Optionen würde es keinen Sinn machen wenn nur der Preis bei Maturitätfür die Barriere entscheidend ist. Man stelle sich dazu einfach einen Down-And-InCall vor - d.h. der Strike Price K ist über der Barriere B - d.h. K > B. Damitdie Option nun aktiviert wird muss der Preis der Underlyings S unter die Barrierefallen - d.h es muss B > S gelten. Würde dieser Preis jedoch bis zur Maturitätdarunter bleiben, dann hätten wir K > B > S, daraus folgern wir einen Payoffvon 0, da ein Call ja nur im Falle S > K ausgeübt wird, was aber durch denEintritt der Barriere nicht möglich ist. Eine solche Option macht daher nur dannSinn wenn der Preis, sobald er einmal die Barriere unterschritten hat, wieder steigtund die Barriere auch wieder überschreitet. Bei einem Down-And-In-Call hofft mansozusagen auf eine Comeback der Aktie.

• Kombiniert man einen Up-And-Out Call und einen Up-And-In Call auf dasselbeUnderlying erhält man den Payoff eines Standard Calls. Damit sehen wir, dass eineBarrier Option billiger ist als die entsprechende Standard Option.

4 Preisfindung / ArbitrageZum Thema Preisfindung und Arbitrage möchte ich nur kurz eine Zusammenfassung vonden wesentlichen Grundideen geben - schließlich ist dieses Thema ein großer Schwerpunktin der entsprechenden Pflichtlehrveranstaltung „Finanzmathematik 1: diskrete Modelle“sowie dem dazu entsprechenden Skript [5].

Um die Idee des Replizierens eines Derivat zu verwirklichen benötigt man zuerst eineAnnahme über den zugrunde liegenden Markt. Wir nehmen an dass der Markt keine

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Arbitragemöglichkeit bietet - d.h. dass es nicht möglich ist, risikolos Gewinn zu erwirt-schaften.

Mit der Arbitragefreiheit erhält man nun das sogenannte Law Of One Price. Es besagtdass zwei Finanzinstrumente, die denselben Payoff erwirtschaften, auch dasselbe kostenmüssen - vgl. hierzu [5, Lemma 1.13]

Ausgestattet mit diesem Lemma kann man sich nun der die Idee des Replizierens wid-men: Für ein gegebenes Derivat sucht man sich ein sogenannten replizierendes Portfolio- d.h. ein Portfolio aus Finanzinstrumenten, dessen Preise man kennt und die denselbenPayoff erwirtschaften. Damit lässt sich dann, dank dem Law Of One Price, der Preis desgegebenen Derivat bestimmen.

Das replizierende Portfolio ist nur für die einfachsten Derivate wie z.B. einen Forwardfür jeden Zeitpunkt gleich. Generell muss man dass replizierende Portfolio mit der Zeitanpassen. Um dies zu bewerkstelligen braucht man Annahmen über die Preisänderungdes entsprechenden Underlyings. Dies führt auf die Idee des Binomialmodells. Hierbeinimmt man an, dass sich der Marktpreis zu gewissen Zeitpunkten nur in zwei Richtungenbewegen kann - entweder er steigt um einen gewissen Wert oder er fällt. Dabei handelt essich im Grunde um nichts weiter als einen Random Walk (= Irrfahrt, vgl. nachstehendeAnmerkung) - dennoch ist diese Grundidee sehr wichtig. Man kann dieses Modell dahin-gegehend noch verfeinern indem man mehr als zwei mögliche Änderungen annimmt, oderaber man betrachtet immer kürzere Zeitabstände in denen der Marktpreis sich auf- oderabbewegen kann. Mit entsprechenden Annahmen konvergiert dieses Modell gegen genaujenes Modell von Black-Scholes, mit dem wir uns am Ende dieser Seminararbeit nochbefassen werden (für die Konvergenzaussage vgl. [5, Kapitel 5.7]).

Anmerkung:

• Ganz allgemein handelt es sich bei einem Random Walk um einen diskreten sto-chastischen Prozess mit uiv (unabhängig identisch verteilten) Zuwächsen. D.h. wirhaben eine Folge (Yi)i∈I von Zufallsvariablen mit Werten in Rd, wobei die Yi uivsind. Dann nennen wir den stochastischen Prozess Xn = X0+

∑nj=1 Yj, n ∈ N einen

(d-dimensionalen) Random Walk, wobei meistens X0 = 0 gewählt wird.

• Die vorher angesprochene Form des Binomialmodells - dass sich der Preis mit glei-cher Wahrscheinlichkeit nur nach oben oder unten bewegen kann - kann nun wiefolgt charakterisiert werden: P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = 1

2, dies entspricht einem

Bernoulli-Experiment mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0.5. Wie allgemeinbekannt, ist diese Summe von unabhängigen Bernoulli-Experiementen eine Bino-mialverteilung - daher die Namesgebung für das entsprechende Modell. Bei diesemModell spricht man auch von einer symmetrischen einfachen Irrfahrt auf Z. Inter-essant ist dieses Modell insofern als dass es sich bei dieser Irrfahrt um eine Markov-Kette handelt und man daher für Markovketten gültige Resultate auf dieses Modellanwenden kann. Zur Erinnerung: Wir nennen einen diskreten stochastischen Prozess(Xn)n≥0 Markokette, wenn gilt

P (Xn+1 = in+1|Xn = in, ..., X0 = i0) = P (Xn+1 = in+1|Xn = in)

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5 Capital Asset Pricing ModelDas Capital Asset Pricing Model (= CAPM) ist ein Marktmodell welches auf der Port-foliotheorie von Harry M. Markowitz aufbaut, vgl. hierzu [2]

• Annahme: Wir haben einen vollkommenen Markt, das bedeutet unter anderemdass jeder Marktteilnehmer diesselbe Information zur Verfügung hat. Weiters hatkein Marktteilnehmer irgendwelche persönlichen Präferenzen, die Kaufentscheidungwird nur aufgrund der erwartenden Rendite eines Portfolios getroffen. Es gibt außer-dem keine Steuern, Transaktionskosten, usw. Unser Markt besteht damit aus wohldiversifizierten Portfolios. Das bedeutet dass ein Portfolio nach Annahme aus einerrisikolosen Anleihe besteht und einem Marktportefeuillie (= effizientem Portfolio).Effizient bedeutet hierbei: Wenn es am Markt nicht effiziente Wertpapiere gebenwürde, also wenn sie z.B. weniger Rendite bieten und mehr Risiko haben würden,dann würden sie verkauft werden. Das würde den Preis drücken und die Rendite er-höhen. Im sogenannten Gleichgewichtszustand sind all diese Transaktionen bereitsabgeschlossen, d.h. der Markt besteht nur noch aus effizienten Portfolios (man sagt,dass der Markt damit selbst effizient ist).

• Frage: Wie hängt die erwartete Rendite von einem speziellen Portfolio im Verhält-nis zu erwartenden Rendite des gesamten Marktportfolios - d.h. im Verhältnis zurEntwicklung des Gesamtmarkts ab.

Wir betrachten zwei wesentliche Konzepte für das CAPM:

• Das β stellt die Sensitivität der Rendite eines Portfolios im Verhältnis zu der Renditedes Marktes dar, d.h. β = Cov(Ri,Rm)

V ar(Rm), wobei Ri für die Rendite des Portfolios und

Rm für die des Markts steht.

• Der Expected Excess Return (= erwartete Rendite) eines Portfolios ist definiert alserwarteter Return des Portfolios abzüglich der risikolosen Rate (= E(Ri)− r).

Die Hauptaussage des CAPM ist nun folgende: Der Expected Excess Return eines Port-folios ist gleich dem β dieses Portfolios, multipliziert mit dem Expected Excess Returndes Markts:

E(Ri)− r = β(E(Rm)− r)

Diese Hauptaussage kann man sich grafisch veranschaulichen und erhält die sogenannteWertpapierlinie, vgl. Abbildung 9. Wir halten dadurch folgendes fest:

• Ein Portfolio mit einem β von 0 erwirtschaftet die risikolose Rate r (diese Überle-gung fließt auch in der Black-Scholes-Formel mit ein). Im Gegenzug dazu weißt dasMarktportfolio ein β von 1 auf.

• Die Überlegung ist nun dass alle effizienten Portfolios auf dieser Wertpapierlinieliegen. Angenommen, es gäbe eine Portfolio das über dieser Wertpapierlinie liegt,d.h. z.B. ein β von 1 aufweißt aber einen höheren Expected Return als E(Rm), sowürde dieses Portfolio mehr Rendite erwarten lassen als in Relation zu seinem Beta

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- das Portfolio übertrifft den Markt. Es würde dementsprechend häufiger gekauftwerden, bis sich schließlich der Preis aufgrund der großen Nachfrage anpasst sodassdas Portfolio effizient ist und auf der Wertpapierlinie liegt.

Abbildung 9: Die Wertpapierlinie im Capital Asset Pricing Model

6 Black-Scholes-Formel

6.1 Lemma von Itô

Die erste Idee, den Aktienkurs mathematisch zu modellieren stammte von einem gewis-sen Herrn Bachlier um das Jahr 1900. Die Grundidee war, den Aktienkurs mithilfe einersogenannten Brownschen Bewegung (die gleich im Anschluss definiert wird) zu modellie-ren. Jedoch hatte diese Überlegung ein Problem: Der Aktienkurs konnte dadurch auchnegativ werden. Trotz dieses Makels war die Überlegung von Bachelier seiner Zeit weitvoraus - die berühmte Black-Scholes-Formel wurde schließlich erst 1973 veröffentlicht.

Bevor wir uns aber der Black-Scholes Formel widmen, brauchen wir einige Begriffsbil-dungen und Folgerungen zum Thema Brownsche Bewegung (bzw. Wiener Prozess) undItô-Integral. Dabei beziehe ich mich auf [3, Kapitel 6,7] und verwende auch die dem Buchentsprechende Notation. Das nun folgende [3, Theorem 6.3] ist äquivalent zur Definition[3, Definition 6.9] der Brownschen Bewegung:

Ein zeitstetiger stochastischer Prozess W (t), t ≥ 0 ist eine Brownsche Bewegung bzw. einWiener Prozess genau dann wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. W (0) = 0 P-fs.

2. die Pfade t → W (t) sind stetig P-fs.

3. W (t) hat stationär unabhängige Inkremente

4. das Inkrement W (t) − W (s) besitzt eine Normalverteilung mit Erwartungswert 0und Varianz t− s für beliebige 0 ≤ s < t

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Zur Erinnerung: Stationär unabhängige Inkremente bedeutet, dass die Zuwächse unab-hängig und stationär sind:

• Unabhängigkeit der Zuwächse: Für n ∈ N, t0 < t1 < ... < tn ∈ T sind die ZuwächseW (t1)−W (t0),W (t2)−W (t1), ...,W (tn)−W (tn−1) unabhängig.

• Stationarität der Zuwächse: Für r, s, t ∈ T besitzen die Zuwächse W (r + s + t) −W (r + s) und W (r + t) − W (r) die gleiche Verteilung, d.h. die Verteilung ändertsich mit der Zeit nicht.

Anmerkung: Ein Prozess, der stationär unabhängige Inkremente besitzt, nennt maneinen Lévy-Prozess - der Wiener Prozess ist ein solcher.

Für die Black-Scholes-Formel benötigen wir eine noch speziellere Art einer BrownschenBewegung, welche wie folgt definiert ist: Sei W (t) eine Brownsche Bewegung, dann nenntman

S(t) = S0 exp

[(µ− σ2

2

)t+ σW (t)

]

eine geometrische Brownsche Bewegung. S0 ist sozusagen der Startwert des Prozesses S,da für t = 0 alle Argumenten in exp gleich Null sind. Dabei bezeichnet man den Paramterµ als Drift - dieser Drift gibt die Tendenz des Prozesses an. Den zweiten Paramter σhingegen nennt man Volatilität - dieser spiegelt sozusagen den Einfluss des Zufalls aufden Prozess wieder. Im Black-Scholes-Modell wird µ die Rolle der erwarteten Rendite desAktienkurses übernehmen und σ das Schwankungsrisiko an der Börse darstellen.

Zur Herleitung der Black-Scholes-Formel benötigen wir des Weiteren das Lemma von Itô,einmal in seiner allgemeinen und einmal in seiner „vereinfachten“ Form. Man beachte, dassdie vereinfachte Form nur für Brownsche Bewegungen gilt, die allgemeine Form hingegenfür beliebige Prozesse (mit entsprechender Darstellung).

Vereinfachte Form des Itô Lemmas [3, Theorem 7.5]:Sei F (t, x) : R+ × R → R mit stetigen partiellen Ableitungen F ′

t(t, x), F′x(t, x), F

′′xx(t, x)

∀t ≥ 0. Weiters sei der Prozess F ′x(t,W (t)) aus M2

T ∀T ≥ 0. Dann ist F (t,W (t)) eineItô-Prozess mit

dF (t,W (t)) =

(F ′t(t,W (t)) +

1

2F ′′xx(t,W (t))

)dt+ F ′

x(t,W (t))dW (t)

Allgemeine Form des Itô Lemmas [3, Theorem 7.6]:Sei ξ(t) ein Ito-Prozess mit einer Darstellung der Form

dξ(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)

wobei a ∈ L1t und b ∈ M2

t ∀t ≥ 0. F (t, x) sei, wie im letzten Lemma gegeben. Weiters seider Prozess b(t)F ′

x(t, ξ(t)) aus M2T ∀T ≥ 0. Dann ist F (t, ξ(t)) ein Itô-Prozess mit

dF (t, ξ(t)) =

(F ′t(t, ξ(t)) + F ′

x(t, ξ(t))a(t) +1

2F ′′xx(t, ξ(t))b(t)

2

)dt+ F ′

x(t, ξ(t))b(t)dW (t)

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Anmerkung: Ein Prozess heißt Itô-Prozess, wenn er P-fs. stetige Pfade hat und einegewisse Darstellung in Form eines stochastischen Integrals besitzt, wobei hier auch dieDefinition von L1

t vorkommt, vgl. [3, Definition 7.8]. Mit M2T bezeichnet man die Men-

ge aller stochastischen Prozesse, die man auf 0 bis T durch eine Folge von zufälligenTreppenfunktionen approximieren kann - siehe hierzu [3, Definition 7.1, 7.3, 7.5].

6.2 Die Black-Scholes-Differentialgleichung

Nun haben wir die nötigen Hilfsmittel, um uns mit der Herleitung der Black-Scholes-Formel zu befassen: Der Grundgedanke ist ein risikoloses Portfolio zu konstruieren. Risi-kolos bedeutet hier, dass dieses Portfolio im CAPM (siehe Kapitel 5) ein β von 0 aufweist.Des weiteren werden im Black-Scholes-Modell einige Annahmen getroffen, unter anderemdass

• der Aktienwert einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt

• es keine Transaktionskosten oder Steuern gibt

• keine Arbitrage vorliegt

• ein risikoloser Zinssatz exisitiert, welcher für alle Laufzeiten gleich ist.

Wir starten nun mit der Annahme, dass der Aktienkurs S einer geometrischen Brown-schen Bewegung folgt, d.h. S(t) = S0e

µt− 12σ2t+σW (t). Nun benötigen wir, um die Itô-Formel

anwenden zu können, eine entsprechende Funktion F (t, x). Dafür betrachten wir nun einDerivat V auf das Underlying S - von diesem ist der Payoff zur Maturität T bekannt.Wir wollen nun den Wert für ein beliebiges t berechnen, also einen Ausdruck der FormV (t, S(t)). Dafür setzen wir

V (t, x) = S0eµt− 1

2σ2t+σx

Wir sehen, dass alle erforderlichen Ableitungen F ′t(t, x), F

′x(t, x), F

′′xx(t, x) stetig sind:

V ′t (t, x) = S0 · (µ− 1

2σ2) · eµt−

12σ2t+σx

V ′x(t, x) = S0 · σ · eµt−

12σ2t+σx

V ′′xx(t, x) = S0 · σ2 · eµt−

12σ2t+σx

Anmerkung: Die Voraussetzung, das F ′x(t, x) in M2

T liegt, darf natürlich nicht vergessenwerden. Wir bräuchten jedoch wieder etliche Begriffe aus der Stochastischen Analysis umebendies zu zeigen, weshalb wir sie hier als gegeben voraussetzen.

Nun können wir die „vereinfachte“ Form des Itô-Lemmas anwenden und erhalten:

dV (t,W (t)) = dS(t) =

(V ′t (t,W (t)) +

1

2V ′′xx(t,W (t))

)dt+ V ′

x(t,W (t))dW (t) =

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S0(µ− 1

2σ2 +

1

2σ2)eµt−

12σ2t+σW (t)dt+ S0 · σ · eµt−

12σ2t+σW (t) = µ · S(t)︸ ︷︷ ︸

:=a(t)

dt+ σ · S(t)︸ ︷︷ ︸:=b(t)

dW (t)

Insbesondere erhalten wir nun, dass sich dS(t) in einer Form schreiben lässt wie sie fürdie allgemeine Form der Itô-Formel benötigt wird. Dass S(t) ein Itô-Prozess ist, was wirschließlich auch für die allgemeine Formel benötigen, erhalten wir ebenfalls durch dievereinfachte Itô-Formel.

Nun setzen wir in die allgemeine Itô-Formel ein und erhalten (auch hier seien für dennächsten Schritt die Voraussetzungen an a(t) und b(t) als gegeben vorausgesetzt)

dV (t, S(t)) =

(V ′t (t, S(t)) + V ′

x(t, S(t))a(t) +1

2V ′′xx(t, S(t))b(t)

2

)dt+ V ′

x(t, S(t))b(t)dW (t)

=

(µS

∂V

∂S+

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt+ σS

∂V

∂SdW = dV

Letztere Zeile entspricht dabei einfach nur einer Kurznotation, welche wir ab jetzt weiterverwenden wollen, d.h. ∂V

∂Sentspricht V ′

x(t, S(t)) und ∂V∂t

entspricht V ′t (t, S(t))

Nun kommt die Idee eines risikolosen Portfolios ins Spiel. Dieses Portfolio P besteht auseiner Short Position im Derivat und einer Long Position in ∂V

∂SStück der Aktien

P = −V +∂V

∂S

Uns interessiert nun die Wertänderung dieses Portfolios, welche über kurze Zeiträumegegebn ist durch

dP = −dV +∂V

∂SdS.

Wenn wir nun die oben angeführten Ausdrücke für dV und dS einsetzen ergibt sich

dP = −(µS

∂V

∂S+

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt+ σS

∂V

∂SdW + (µ · S dt+ σ · S dW )

∂V

∂S=

−(∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt+ σS

∂V

∂SdW + (σ · S dW )

∂V

∂S= −∂V

∂t− 1

2σ2S2∂

2V

∂S2dt

Die Preisänderung hängt somit weder von der erwartenen Rendite µ noch von den Preis-änderungen aus dem Wiener Prozess W (t) ab. Damit ist das Portfolio risikolos. Nunhaben wir Arbitragefreiheit angenommen, das Portfolio muss also genau die risikoloseRate r erwirtschaften, d.h.

dP = r P dt

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Setzen wir unsere beiden erhaltenen Ausdrücke für dP gleich, so erhalten wir die Black-Scholes-Differentialgleichung

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0

Das Lösen dieser Differentialgleichung (mit den entsprechenden Randbedingungen) liefertuns den Optionspreis des entsprechenden Derivats. Diese Randbedingungen sind z.B. füreinen Call gegeben durch C(0, t) = 0 ∀t, C(S, t) → S für S → ∞, C(S, T ) = (S −K)+.

Damit erhält man den bekannten Optionspreis eines Calls bzw. eines Puts, vgl [4]

C(S, t) = SΦ(d1)−Ke−r(T−t)Φ(d2)

P (S, t) = Ke−r(T−t)Φ(−d2)− SΦ(−d1)

wobei

d1 =ln(S/K) + (r + σ2/2)(T − t)

σ√T − t

d2 =ln(S/K) + (r − σ2/2)(T − t)

σ√T − t

Φ(x) =

∫ x

−∞

1√2π

e−y2

2 dy

Wir sehen, dass der Wert einer Option durch 5 Parameter festgelegt ist:

• aktueller Aktienkurs S

• risikofreier Zinssatz r

• Volatilität σ

• Restlaufzeit T-t (Maturität T, Zeitpunkt t)

• Strike Price K

Interpretation: Betrachten wir Abbildung 10 sehen wir folgendes Resultat, welches wirbereits in Kapitel 2.7 festgestellt haben - der Optionswert ist höher, je kleiner t ist -also je höher die Restlaufzeit ist. Insbesondere ist für t=T=1 z.B. der Callpreis gleichdem Inneren Wert des Calls - dies lässt sich darauf zurückführen, dass der Call amEnde der Maturität keinen Zeitwert mehr besitzt bzw. der Zeitwert zur Maturität hinverschwindet. Des Weiteren sieht man, dass der Callpreis immer größer, oder zumindest

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gleich dem Inneren Wert ist. Ökonomisch lässt sich dies folgendermaßen interpretieren:Es ist immer besser den Call am Markt zu verkaufen (= Callpreis), als wie ihn vorherauszuüben (= Innere Wert) - wobei dies natürlich nur bei amerikanischen Calls möglichwäre.

Abbildung 10: Call und Put Preis nach Black Scholes (K=100, r=0, σ = 0.1, T=1)

6.3 Die Griechen

Als die Griechen nach Black-Scholes (engl. Greeks) bezeichnet man die partiellen Ablei-tungen des Optionspreis nach den verschiedenen Parametern, siehe hierzu [7]

• Delta ∆Das Delta gibt an, wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich der Preis des Un-derlyings ändert.

∆ =∂V

∂S

Für einen europäischen Call bzw. Put ergibt sich damit

∆call = Φ(d1) ≥ 0

∆put = −Φ(−d1) ≤ 0

Interpretation: Das Delta kann als ein Faktor aufgefasst werden, mit dem eineOption auf Kursänderungen des Underlyings reagiert. Das Delta nimmt z.B. füreinen (Long) Call Werte zwischen 0 und 1 und für einen (Long) Put Werte zwischen−1 und 0 an. Für einen angenommenen Call, der weit aus dem Geld liegt (Far Out-Of-The-Money), d.h. einen sehr negativen Inneren Wert besitzt, ist das Delta gleich0, da der Call trotz der Kursänderung noch immer nicht ausgeübt werden würde.Eine (kleine) Kursänderung ist für diese Option daher nicht relevant, was sich imDelta von 0 widerspiegelt. Im Vergleich dazu hat ein Call, der tief im Geld liegt

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(Deep In-The-Money), d.h. einen großen Inneren Wert besitzt, ein Delta von 1 d.h.die Option reagiert wie der Aktienkurs selbst. Analoges gilt für einen Put (Delta =0 für Far Out-Of-The-Money und Delta = −1 für Deep In-The-Money).

Insbesondere hat das Delta des Underlyings einen Wert von 1 - was wiederumbedeutet, dass ein Forward ein Delta von 1 hat. Mit der Call-Put-Parity erhaltenwir dadurch

∆call −∆put = 1 = ∆forward

Abbildung 11: Delta eines Calls bzw. Puts

• Gamma ΓDas Gamma gibt an wie sich das ∆ ändert, wenn sich der Preis des Underlyingsändert.

Γ =∂∆

∂S=

∂2V

∂S2

Das Gamma ist für Call und Put gleich

Γcall = Γput =Φ′(d1)

S · σ√T − t

≥ 0

Interpretation: Das Gamma ist die Ableitung des Deltas (nach dem Preis desUnderlyings), und entspricht somit der Steigung des Deltas. Dadurch erhalten bei-spielsweise für einen Deep Out-Of-The-Money Call ein Gamma nah an 0, da dasDelta hier konstant bleibt. Das Gamma ist auch nahe Null wenn die Option DeepIn-The-Money ist.

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Abbildung 12: Gamma und Vega eines Calls/Puts

• Vega νDas Vega (Vega ist kein griechischer Buchstabe, als griechischer Ersatzbuchstabewird daher ν verwendet) gibt an wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich dieVolatilität σ ändert.

ν =∂V

∂σ

Auch Vega ist für Call und Put gleich, nämlich

νCall = νput = S · Φ′(d1) ·√T − t ≥ 0

Interpretation: Das Vega kann als Parameter aufgefasst werden, welcher angibtwie stark bei ändernder Volatilität die Option reagiert. Infolgedessen werden sowohlCalls als auch Puts mehr wert, wenn die Volatilität steigt: Eine hohe Volatilitätbedeutet, dass z.B. der Wertpapierkurs stark schwankt - damit kann er sich aberauch wahrscheinlicher vorteilhaft für den Käufer entwicklen. Dies wiederum schlägtsich, basierend auf diesem Wertpapier in einem höheren Optionspreis nieder.

• Theta ΘDas Theta gibt an wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich die Zeit ändert.

Θ =∂V

∂t

Das Theta ist für einen Call bzw. einen Put gegeben durch

Θcall = −SΦ′(d1)σ

2√T − t

− r ·K · e−r(T−t)Φ(d2)

Θput = −SΦ′(d1)σ

2√T − t

+ r ·K · e−r(T−t)Φ(−d2)

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Interpretation: Das Theta entspricht unserer Auffassung des Zeitwerts einer Opti-on. Wie wir schon in 2.7 gesehen haben entspricht der Zeitwert dem Hoffen auf eineVerbesserung der Option, d.h. dass eine Out-Of-The-Money Option noch In-The-Money geht. Nun ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereigniss eintritt, höher jemehr Zeit dazu vorhanden ist. Entsprechend sinkt die Wahrscheinlichkeit wenn wiruns der Maturität nähern - d.h. der Zeitwert einer Option fällt mit der Zeit.

Abbildung 13: Theta eines Calls bzw. Puts

Anmerkung: In [5] und einigen anderen Quellen wir das Theta als −∂V∂t

definiert -des entsprechende Resultat kann man dann folgendermaßen interpretieren: z.B. istder Preis eines Calls hier wachsend in t. Dies wiederum bedeutet, dass wenn wirzwei Calls zum selben Zeitpunkt mit unterschiedlichen Maturitäten betrachten, soist der Preis des früher fälligen Bonds niederiger als der des später fälligen - vgl.hierzu [5, S. 286, 5.35.]

• Rho ρDas Rho gibt an wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich der Zinssatz ändert.

ρ =∂V

∂r

Das Rho hat für Call und Put folgende Darstellung

ρcall = (T − t)Ke−r(T−t)Φ(d2) ≥ 0

ρput = −(T − t)Ke−r(T−t)Φ(−d2) ≤ 0

Interpretation: Das Rho ist für einen Call immer positiv und für einen Put immernegativ, d.h. der Preis ist steigend (bzw. fallend) in r. Da im Allgemeinen der Preisder Option sensibler auf die Änderung von anderen Parametern ist, wird Rho vonden Griechen am seltensten verwendet.

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Abbildung 14: Rho eines Calls bzw. Puts

Anmerkung: Es gibt neben den eben aufgelisteten Griechen noch eine Reihe anderer.Dabei bedient man sich der zweiten Ableitung - man spricht dann von Second-OrderGreeks bzw. der dritten Ableitung - wo man dann von Third-Order Greeks spricht. Alldiese Griechen aufzulisten würden den Rahmen dieser Seminararbeit sprengen. Daher solldie obige Auflistung nur als Überblick für die bekanntesten dieser Griechen dienen.

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Literatur[1] Boyle, Phelim ; Boyle, Feidhilm: Risk Books. Bd. 1: Derivatives: The Tools That

Changed Finance. London, 2001. – 203 S. – ISBN 978–1899332885

[2] Breuer, Wolfgang ; Breuer, Claudia: Capital Asset Pricing Mo-del (CAPM). http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/capital-asset-pricing-model-capm.html (Gabler Wirtschaftslexikon). – Stand:30.10.2016

[3] Brzezniak, Zdzislaw ; Zastawniak, Tomasz: Springer Undergraduate MathematicsSeries. Bd. 1: Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises . SpringerLondon, 1999. – X, 226 S. – ISBN 978–3540761754

[4] Dunbar, Steven: Stochastic Processes and Advanced Mathematical Finance, So-lution of the Black-Scholes Equation. http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Solution/solution.pdf.Version: 2016. – Stand: 19.11.2016

[5] Föllmer, Hans ; Schied, Alexander: De Gryter Textbook. Bd. 3: Stochastic Finance:An Introduction in Discrete Time. Walter de Gryter, Berlin, 2011. – XII, 544 S. –ISBN 978–3110218053

[6] Investopedia: Lookback option. http://www.investopedia.com/terms/l/lookbackoption.asp. – Stand: 15.10.2016

[7] Pacati, Claudio: Calculations of Greeks in the Black and Scholes Formula. http://www.econ-pol.unisi.it/fm10/greeksBS.pdf. Version: 2013. – Stand: 06.11.2016

[8] Schneider, Wilfried ; Greimel-Fuhrmann, Bettina ; Wirth, Helga: Betriebswirt-schaft/HAK IV, Internationale Geschäftstätigkeit, Kreditinstitute und Kapitalmarkt,Produktions- und Dienstleistungsbetriebe. Wien : Manz Schulbuch, 2015. – ISBN978–3706848404

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