Technik Mathematik

Winkelfunktionen ohneMühe verstehenTRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN – Winkelfunktionen sind nur auf den ersten Blick ein ab-schreckendes Stück Mathematik. Das Geheimis zum Verständnis liegt in der Art und Weise, wieman sie erklärt bekommt.

Sinus, Cosinus und Tangens nöti-gen alleine durch ihre Namen je-

dem Schüler eine gehörige Portion Re-spekt ab. Völlig zu unrecht werde sieals unüberwindliche Hindernisse aufdem Weg zum Verständnis einer wun-derbaren Mathematik angesehen. DasGeheimnis zu ihrer Beherrschung liegtvielmehr darin, sich nicht von der oftumständlichen Erklärung aus so man-chem Pädagogenmund irre machen zulassen. In dieser kleinen Abhandlungzu den Winkelfunktionen wird sichkeine Zeile finden, wo von "Ankathe-te" oder "Hypotenuse" die Rede ist, dadies nur unnötiger Ballast auf demWeg zum sicheren Umgang mit denWinkelfunktionen ist. Hier wird ledig-lich von den Buchstaben a,b und c dieRede sein. Darüber hinaus genügt es,sich drei Merksätze einzuprägen.

Mit Sin, Cos, Tan zum ZielWährend man mit der Pythagoras-Funktion lediglich die Längen amrechtwinkligen Dreieck, aber keine

Winkelfunktionen sind mit einem einfach gezeichneten Dreieck leichter zu verstehenWinkel berechnen kann, ist man mitden Trigonometrischen FunktionenSinus, Cosinus und Tangens in derLage, fehlende Winkel und natürlichdie fehlenden Längen zu berechnen.Man muss sich allerdings imFormelumstellen ein wenig ausken-

nen. Die Kunst besteht darin, das Ge-suchte auf die linke Seite zu bekom-men. Zunächst aber sucht man ausden drei Formeln diejenige aus, mitder man die gestellte Aufgabe lösenkann. Dazu ist es nur nötig, dass mansich überlegt, in welcher der dreiGrundformeln zwei Werte bekanntsind und auch der gesuchte Wert vor-kommt.

Wenn beispielsweise die Werte vona und b gegeben sind (siehe Grafikoben) und es soll der Winkel Alphaberechnet werden, dann kommt nurdie Tangens-Funktion in Frage, dahier die beiden gegebenen Werte vor-kommen. Wenn hingegen die Werte aund c gegeben sind, dann kann derWinkel Alpha nur mit der Sinus-Funktion berechnet werden. Die Si-nus-Funktion wird ebenso verwendet,

TippWer sich sehr schwer tut, die Winkelfunk-tionen zu verstehen, der sollte es so ma-chen wie viele Autofahrer. Denn zum Au-tofahren ist es auch nicht nötig, die Funkti-on eines Verbrennungsmotors zu verste-hen. Es genügt, wenn man weiß, wie manschaltet, bremst und die Funktionen dervielen Hebel und Schalter kennt. Jeden-falls ist kein Ingenieursstudium Vorausset-zung, um ein Auto zu beherrschen. MitFormeln sollte ähnlich vorgegangen wer-den: Diese einfach als Werkzeuge nutzen,selbst wenn man sie noch nicht versteht.

Drei wichtige Merksätze•Positive Winkel verlaufen im Gegenuhr-zeigersinn.•Mit Sin, Cos, Tan sind alle unbekanntenWerte im rechtwinkligen Dreieck erre-chenbar. Cot ist nicht nötig.•Stets müssen zwei Werte bekannt sein, umden dritten Wert zu berechnen.

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Lösung mit...

Pythagoras

Pythagoras

Originalformel Umgestellte Formel Gegeben Gesucht

a,b

a,c

c

b

a b

30

30

50

26,4575

Pythagoras b,c

a,c

a

Winkel

b,c

a,b

Winkel

Winkel

30,001

20

50

20

45

30

Winkel, a

Winkel, b

c

a

Winkel, c

Winkel, a

b

b

20

20 30

10

29,9996

17,3205

Winkel, b

Winkel, c

c

a 20

30

c Winkel

58,31

40

58,31

50 23,57817848

60 41,40962211

33,69006753

36,06 33,69

33,69

36,06 33,69

30

36,06

36,06

33,69

33,69

wenn der Winkel Alpha und die Stre-cke c gegeben sind und die Länge aberechnet werden soll. Dies war be-reits das ganze Geheimnis der Winkel-funktionen!

Entscheidend ist, dass man sich dieGrundformel und die Merksätze ein-prägt und das Formelumstellen übt.Aber auch wer mit dem Umstellenvon Formeln seine Schwierigkeitenhat, soll nicht verzweifeln. In der obi-gen Tabelle sind alle Formeln passendzur gesuchten Lösung bereits umge-

Wer mit dem Formelumstellen noch Probleme hat, bediene sich dieser Tabelle. Hier sind alle Formeln bereits passendumgestellt. Ergebnisfelder sind mit kräftigem Gelb hinterlegt. Grüne Felder sind Eingabefelder.

TippEs muss stets eine Formel gewählt wer-den, die zwei bekannte Werte und ledig-lich einen unbekannten Wert besitzt.

stellt und mit Musterlösungen garniert.Damit hat man dann die Möglichkeit,die Berechnung mit dem Taschenrech-ner zu üben, da die Musterlösungschon zur Kontrolle gegeben ist. In derTabelle sind Eingabefelder (bekannteWerte) grün und Ergebnisfelder (ge-suchte Werte) in kräftigem Gelb ge-kennzeichnet.

Wie die vorherigen Beispiele zeig-ten, ist es einfach, die trigonometri-schen Funktionen anzuwenden. Es istaber unbedingt notwendig, damit zu

Bedeutungvon Gelbund Grün:

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üben, um mehr Sicherheit in derenAnwendung zu bekommen. Daher istes am Besten, sich einmal konkreteAufgaben näher ansehen, die mit denWinkelfunktionen lösbar sind.

Wie hoch ist ein Baum?Es ist für das Lernen besonders för-derlich, wenn man Beispiele übt, dieman selbst gut nachvollziehen kann.Daher werden mit den trigonometri-sche Funktion zunächst die Höhe vonBäumen berechnet. Es genügt, ledig-lich den Winkel bis zur Baumkrone,sowie den Abstand des Messgerätesvom Baum zu ermitteln. Für die Er-mittlung des Winkels muss nicht aufeinen teuren Theodoliden zurückge-griffen werden. Ein einfacher, selbstgebastelter Winkelmesser mit einemkleinen Lot an einer Schnur, die in derMitte des Winkelmessers befestigt ist,würde ähnlich gute Ergebnisse liefern.Es sind aber auch Kompasse verwend-bar, wenn diese einen eingebauten Hö-henwinkelmesser besitzen.

Um die korrekte Höhe des Baumeszu ermitteln muss zum berechnetenErgebnis lediglich noch die Höhe des

Trigonometrische Funktionen ermöglichendie Größenberechnung hoher Bäume.

BaumhöhenberechnungGegeben:Abstand (b) 10 MeterWinkelMessger.-H.

Gesucht:

422

GradMeter

Höhe (a)Baumhöhe:

Formel

9,0011,00

MeterMeter

Umgestellt

Tipp Völlig ausreichend für einfache Winkelmessun-gen sind Schulwinkel oder Kompasse.

Messgerätes vom Boden ermittelt wer-den. Diese Höhe ist dem Ergebnis derBerechnung zuzuschlagen, was zurGesamthöhe des Baumes führt.

Die Kunst, Abstände zu berechnenTrigonometrische Berechnungen wer-den gerade in Handwerk und Industriehäufig angewendet. Es kommt nichtselten vor, dass die Koordinaten vonBohrungsabstände mit den Winkel-funktionen bestimmt werden müssen,da häufig die Bohrungen lediglich miteinem Radius und mit einem Winkelbemaßt sind.

In der folgenden Aufgabe ist derWinkel und der Abstand von derScheibenmitte zur Bohrungsmitte ge-geben. Für die Berechnung der Koor-

dinaten sind lediglich die Sinus- unddie Cosinus-Funktion nötig. Um dieWerte a und b berechnen zu können,muss die jeweilige Formel jedoch um-gestellt werden.

Entfernungen leichter schätzenMit den Winkelfunktionen lassen sichtolle Dinge anstellen. Mit ihnen ist esauch möglich, seinen Daumen zurEntfernungsbestimmung zu benutzen.Dies kann man sich etwa beim Golf-spielen zunutze machen, um die Ent-fernung zum Loch besser abschätzenzu können.

Dazu ist es lediglich nötig, dieHöhe der Fahnen zu kennen. Die Fah-nenhöhe beträgt in der Regel 2,5 Me-ter. Der Abstand des Daumes zumAuge ist individuell verschieden undmuss ermittelt werden. Nehmen wiran, er beträgt 0,7 Meter. Mit diesenWerte ist es möglich auszurechnen,wie weit die Fahne entfernt ist, wenndiese "am Daumen" 1 cm hoch er-scheint. Nämlich 175 Meter.

Je näher die Fahne kommt, destogrößer wird sie am Daumen erschei-nen. Wenn diese am Daumen 3 cmhoch ist, dann beträgt der Abstand zurFahne nur mehr circa 58 Meter. DieTrigonometrie kann so praktisch sein!Da bekommt sogar der Spruch "Pimal Daumen" seine reale Entspre-chung.

Allerdings funktioniert die "Dau-menmethode" bei Personen, die Maßeschlecht schätzen können, nicht so

Bohrungskoordinaten sind mit Sinus & Co.rasch berechnet.

Mit Winkeln und Radien bemaßte Boh-rungen sind rasch umgerechnet.

Bohrungskoordinaten berechnenGegeben:Radius (c) 50 MillimeterWinkel

Gesucht:Wert a:

30 Grad

25 MillimeterWert b:Formel:

43,30 MillimeterUmgestellt:

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gut. Da gibt es zwei Lösungen: Ent-weder man zeichnet am Daumen miteinem Filzstift eine Zentimeterskalaein oder man benutzt gleich ein Line-al anstelle des Daumens, um die Ent-fernung zu bestimmen. Bleibt nurnoch das Rätsel um die verwendeteLösungsformel. Nicht jedem ist sofortklar, wie diese zustande kommt.

Nun, dies ist einfach eine Formel,die aus zwei Grundformeln zusam-mengesetzt wird. Zunächst wird derWinkel aus dem kleinen Dreieck zwi-

schen Auge und Daumen berechnet.Dieser Winkel bildet dann die Grund-lage zur endgültigen Berechnung derEntfernung zur Fahne. Diese Entfer-nung entspricht der Strecke b.

Somit wird also anstelle des Win-kels einfach die Formel zur Berech-nung ebendieses Winkels in die letzteFormel eingefügt. Mit dem Ver-schmelzen zweier getrennter Rechen-schritte zu einem Einzigen, kann mantrigonometrische Berechnungen nocheffektiver durchführen.

Entfernungsmessung per LaserWenn man etwas Spannung in dieEntfernungsbestimmung mittels der

Fahnenabstand berechnenAbst. Auge-Daumen (b1)Fahnenhöhe (a2)

0,72,5

mm

Höhe a. Daumen (a1)Entfernung (b2)

Verwendete Formel:

358,33

cmm

Je näher man derGolffahne kommt,desto größer wird sieam Daumenerscheinen.Mit der Be-herrschung der trigo-nometrischen Funktio-nen sind daher Golf-spieler in der Lage,zuverlässig die Entfer-nung zum Ziel abzu-schätzen, ohne sichverbotener technischerHilfsmittel zu bedie-nen.

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Trigonometrie bringen möchte, kannein einfacher Laserpointer empfohlenwerden. Zwei Stück von diesem neu-modischen „Zeigegerät“ werden aneinem selbstgebastelten Winkelmess-gerät befestigt. Dadurch wird es mög-lich, ebenso einfach wie bei der Be-rechnung der Baumhöhe, die Entfer-

Statt zweier Formeln wird nur eine verwendet

Tipp Um Formeln korrekt umzustellen, ist es wich-tig, dass nach dem Umstellen wie bei einerWaage das „Gleichgewicht“ wieder hergestelltist. Dies bedeutet, dass beim Hinüberziehen ei-ner Funktion diese in ihre „Gegenfunktion“umgewandelt wird. So wird etwa aus der Wur-zelfunktion die Potenzfunktion (und umge-kehrt). Auch die Winkelfunktionen müssen um-gewandelt werden: Aus Sin wird Arcsin, ausCos wird Arccos und aus Tan wird Arctan. Da-durch bleibt die Formel nach dem Umstellenim „Gleichgewicht“.

nung von Häusern, Bäumen et ceterazu ermitteln. Wichtig ist, dass bei die-sen Versuchen der Laserstrahl nichtversehentlich ins Auge gerät, da derLaser die Netzhaut schädigen kann.Laser 2 wird zuerst auf das zu mes-sende Objekt gerichtet. Danach wirdder Laserpunkt von Laser 1 mit demLaserpunkt von Laser 2 in Deckunggebracht und der sich ergebende Win-kel abgelesen. Um die beiden gesuch-ten Strecken berechnen zu können,

muss schrittweise vorgegangen wer-den. Zunächst wird Strecke a berech-net. Erst wenn diese bekannt ist, kannStrecke c mit diesem Wert berechnetwerden.

Höhe von Wolken ermittelnDie Meteorologen auf Flughäfen wa-ren immer schon daran interessiert,die Höhe der Wolken zu ermitteln, in

der diese ihren Bahnen zogen, um denFlugkapitänen exakte Auskunft für si-chere Start- und Landemanöver gebenzu können.

Hier führte eine ähnliche Idee wiebeim Experiment mit dem Laserpoin-ter zum Erfolg. Abgesehen davon,dass es den Laser erst viel später gab,

behalfen sich die Meteorologen mit ei-ner starken Lampe, die sie senkrechtin den Himmel richteten. Die Stelle,an der der Lichtstrahl die Wolke traf,trat deutlich hervor.

Nun wurde der Winkel zwischenLampe und reflektierten Lichtstrahl er-mittelt, was nach wenig Rechnerei dieWolkenhöhe ergab. Zur Winkelermitt-lung nutzen die Meteorologen einensogenannten Pendelquadranten. Eskann jedoch auch unser einfacherWinkelmesser zum Einsatz kommen.Für die Berechnungen der Wolkenhö-he sind die gleichen Formeln wie fürdie Laseraufgabe nötig.

Der einzige Unterschied ist, dassman, wie im Fall der Baumhöhenmes-sung, den Abstand vom Boden zumMessgerät noch dazuzählen müsste,um ein korrektes Ergebnis zu bekom-men, was aber wohl in diesem Fallnicht notwenig ist.

Erdumfang und ErddurchmesserNachdem durch Üben nun schon tolleDinge mit den Winkelfunktionen be-rechnet werden können, soll dieses

Der Pendelquadrant war ein einfaches Hilfs-mittel zur Winkelbestimmung in der Berech-nung der Wolkenhöhe.

Grundformel

Umgestellte Formel

Zusammengesetzte Formel

Laserkoordinaten berechnenGegeben:Abstand (b) 0,7 MeterWinkelGesucht:Wert a:

86 Grad

10,01 MillimeterWert c:Formel:

10,03 MillimeterUmgestellt:

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Wissen zur Berechnung des Erd-durchmesser genutzt werden.

Dazu sind allerdings wichtige Vorü-berlegungen nötig, um dieses Prob-lem überhaupt lösen zu können.Schon 250 v. Christi wusste der Grie-che Eratosthenes, wie man solcheProbleme pragmatisch angeht. Er be-obachtete, dass die Sonne an einemBrunnen in der Stadt Syene, dem heu-

tigen Assuan in Ägypten, keinenSchatten warf. Daraus schloss er, dassdie Sonne genau über ihm stand. EinJahr später befand er sich in der 800Kilometer entfernten ägyptischen Ha-fenstadt Alexandria.

Am 21.6 maß er die Schattenlängeeines in Alexandria stehenden Obelis-ken. Aus der Höhe des Obelisken undder Schattenlänge berechnete er denWinkel. Dieser betrug 7,2 Grad.Nachdem er diesen Winkel ermittelthatte, konnte er den Abstand von derErdoberfläche zum Erdmittelpunktberechnen. Eratosthenes wählte dazuden Weg über den Erdumfang.

Er wusste nun, dass 7,2 Grad einerEntfernung von 800 Kilometer aufder Erdkugel entsprachen. Ein Kreishat bekanntlich einen Winkel von 360Grad. Er dividierte den Winkel von360 Grad durch 7,2 und erfuhr, dass800 km Entfernung der 50te Teil des

Die große Entfernung zwischen Syene und Ale-xandria ermöglichte es Eratosthenes, den Erd-durchmesser hinreichend genau zu berechnen.

Erdumfangs ist. Also musste er nur dieZahl 50 mit der Entfernung 800 kmmalnehme und erhielt so den Erdum-fang, der 40.000 km beträgt.

Da sich der Umfang eines Kreisemit dem Kreisdurchmesser mal 3,14berechnen lässt, muss nur die Formelentsprechend umgestellt werden, umaus dem Kreisumfang den Kreisdurch-messer zu bekommen.

Lösung: Kreisumfang dividiertdurch 3,14 = 12730 km. Wenn manden Erddurchmesser mit den Winkel-funktionen berechnet, dann fehlen imErgebnis knapp 65 Kilometer, was da-ran liegt, dass Eratosthenes den Win-kel lediglich mit einer Nachkommas-telle messen konnte. Ein Winkel von7,164 Grad führt nur noch zu einerkleinen Abweichung.

An einem Obelisken maß Eratosthenes einen Schattenwinkel von 7,2 Grad.

Den Monddurchmesser ermittelnEine Mondfinsternis ist die ideale Ge-legenheit, um dessen Entfernung undGröße zu berechnen. Aristarch, dervon 310 bis 230 v. Chr. lebte, ist diesaufgefallen. Allerdings ist diese Be-rechnung erst möglich, wenn derDurchmesser der Erde bekannt ist, daes sich bei dieser Berechnung um eineVerhältnisrechnung und keine Rech-

nung mit Winkelfunktionen handelt.Aber dieses Problem hat ja freundli-cherweise Eratosthenes bereits gelöst.Um den Monddurchmesser zu bestim-men, werden Zeitmessungen durchge-führt. Die Zeitmessung startet, wennder Mond in den Erdschatten eintritt.In dem Moment, wo er sich komplettim Erdschatten befindet, wird eineZwischenzeit genommen (tab). DieZeitmessung wird erst angehalten,wenn der Mond wieder aus dem Erd-schatten austritt (tac).

Nehmen wir nun folgende Werte zurBerechnung an: Zeit, die zum Zurück-legen der Strecke a-b verstreicht (tab)=65 Minuten; Zeit, die zum Zurückle-gen der Strecke a-c verstreicht (tac) =236 Minuten. Aus dieser Zeitmessungkann man ermitteln, in welchem Ver-hältnis der Mond kleiner als die Erdeist. Da der Erddurchmesser nun ja be-kannt ist, kann der Monddurchmesserberechnet werden. Genaue Messungenmit Satelliten und hochmodernen opti-schen Teleskopen ergaben, dass dermittlere Monddurchmesser 3476 kmbeträgt. Somit ist die Mondfinsternis-

Erddurchmesser berechnenGegeben:Abstand a:Winkel:Gesucht:Erdradius (b):

800 Kilometer7,2 Grad

6332,7 KilometerErddurchmesser

Formel:

12665 Kilometer

Umgestellt:

Wolkenhöhe berechnenGegeben:Abstand (b) 50 MeterWinkel

Gesucht:Wolkenhöhe a:

89 Grad

2.864,50 MeterWert c:Formel:

2.864,93 MeterUmgestellt:

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Methode recht genau und für eigeneExperimente bei der nächsten Mond-finsternis sehr zu empfehlen.

Die MondentfernungDa nun der Durchmesser des Mondesbekannt ist, kann auf der Grundlageder gewonnenen Daten auch dessen

Winkelfunktionen stets zwei bekannteWerte gegeben sein müssen und ledig-lich ein Wert unbekannt sein darf.

Mittels der Zeitmessung konnte die-ses Problem jedoch gelöst werden, wie

Der Durchmesser des Mondes wird nicht über die trigonometrischen Funktionen berechnet. Viel-mehr wird dazu eine Mondfinsternis genutzt und per Zeitmessung dessen Durchmesser ermittelt.

eindrucksvoll demonstriert wurde. Wirwählen zum Bestimmen der Mondent-fernung die Tangensfunktion und kom-men zum Ergebnis von 398.310 km fürdie Entfernung Erde-Mond.

Bestimmung der SonnenentfernungNachdem nun der Abstand des Mondeszur Erde bekannt ist, kann man folge-richtig auch den Abstand von der Erdezur Sonne berechnen. Dazu ist es nö-tig, auf Halbmond zu warten, damit si-

MonddurchmesserGegebenTeit tab 65 MinutenZeit tacErddurchmesserGesuchtMonddurchmesser

23612730

MinutenKilometer

3506,1 Kilometer

Entfernung bestimmt werden. Hiersind die Winkelfunktionen wieder inihrem Element. Die Nutzung derWinkelfunktionen war zur Bestim-mung des Monddurchmessers ja nichtmöglich, da zum Rechnen mit den

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chergestellt ist, dass sich der Mond imrechten Winkel zwischen Sonne undErde befindet. Die Beobachtung be-schränkt sich zudem auf Tage, an de-

MondentfernungGegebenMonddurchmesser 3476 kmWinkelGesuchtMondentfernung

0,5 Grad

398310,15 kmFormel Umgestellt

nen sowohl der Mond, als auch dieSonne am Himmel stehen. Wenn diesder Fall ist, dann kann mit einem ge-eigneten Winkelmessgerät der Winkelzwischen Mond und Sonne festgelegtwerden. Aristarch hatte natürlich kei-ne so genauen Messgeräte zur Verfü-

Hinweis: Der Leser darf sich von der Zeichnung nicht unnötig verwirren lassen, denn das Dreieckist zum besseren Verständnis übertrieben eingezeichnet.

gung, die heute den Astronomen zurVerfügung stehen. Daher hat er denWinkel mit 87 Grad ermittelt. Tatsäch-lich beträgt dieser jedoch 89.85 Grad.

Dadurch bekam er lediglich eineEntfernung von rund 7,66 MillionenKilometer. Aber immerhin war nun be-kannt, dass die Sonne wesentlich wei-ter weg war als der Mond. Bleibt nur

SonnenentfernungGegebenMond-Erde (a) 398000 kmWinkel BetaWinkel AlphaGesuchtSonnenentf. (c)

89,850,15

GradGrad

152.024.975,30 km

Formel Umgestellt

noch zu erwähnen, dass die offizielleEntfernung zur Sonne 153.17 Millio-nen Kilometer beträgt.

Der SonnendurchmesserDa ja der Mond und die Sonne sichperfekt überdecken, ist klar, dass auchdie Sonne einen Winkel von 0,5 Grad,gemessen von Rand zu Rand, ein-nimmt. Wenn nun der Sonnenabstandbekannt ist, kann leicht der Sonnen-durchmesser ermittelt werden.

Der heute durch moderne Technikermittelte exakte Sonnendurchmesserbeträgt 1.391.400 km. An all diesenRechenbeispielen sieht man, dassschon damals helle Köpfe in der Lagewaren, relativ genau unser Planeten-system zu vermessen. Jahrtausendevor der sogenannten "modernen Zeit"waren die Menschen in der Lage, dieHimmelsmechanik zu verstehen undzu berechnen. Umso unverständlicher

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ist, dass es Religionen schafften, dasbereits erworbene Wissen wieder ver-schwinden zu lassen und die Thesevon der Scheibengestalt der Erde, dievon der Sonne umkreist wird, durch-setzen konnten.

Derart einfach gestrickte Gestaltenin religiösen Kreisen verstummen

SonnenendurchmesserGegebenErde-Sonne (b) 153.000.000 kmWinkelWinkel AlphaGesuchtSonnenradius

0,50,25

GradGrad

667.592,68 kmSonnendurchm.

Formel

1.335.185,35 km

Umgestellt

auch heute noch nicht und versuchendas Rad der Erkenntnis wieder zu-rückzudrehen. Religiös Verblendetehaben jüngst gar einen Zusammen-hang zwischen Erdbeben und derKleidung von Frauen hergestellt. Unddas 2300 Jahre nach Aristarch.

Berechnung weit entfernter SterneMit dem erworbenen Wissen kannnun daran gedacht werden, Abstands-berechnung von sehr weit entferntenSternen vorzunehmen. Dazu mussman nur den Stern anpeilen und denWinkel Sonne-Stern ermitteln.

Da die Entfernung zur Sonne ja nunbekannt ist, lässt sich so die Entfer-nung zu einem Stern bestimmen.Dazu ist es nötig, den Winkel des

Sterns jeweils im Abstand eines hal-ben Jahres, etwa am 21.3 und am 23.9,zu messen. Dadurch wird der Winkelgenauer ermittelt. Heutzutage kannman sich den Zeitaufwand sparen, dasowohl im Internet als auch in zahlrei-chen astronomischen Büchern dieWinkel für viele Objekte veröffent-

licht sind. Die rote Riesensonne Alde-baran hat beispielsweise den Winkelvon 48,94 Millibogensekunden. Umnun die Entfernung zum Stern zu be-rechnen, müssen zunächst diese Win-kelangaben in Dezimalgrad umgewan-delt werden: 48,94/3600/1000. 48,94Millibogensekunden sind demnach0.00001359 Grad. Die Rechnungzeigt, dass der Stern 66,6 Lichtjahreentfernt ist.

VertiefungWer sich bis hierher durchgearbeitethat, ist sicher an mehr Informationen

zu den trigonometrischen Funktioneninteressiert. Wie sichtbar wurde, sinddie Funktionen sin, cos und tan jeweils

www.weltderfertigung.de

Verhältnisse zwischen zwei Strecken.Wenn etwa 10 mm durch 30 mm ge-teilt werden, bekommt man als Ergeb-nis die Zahl 0,33333.

Für den Sinus würde diese Zahl be-deuten, dass einem Millimeter derStrecke c exakt 0,3333 Millimeter derStrecke a gegenüberstehen. Cosinus:Ein Millimeter der Strecke c stehen0,3333 Millimeter der Strecke b ge-genüber. Tangens: Ein Millimeter derStrecke b ergeben 0,3333 Millimeterauf der Strecke a.

Daher ist logischerweise diesen Ver-hältnissen ein fester Winkel zugeord-net. Mit den Arkusfunktionen kann

SternenabstandGegebenErde-Sonne (a) 1 AEParallaxenw.1 AE1 Parsec1 Parsec

0,00001359149.597.870,69

Gradkm

206.264,813,26

AELJ

GesuchtSternenabstand 4.216.024,98 AE

20,4466,63

Parsec

LJ

Formel Umgestellt

aus dieser Zahl der jeweilige Winkelberechnet werden.

Per Arcsin erfahren wir, dass der Si-nus-Winkel 19.47 Grad beträgt, überdie Arccos-Funktion wird ein Cosinus-Winkel von 70.53 Grad ermittelt undper Arctan ein Tangens-Winkel von18.43 Grad. Der Leser möge sich perTaschenrechner davon überzeugen.

Wer nun Feuer gefangen hat undsein Wissen zu den Winkelfunktionenvertiefen möchte, sei auf die zahlrei-che Fachliteratur verwiesen.