x = F F ∑ z 0 = − A F : F cos · s. 0,86 kN 2,35 kN 0,44 kN 4,25 kN. i k. q = 3 kN/m. Abb. 3:...

Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller Technische Universität Berlin Fakultät V Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, 10587 Berlin 6. Übungsblatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 2011/2012

1. Für den in Abb. 1 dargestellten, mit einer Einzelkraft und einer Gleichstreckenlast belasteten Biegeträger sind alle Schnittgrößen zu bestimmen und über dem Träger zu zeichnen. Markante Punkte sind zahlenmäßig anzugeben, kritische Stellen sind hervorzuheben.

1,2 m 2,2 m1,6 m

A

B

F = 1,3 kN

20°

q = 3 kN/m

Abb. 1: Eingespannter, abgeknickter Träger unter Gleichstrecken-und Punktlast.

Lösung

Um die gesuchten Schnittgrößen mit Hilfe des elementaren Schnittprinzips berechnen zu können, berechnen wir als Erstes die Auflagerkräfte mithilfe des in Abb. 2 dargestellten Freischnitts. Um die Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte mit dem eingezeichneten Koordinatensystem einfach auswerten zu können, haben wir die Lagerkraft in x- und z-Richtung zerlegt. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten:

AF

( ) ( ) ( ) +⋅°−⋅°−=∑ m6,120sinm4,320cos:0 AAB FFM

⇒=⋅+⋅ 0m6,1kN3,1m1,1kN6,6

( )( ) ( ) kN52

61204320kN61311166 ,

,sin,cos,,,,FA =

°+°⋅+⋅

= , (1)

( ) ⇒=−−°=∑ 0kN3,120sin:0 xBAx FFF

( ) kN440kN3120kN52 ,,sin,F xB −=−°= ,

( ) ⇒=−+°−=∑ 0kN66200 zBAz F,cosF:F

. ( ) kN254kN6620kN52 ,,cos,F zB =+°−=

1,2 m 2,2 m 1,6 m

F = 1,3 kN

1,1 m

6,6 kN

FA

FBx

FBz

FA sin(20°)

FA cos(20°)

xz


Abb. 2: Freischnitt am abgeknickten Träger.

Wir berechnen nun die Schnittgrößen mit dem elementaren Schnittprinzip. Das Koordinatensystem wird dazu jeweils so gedreht, dass die x-Achse in Richtung des Trägers zeigt. Im folgenden Bild sind die berechnete Verläufe dargestellt. Zahlenwerte sind selbständig einzusetzen und die Ergebnisse zu überprüfen.

− 0,86 − 4,25−

−

2,35

6,6

−4,25 −0,44

x0

+ +−−

1,812,82

0,70+ +

FN [kN]

Q [kN]

M[kNm]

3,74

Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller Technische Universität Berlin Fakultät V Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, 10587 Berlin

6. Übungsblatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 2011/2012


Aufziehverfahren: Nach Beendigung der Rechnung zeichnen wir den Freischnitt neu, um die Vorzeichen entsprechend zu berücksichtigen (was für die Vorzeichen der Schnittgrößen wichtig wird): Abb. 3.

1,6 m

F = 1,3 kN

xz

s

0,86 kN

2,35 kN

0,44 kN4,25 kN

i kq = 3 kN/m

Abb. 3: Vorzeichenrichtiger Freischnitt des Trägers.

Um die Normalkraft- und Querkraftverteilung zu zeichnen, sind jeweils alle sichtbaren, normal und quer zum Trägerquerschnitt liegenden Kräfte zu berücksichtigen. Die Vorzeichen lassen sich mit den in Abb. 3 eingezeichneten Pfeilrichtungen entscheiden, die für positive Schnittgrößen (je nach linkem oder rechtem Schnittufer) gelten. Für die Momentenfläche notieren wir noch speziell die folgenden Zahlenwerte in den ausgewählten Punkten i und k . Das Vorzeichen entscheiden wir dabei mit der eingezeichneten gestrichelten Linie, die von den beteiligten Kräften gestreckt (positiv) oder zusammengedrückt (negativ) wird: kNm70,0m6,1kN44,0 +=⋅+=kM (von rechts),

kNm73,0m1,1kN6,6m4,3kN35,2 +=⋅−⋅+=kM (zur Probe von links), (2)

kNm82,2m2,1kN35,2 +=⋅=iM (von links).

Die Tiefe der zur Gleichstreckenlast gehörigen Parabel ist gegeben durch:

( ) kNm1,81kNm82,23

8

22

==ql . (3)

− 0,86 − 4,25

−

−

2,35

6,6

−4,25 −0,44

x0

+ +−−

1,812,82

0,70+ +

FN [kN]

Q [kN]

M[kNm]

3,74


Abb. 4: Schnittgrößenverteilungen über dem Träger.

Damit werden die in Abb. 4 dargestellten Schnittgrößenverteilungen verständlich. Um das für einen Spannungsnachweis wichtige Maximum zahlenmäßig zu bestimmen, ist es nötig, die genaue mathematische Form der Momentenverteilung (quadratische Funktion in x ) im Bereich der Gleichstreckenlast zu ermitteln. Wir schneiden frei (Abb. 5) und schreiben:

( ) ( ) ( ) =−+= ∫ xxxqxxM dm20,1kN35,2 ( )2m

kN3m20,1kN35,22xx −+ . (4)

1,2 m

3 kN/m

( )xMx

( )xQkN86,0=AxF( )xN

2,35 kN Abb. 5: Freischnitt zur Ermittlung der Momentenverteilung über dem Träger.

nd für :

Zur Probe sei notiert, dass für m0=x folgt: Abb. 5: Freischnitt zur Ermittlung der Momentenverteilung über dem Träger. ( ) kNm82,2m20,1kN35,20 =⋅==xM (5)

m2,2=xu

( ) kNm73,02m2,2

mkN3m,43kN35,2m2,2

22

=−⋅==xM , (6)

was mit früheren Ergebnissen übereinstimmt. Die Stelle maximalen Moments können wir nun entweder durch Bilden der ersten Ableitung der Gleichung (4) nach

0xx =x und anschließendes

Nullsetzen finden oder aber per Strahlensatz aus den Querkräften; da dort, wo die Querkraft verschwindet, sich das Maximum der Momentenfläche befindet:

2, 2 m

6,6 kN,35 kN2

+

x0 −

ilfskonstruktion zur Bestimmung der Lage des Maximums der Momentenverteilung.

Es folgt: Abb. 6: H

m78,0kN6,6

kN35,2m2,2kN6,6m2,2

kN35,2 00 =

⋅=⇒= xx . (7)

Einsetzen in die Momentengleichung ( )xM , um das maximale Moment an dieser Stelle zu bestimmen, ergibt:

( ) ( ) kNm74,32

m78,0mkN 2

=−m78,0m20,1kN35,2max +=M 3 . (8)


2

.

a) Ermitteln Sie zunächst die Auflagerreaktionen in en Lagern

Das gezeigte Tragwerk wird durch eine Gleichstrecken- und Einzellast beansprucht.

d A und . b) Stellen Sie Normalkraft-, Querkraft- und Momentenfläche graphisch über den Träger dar. Verwenden Sie die strichlierte zur Vorzeichenfestlegung und geben Sie markante Punkte in den Flächen an. Insbesondere die Schnittmomente an den Übergangsstellen und müssen bestimmt werden. c) Berechnen Sie den Ort sowie die Größe des maximalen Biegemoments im Träger. Geg.:

B

i j

°= 30α , l , 0q , lqF 0=

Lösung Mit einem Freischnitt werden die Auflagerkräfte aufgelöst und mit Gleichgewichtsbedingungen berechnet.

( ) ( )

lqlq

ll

lqF

lqllF

llqllqlFlFM

A

A

AAB

00

20

20

00)(

355,1

4532

3

385

23

2212

23

45

21

0222cos45sin:0

≈−

=−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅

=⋅−⋅+−=∑ αα

(1)

( )

lqlqlqFF

FFF

ABX

BXAx

000 677,0

3425

3

2534

321

0sin:0

−≈−

=−

−=−=

=+=∑ α


( )

( )

lqlq

lqlqFlqF ABy0

00 23

533cos3 ⋅−=−−= α

lqlqFF ByAy

00

00

827,1

2534

313

432

02cos:0

≈⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝−

−=

−

=−−+= α

(2)

der Aufziehmethode die Normalkraft-,Querkraft-bb. 1.

F∑

⎛

Nach Bestimmung der Auflagerlasten, können mit und Momentenverläufe gezeichnet werden, s. A

I

IVII

III

)(xM)(xQ)(xN

−

−−

−−

−

++ +

+−

lqBXF0677,0−≈

lqBXF0677,0−≈−

lqBYF0827,1≈

lqBXF0677,0−≈

lqFF BXA 0173,1323

−≈=

lqlA 00 827,022

−≈qF 3−

lq020173,1

23 lqFA ≈

0178,0 q

2052,0max lqM ≈

2l

20293,0 lq

Abbildung 1 Schnittlasten

in

Vorzeichen der Schnittgrößen N und Q ergibt sich aus Vergleich mit der Auflagerrektion (zur Erinnerung M = 0). Sowohl N als auch Q weisen in entgegengesetzte Richtung zur Auflagerreaktion, d.h. negatives Vorzeichen.

Für die Methode beginnen wir am Auflager A. Die Lagerkraft mussihre Anteile in Stablängs- und Querrichtung zerlegt werden. Das

α

( )°30sinAFA

NQ

( )°30cosAF

( ) ( )21,

23

11 AA FxQFxN −=−=

Das Moment im Bereich I ergibt sich aus der Suche der Stammfunkt. zur Querkraft, somit eine lineare Funktion mit negativer Steigung.

169,0441 −≈−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

lFlxM BXI Wert am Knoten:

Knoten i: Aus einem Freischnitt direkt am Knoten ergibt sich:

III

III

III

MMNQ

QN

=−=

=

IN

IQIIQ

IINIIM

IM

i

Da keine Last in Normalkraftrichtung vorliegt, konstanter Verlauf ( ) lqxNII 02 677,0= −⇒


Wegen der konstanten Streckenlast muss die Querkraft mit steigendem x2 linear abnehmen (zur

Erinnerung: )(d)(d xqx

xQ −= ). Den Wert am Knoten j kann man demzufolge auch berechnen zu

( ) lqlqFlxQ AII 002 827,02232 −≈−==

Um den Betrag des maximalen Biegemoments, bzw. am Knoten j bestimmen zu können, muss zunächst die Nullstelle der Querkraftfunktion bestimmt werden:

( )

( ) lqq

Fllq AA 00

0 178,02

222

≈⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⋅⎟⎟⎠

−

nn der Verlauf der Schnittgrößen überprüft werden, denn die Größen innen leicht durch Betrachtung der Auflagerreaktionen des freien Randes

FMlx

lq

qFxxqFxQ

II

iKnoten

AAII

2

2

2202

3321max2

231610

2302

3

⎞⎛⎞⎜⎜⎝

⎛−==

−

=⇒=−=

Am biegesteifen Knoten j ka den Bereichen III und IV könbestimmt werden.

FFlqM AA2

0

0

520,03313max ≈+−=⇒q 0

0 22

M

Q

N

lqFBX 0667,0−≈

lqFBY 0827,1≈

B

Genau die gleiche Betrachtung wirwie FBX , d.h. positiv. Q weist in die gleiche Richtung wie FBX, allerdings hatten wir hier einen negativen Wert ausgerechnet. Da keine Lasten Bereich IV eingeleitet werden, bleiben die Verläufe auch konstant.

d auch am Knoten B gemacht. N weist in die gleiche Richtung

im

Q

N

lqF 0=

k

Weiter geht es bei dem freien Ende. Keine Kraft in Stabrichtung N = 0 . Das Biegemoment ist wiederum eine lineare Funktion mit positiver Steigung, d.h. der Funktionswert muss am Knoten j


( ) 220 2003 lqllqxM III −=⋅−==

betragen.

Das Biegemoment im Bereich IV ermittelt sich gleichermaßen zu:

Eine zusätzliche Kontrolle ergibt

( ) 204 677,0 lqlFlxM BXIV −≈==

IIN IIIN

IIQ

IIM

IIIM

IIIQ

IVQNIV

IVM

j

FNNQ

FFlq

lqFlqQQM

BXIIIIIIV

BYA

AIIIIIIV

=−=

=−=

+−=+=

0

00

233

232

lFlq

lqlqMMM

BX

IIIIIIV

≈−=

−−≈+−=2

0

20

20

678,0

5,0178,0

x = F F ∑ z 0 = − A F : F cos · s. 0,86 kN 2,35 kN 0,44 kN 4,25 kN. i k. q = 3 kN/m. Abb. 3:...

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