198

Anhang 1: Summen über Fakultäten

Beim Koppeln und Umkoppeln von DrehimpulszuBtänden stößt man auf Summen über rationale Ausdrücke mit Fakultäten (von ganzen Zahlen). Dabei steht im Nenner jedes Sum­manden mindestens ein Paar (a + n)!(b - n)!. Es legt die Summationsgrenzen fest: Die Fakultät einer negativen Zahl ist unendlich, und daher führt das genannte Paar auf die Gren­zen -a 5: n 5: b. Die Summationsgrenzen werden im folgenden nicht einzeln angegeben - es wird als selbstverständlich vorausgesetzt, daß keine Fakultäten negativer Zahlen auftreten.

Wenn mehr Glieder (ai+n)! auftreten als (bi-n)!, kann man durch geeignetes Umbenennen (n --+ -n) das Gegenteil erreichen, weshalb wir hier nur den einen Fall aufzählen.

Als erste Summe haben wir Hn

"" ( = oaO , L..., n! a- n)! n

denn sie ist nach dem binomischen Lehrsatz gleich

!.. "" Hn (a) = !.. (1 - l)a = oaO' a! L..., n a!

n

Die Binomialkoeffizienten sind nämlich für beliebiges p gegeben durch

( p) == p(p - 1) ... (p - n + 1) = _ n (n -p - 1) , n n! () n ( a) a! insbesondere ist = I( _ )1'

n n. an.

Aus dem binomischen Lehrsatz folgt das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten:

Deshalb gilt auch die Gleichung (zweite Summenformel)

"" 1 (a+b+c+d)! L: (a+n)!(b+n)!(c-n)!(d-n)! = (a+c)!(a+d)!(b+c)!(b+d)!'

Drittens haben wir noch

L (a+n)!(b-n)! _ (a-c)!(b-d)!(a+b+l)! n (c+n)!(d-n)! - (c+d)!(a+b-c-d+l)!'

denn die linke Seite ist (mit k = c + n) gleich

(a-c)!(b-d)! L (a-~+k)e:~=~) k

= HC+d(a- c)!(b- d)! L (c- ~-1) (:~!=~) = (a- c)!(b- d)! (a:!: 1) , k

und das steht auch rechts. Umgekehrt gilt nach diesen beiden Ergebnissen:

(a ± k)! (a - b)!(a - cl! (b±k)!(c±k)! = L n!(-a+b+c±k+n)!(a-b-n)!(a-c-n)!'

n

(a±k)! "" (c-a+n)!(a+b-n)! (b"Fk)!(c+l±k)! = L..., (c-a)!{b+c+l)!n!(b"Fk-n)!'

n

I!lQ

Hier hängt rechts jeweils nur eine Fakultät vom Lauftndex k ab, was wir für weitere Glei­chungen ausnutzen werden. So folgt mit c ~ d:

"n (a-n)! b (a-c)!(a-d)! L, (-) (Hn)!(c-n)!(d-n)! = (-) (b+c)!(b+d)!(a-b-c-d)! "

für a > d,

c (a-c)!(b+c+d-a-l)! =(-) (b+c)!(Hd)!(d-a-l)! tür a < d.

Deshalb haben wir für Umformungen auch noch die Beziehungen

1 1" .. ±k (a+ b+ c- n)! (a±k)!(b'Fk)!(C'Fk)! = (a+b)!((a+e)! L;- (-) (n'Fk)!(b-n)!(c-n)!'

(a - k)! (a - c)!" Hn (a - n)! (Hk)!(e-k)! = (He)! L, (-) (b+n)!(k-n)!(a-b-c-n)!'

n

Während wir also Summen rationaler Ausdrücke mit vier Fakultäten häufig berechnen können, lassen sich solche mit sechs Fakultäten nach dem genannten Verfahren oft umformen. So ist z.B.

"n (a+n)!(b-n)! ~ (-) (e+n)!(d+n)!(e-n)!(f-n)!

" " (a-c)!(a-d)!(b-e)!(b-!)! = L, (-) (b-e-j+n)!(c+n)!(d+n)!(e-n)!(f-n)!(a-c-d-n)!'

n

"n (a-n)!(b-n)! ~ (-) (c+n)!(d-n)!(e-n)!(f-n)!

" c (a - d)!(a - e)!(b - J)!(b - n)! = ~ H (c+J)!(a-d-e+n)!(c+n)!(d-n)!(e-n)!(b--c-j-n)!'

Die erste Gleichung benutzen wir bei der Kopplung von Drehimpulsen in Abschn. 3.6. Bei der Umkopplung brauchen wir

I: (a + n)!(b + n)!(c - n)! " (d+n)!(e+n)!(J-n)!

_" (a-d)!(a-e)!(b+c+l)!(c-!)!(b+n)! - L, (b+ c- j + 1 + n)!(d+ n)!(e+ n)!(j - n)!(a- d- e- n)! .

n

Damit läßt sich nämlich die Gleichung

"n (a + n)!(b - n)!(c - n)! L, (-) (d+ n)!(e+ n)!(J -n)!(g- n)!(h+ 1- n)!

n

_ (a- d)!(a- e)!(b- j)!(b- g)!(c- !)!(c- g)! - (d+h+l)!(e+h+l)!

" n (d + e + h + 1 + n)! x ~ (-) (b-j-g+n)!(c-j-g+n)!(d+n)!(e+n)!(f-n)!(g-n)!(a-d-e-n)!

200

beweisen, falls h = a+b+c-d-e-I-g ist: Schreiben wir nämlich (c-n)!/(e+n)!(h+l-n)! als Summe, so können wir die Summe über n umformen und erhalten

(a - d)!(6 -/)!(6 - g)! (h - e)!(e + h + I)! " )" (h-e+m)!(e+e-m)!(a-e+m)!

X ~ (- m!(b-I-g+n)!(d+n)!(e-m+n)!(f-n)!(g-n)!(a-d-e+m-n)!'

Beim Umwandeln dieser Summe über m kürzen sich zwei Glieder (d + n)! weg:

" ,,(a - d)!(a - e)!(b - n!(b - g)!(c - n)! L..J H (h - c)!(b -1- g + n)!(f - n)!(g - n)! "

" (h-c+m)! x L..J (h + 1- n+ m)!m!(a- d- e+ m- n)!(e- m + n)!(d- m + n)!

m

Ersetzen wir nun m durch k = m - n, so vereinfacht sich die entstehende Summe über n beim Umwandeln wegen der geforderten Bedeutung von h. Wir erhalten nämlich

" H" (a - d)!(a - e)!(b -I)!(b - g)!(c - n!(c - g)! L..J (c-I-g + n)!(b-I- g + n)!(f - n)!(g- n)!(a- d- e- n)! "

x~ (k+n)!(h+I+~)!(e-k)!(d-k)!' Wird nun über k summiert, so folgt die Behauptung. Umgekehrt gilt also auch

,,( )" (i+1+n)! L: - (a+n)!(b+n)!(c+n)!(d+n)!(e-n)!(f-n)!(g-n)!

(i-c+I)!(i-d+l)! (a + e)!(a + I)!(b + e)!(b + n!(e + g)!(d + g)!

" .. (c+ d+ g+ n)!(a+ e+l- n)!(b+ e+ I-n)! xL..J (-) (c+n)!(d+n)!(e-n)!(f-n)!(i-c-d+l-n)!'

n

falls i = a + b + c + d + e + 1 + g ist.

Anhang 2: Legendre-Polynome

Erzeugende Funktion:

1 00

/:,==;;;=====;;===;;0 = L P,,(cosO) zn ../1 - 2 z cos 0 + Z2 ,,=0

Daraus folgen die Rekursionsformeln:

für Izl < I .

(n + I)P"+l(cosO) - (2n + I) cosO Pn(cosO) + nP"_l(coS 0) = 0

201

und - mit P~ = dPn/dcosO - :

cas () P~(cos 0) - P~_dcos 0) = nPn{cos 0) ,

P~(cos 0) - eas 0 P~-1 (eos 0) = nPn_dcos 0) ,

P~+I (eos 0) - P~,-1 (eos 0) = (2n + 1) Pn(cos 0) ,

- sin2 0 P~(cos 0) = n {cos 0 Pn(cosO) - Pn_l(cos O)}

= (n + 1){Pn+1(cos 0) - cosO Pn(COS On n(n+l) = --- {Pn+dcosO) - Pn_1(cosO)} , 2n + 1

sowie die Differentialgleichung

sin2 0 P;:(cosO) - 2 cosO P~(cosO) + n(n + 1) Pn(cosO) = 0,

Symmetrie: Pn(-cosO) = (-t Pn(cosO) ,

Formel von Rodrigues:

( ) (_)n dn sin2n O 1 '" ()k (2n-2k)! cosn-2kO, Pn cosO = 2" n! deos n () = 2n ~ - kiln - k)!(n - 2k)!

Besondere Werte:

Po (cos 0) = 1,

Pdcos 0) = eos 0,

P2 (cosO) = ! (3cos2 0 -1) = t (1 + 3cos20),

Pz(cosO) = ! (5cos3 0 - 3cos 0) = t (3cosO + 5cos30) ,

P.(cosO) = t(35cos· 0 - 30cas2 0+ 3) = h(9 + 20cos20 + 35 cos 40) ,

für gerades n, sonst null.

Die Legendre-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonalsystem in cos 0 für den Bereich O~O~lI':

1 ~

/ Pn(cosO) P",(cosO) dcosO = / Pn(cosO) Pn,(cosO) sin 0 d(I = _2_ {inn' , 2n+ 1

-1 0

~ 2n+l Ö(O-O') L. -- Pn(cosO) Pn(C060') = ö(cosO - cosO') = -'-0-'

O 2 un n=

202

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StlchwortverlllelchnlB.

Abgeschlossene Schale 13.1 AbstammungskoeffIzient 13.3 Absteigeoperator 2.3 Additionstheorem

für Binomialkoeffizienten Al für Kugelfunktionen 1.6 verallgemeinertes 9.7

Analysierstärke 12.6 Asymmetrie der Winkelverteilung 12.5 Aufsteigeoperator 2.3 Austauschsymmetrie 3.15,13.1 Auswahlregel 5.2 Bahndrehimpuls 1.3,7.1 Barshay-Temmer-Theorem 12.13 Berechnung

der Kopplungskoeffizienten 3.11 der Umkopplungskoeff. 4.13,4.11

Besselfunktion 9.3 modifizierte 9.6

Biedenharn-Elliott-Beziehung 4.10 Binomialkoeffizient Al Blatt-Biedenharn-Koeffizient 12.3 Bohrsches Theorem 12.10, 12.14 Bose-System 2.7 Boson 1.5 Clebsch-Gordan-Koeffizient 3.4

Phasenkonventiou 3.3 Rekursionsformel 3.4, 3.7 Sonderfälle 3.8 Symmetrien 3.7 Zusammenhang mit 3j-SymlJol 3.9

Coulomb -kraft 9.6 -streuung 12.11 -welleufunktiou 9.3

Darstellung von Operatoren 5.2 Deltakraft 9.6 Dichteoperator 11.1

für Streuproblem 12.1 für Vielteilchensystem 13.2

Dipolmoment 10.6 DoppelstrelIune; 12.8 Drall 1.4

205

Drehimpuls -darstellung 2.1 -eigenwerte 2.3 -erhaltung 12.1 -komponent 1.6,2.1 -kopplung 3.1 -umkopplung 4.1 -operator 1.4 -quadrat 2.1 -summe 3.1 -unschärfe 2.4 -vertausch gesetz 1.6, 2.1, 6.7

Drehinvarianz 1.6,12.1 Drehmatrix 6.4 Drehoperator 1.3, 6.3 Drehparameter 1.5, 6.1 Drehung 1.1 Drehvektor 1.1, 1.2 Dreiecks

-koeffizient 4.13 -summenregel 4.13 -ungleichung 3.5

Dreierkorrelationsfunktion 8.2 Dreiteilchenstreuung 12.14 Ebene Welle 9.3 Eigen

-drehimpuls 1.4 -parität 12.10 -wertspektrum 2.3,2.7

Einheitsvektor 7.8 sphärischer 5.4

Einteilchen -dichte 13.5,13.12 -operator 13.2

Einzcldrehimpuls 3.1 Elektromagn. Strahlung 10.5, 10.6, 11.8 Eulerwinkel tU

Fermion 1.5 Fermionenoperator 5.4. 13.1 Fouriertransformation 9.8 Gaußkraft 9.6 Gekoppelte Darstellung 3.2 Gemisch 11.1

Gesamtdrehimpuls 1.4, 3.1 Gestreckte Kopplung 3.14 g-Faktor 5.7 Gradientenformel 10.2 Greenfunktion 9.3, 9.6 GruppeneigenschaIt 6.3 Halbzahliger Drehimpuls 1.5 Hankelfunktion 9.3 Helizität 1.6, 10.8 Hundsche Regel 3.15 Impuls

-darstellung 7.5 -operator 9.5

Inkohärente Überlagerung 11.1 Inverses Streu problem 12.12 Irreduzibler Tensoroperator 5.1 Isospin 2.2 Isotropie 11.3 j-Darstellung 12.2 jj-Kopplung 9.6 Kanalspin 12.2 Kirchhoffsche Differentialgleichung 9.3 Koordinaten

gedrehte 6.6 körperfeste 6.2 laborfeste 6.2 Relativ- 8.7

Ko- und Kontravarianz 5.3 Korrelationsfunktion 8.1

koplanare 8.3, 8.7 Kramers-Theorem 2.6 Kreiselfunktion 6.4

Eigenfunktion 6.7, 6.11 Eigenschaften 6.5, 6.11 Orthogonalität 6.10 red uzierte 6.8 Sonderfälle 6.9 Sphärischer Tensor 6.7 Vollständigkeit 6.10

Kugelfunktion 7.2 Additionstheorem 7.6 Drehverhalten 7.6 Reduziertes Matrixelement 7.3 renormierte 7.7 Parität 7.5 Produkt 7.3 Kreiselfunktion 7.3

206

LandEl-Fomlel 5.7 Legendre

-Funktion 7.4 -Polynom A2

Leiteroperator 2.3,2.7 Loch

-operator 13.9 -zustand 13.8

LS-Kopplung 9.6 Madisonkonvention 12.6 Magnetischer Dipol 5.1,10.6 Mehrfachstreuung 12.8 M -Matrix 12.16 Modifizierte Besselfunktion 9.6 Mottquerschnitt 12.13 Multipol

-moment 10.6 -strahlung 10.5 -zerlegung 9.6

Neumannfunktion 9.3 Ortsdarstellung 7.2 Parität 7.5 Paritätserhaltung 12.5, 12.14 Pauli-Operator 2.5 Phasen

-analyse 12.12 -faktor 2.5

Phasenkonvention bei gekoppelten Zuständen 3.3 bei Zeitumkehr 2.6, 3.3 von Condon & Shortley 2.5, 3.3 von Vielteilchenzuständen 13.1 von VVigner 3.3

Photoemission 12.15 Polarisation 11.4, 11.6

längs einer Achse 12.10 von Licht 11.7

Polarisations -stärke 11.5 -transfer 12.7

Polarisierreaktion 12.7 Quadrat des Drehimpulses 1.6,2.1 Quadrupolmoment 10.6 Quantenzahl 2.3

j 2.4,2.7 j ± m 2.7

Quantisierllngsa.chse 2.1

Quasispin 2.2 Racah-Koeffizient 4.3 Racah's Dreieckskoeffizient 4.13 Radialfunktion 9.1-3 Reduzierte Kreiselfunktion 6.8 Reduziertes Matrixelement 5.2

Symmetrie bei herrn. Op. 5.3 eines Einteilchenoperators 9.5 einer spinabhängigen Wechselw. 9.7 eines Tensorproduktes 5.6 einer Wignerkraft 9.6

Regge-Symbol (3j-Symbol) 3.10 Regge-Symmetrie

der Clebseh-Gordan-Koelf. 3.7 der 3j-Symbole 3.10 der 6j-Symbole 4.6 der 9j-Symbole 4.7

Renormierte Kugelfunktion 7.7 Richtungskomponente 7.9 Richtungskorrelation 8.1

koplanare 8.3, 8.7 Richtungsquantenzahl 2,4 Schelepin-Symbol (6j-Symbol) 4.6 Schrödingergleichung 9.1 Seniorität 13,4 Singulettzustand 3.14 Skalar 5.4

-produkt 5.5 Slater-Integral 9.6 Sommerfeldparameter 9.3 Sphärischer Tensor 6.6 Sphärischer Einheitsvektor 5,4 Spin 1.4

-austauschoperator 3.15 -Bahn-Kopplung 3.14,5.6,9.7 -korrelation 12,4 -Spin-Kopplung 3.14 -Tensor 5.5, 5.6, 11,4

Stokesparameter 11.7 Strahlparameter 11.2 Strahlungseinfang 12.15 Streuoperator 12.1 Streuung

geladener Teilchen 12.11 identischer Teilchen 12.13 polarisierter Teilchen 12.4 von Licht 12.15

207

Stufenzerfall 12.14, 12.15 Summen

über Fakultäten Al über 3j-Symbole 4.9 über 6j-Symbole 4.10 über 9j-Symbole 4.11 über 3j-, 6j- und 9j-Symbole 4.12

Teilchen-Loch -Paar 13.11-13 -Parität 5.3 -Symmetrie 13.10

Tensor 5.1 irreduzibler 5.1 -iteration 5.5 -kraft 5.6, 9.7 -operator 5.1 Orthogonalität 5.2 -produkt 5.5 sphärischer 6.6

Tripelkorrelationsfunktion 8.2, 8.3 Triplettzustand 3.14 Übergangs

-operator 12.1 -wahrscheinlichkeit 5.2

Umkopplung 3.1,4.1 Phasenkonvention 3.2 Richtungsquantenzahl 4.2 von Fermionen 13,4 von drei Drehimpulsen 4.3 von vier Drehimpulsen 4,4

Unschärfe 2.4 -beziehung 1.6

Vektor -additionskoeffizient 3.4 -feld 10,4 -kraft 9.7 -kugelfunktion 9,4, 10.1

Vektoroperator 1.6, 5.4 Wirkung auf Kugelfunktion 10.2 - auf Vektorkugelfunktion 10.3

Vektorprodukt 5.5, 7.8 Vert aus eh gesetz 1.6, 5.1, 5.4 Vielteilchenzustand

Gekoppelte Darstellung 13.4 Ungekoppelte Darstellung 13.1

Viererkorrelationsfunktion 8,4-7 W -Koeffizient 4.3

Wigner -Eckart-Theorem 5.2 -koeffizient (Clebsch-G.-K.) 3.4 -kraft 9.6

Wirkungsquerschnitt 12.3 Asymmetrie 12.5 für Dreiteilchenreaktion 12.14 für polarisierte Partner 12.4 für Photonen 12.15

Yukawakraft 9.6 Z-Koeffizient 4.14 Zeemann-Elfekt 5.1 Zeitumkehr 2.6

-invarianz 2.6, 12.9 -operator 2.6 -verhalten 5.3

Zentralkraft 9.1, 9.1 Zerfallsamplitude 12.14 Zirkularpolarisation 10.8 Zweierkorrelationsfunktion 8.1 Zweipotentialformel 12.11 Zweiteilchen

-dichte 13.6, 13.13 -operator 13.2

3j-Symbol 3.9 Berechnung 3.11 Rekursionsformeln 3.12 Sonderfälle 3.13 Symmetrien 3.10

6j-Symbol 4.3 Beredlllllllrr 4.13 Rekllrsionsformeln 4.15 Sonderfälle 4.14 Symmetrien 4.6 Zusammenhang mit 3j-Symbol 4.5

9j-Symbol 4.4 Berechnung 4.17 Sonderfälle 4.16 Symmetrien 4.7 Zusammenhang mit 3j-Symbol 4.5 Zusammenhan!! mit 6.i-Svmbol 4.10

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