Zählen, ohne zu zählen. 1 Kombinatorik Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen...

Zählen, ohne zu zählenZählen, ohne zu zählen

1 Kombinatorik1 Kombinatorik

„„Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen über endliche Mengen Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt, beispielsweise mit der Abzählung beschäftigt, beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“Menge.“

(aus: Scheid, H./Engesser, H. (1994): Duden. Rechnen und (aus: Scheid, H./Engesser, H. (1994): Duden. Rechnen und Mathematik. Mannheim, 320.)Mathematik. Mannheim, 320.)

1.1 kombinatorische 1.1 kombinatorische WerkzeugeWerkzeuge

BaumdiagrammBaumdiagramm

0-1-Folgen0-1-Folgen

GitterdiagrammGitterdiagramm

1.2 kombinatorische 1.2 kombinatorische ZählprinzipienZählprinzipien

AdditionsregelAdditionsregel

ProduktregelProduktregel

Regel des indirekten ZählensRegel des indirekten Zählens

1.3 Situationstypen der 1.3 Situationstypen der KombinatorikKombinatorik

VariationenVariationen Reihenfolge ist relevantReihenfolge ist relevant

KombinationenKombinationen Reihenfolge ist Reihenfolge ist nichtnicht relevant relevant

Warm-up-Aufgabe:Warm-up-Aufgabe:

Speiseplan:Speiseplan:

1. Schaut Euch den „aktuellen“ Speiseplan der 1. Schaut Euch den „aktuellen“ Speiseplan der Mensa an. Mensa an. Notiert nun Notiert nun systematischsystematisch alle möglichen alle möglichen Zusammenstellungen!Zusammenstellungen!

2. Findet 2. Findet zwei Möglichkeitenzwei Möglichkeiten die Anzahl der die Anzahl der Menüs zu bestimmen!Menüs zu bestimmen!Erklärt Eure Vorgehensweise.Erklärt Eure Vorgehensweise.

3. 3. KombinationKombination oder oder Variation Variation??Begründet Eure Entscheidung!Begründet Eure Entscheidung!

2 Produktregel2 Produktregel

Allgemeine Formulierung:Allgemeine Formulierung:

Durchläuft man einen k-stufigen Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe nder 1. Stufe n11, auf der 2. Stufe n, auf der 2. Stufe n22, und , und auf der dritten Stufe nauf der dritten Stufe n33 Möglichkeiten, Möglichkeiten, und schließlich auf der k-ten Stufe nund schließlich auf der k-ten Stufe nkk Möglichkeiten hat, so ergeben sich Möglichkeiten hat, so ergeben sich

nn1 1 ·· nn2 2 ·· nn33…….. …….. ·· n nkk Möglichkeiten Möglichkeiten, den , den gesamten Entscheidungsprozess zu gesamten Entscheidungsprozess zu

durchlaufen.durchlaufen.

2.1 Variation mit Wiederholung2.1 Variation mit Wiederholung

Würfeln:Würfeln:

1. 1. Wie viele verschiedene mögliche Wie viele verschiedene mögliche Ergebnisse Ergebnisse gibt es, wenn man mit einem gibt es, wenn man mit einem Würfel zweimal Würfel zweimal hintereinander würfelt? hintereinander würfelt?

2.2. Warum handelt es sich bei dieser AufgabeWarum handelt es sich bei dieser Aufgabe um eine Variation mit Wiederholung? um eine Variation mit Wiederholung?

3.3. Findet eine allgemeine Formel für diesen Findet eine allgemeine Formel für diesen Situationstyp.Situationstyp.


Lösung:Lösung:

Im Im erstenersten Wurf gibt es 6 mögliche Zahlen, Wurf gibt es 6 mögliche Zahlen, die geworfen werden könnten: die geworfen werden könnten: 1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.

Im Im zweitenzweiten Wurf gibt es ebenfalls 6 Wurf gibt es ebenfalls 6 mögliche mögliche Zahlen, die geworfen werden Zahlen, die geworfen werden könnten: könnten: 1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.

Daraus ergeben sich Daraus ergeben sich 6•6 = 6² = 36 mögliche 6•6 = 6² = 36 mögliche ErgebnisseErgebnisse..



Es handelt sich um einen Es handelt sich um einen k-stufigen k-stufigen EntscheidungsprozessEntscheidungsprozess. Auf jeder der k . Auf jeder der k Entscheidungsstufen gibt es Entscheidungsstufen gibt es

n Entscheidungsmöglichkeiten, n Entscheidungsmöglichkeiten, insgesamt insgesamt alsoalso

n • n • n • n ... • n = n n • n ... • n = n kk

Möglichkeiten.Möglichkeiten.

2.22.2 Variationen ohne WiederholungVariationen ohne Wiederholung

Wettkampf:Wettkampf:

Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, Nicole und Sabrina.Nicole und Sabrina.

1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten 1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren, die ersten drei Plätze zu existieren, die ersten drei Plätze zu

vergeben? vergeben?2. Zeichnet zur Veranschaulichung ein 2. Zeichnet zur Veranschaulichung ein

Baumdiagramm. Baumdiagramm.

2.22.2 Variationen ohne WiederholungVariationen ohne Wiederholung

Lösung:Lösung:

Für den ersten Platz kommen fünf Kinder Für den ersten Platz kommen fünf Kinder in in Frage, für den zweiten jeweils noch 4 und Frage, für den zweiten jeweils noch 4 und für für den dritten jeweils noch 3 Kinder.den dritten jeweils noch 3 Kinder.

Insgesamt gibt es also Insgesamt gibt es also 5 5 · 4 · 3 = 24 · 4 · 3 = 24 verschiedene Möglichkeitenverschiedene Möglichkeiten die ersten drei die ersten drei Plätze zu belegen.Plätze zu belegen.

2.1.22.1.2 Variationen ohne Variationen ohne WiederholungWiederholung

Allgemeine Formulierung :Allgemeine Formulierung :

Durchläuft man einen k-stufigen Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. 1. Stuft nStuft n11, auf der 2. Stufe n, auf der 2. Stufe n22, und auf der , und auf der dritten dritten

Stufe nStufe n33 Möglichkeiten, und Möglichkeiten, und schließlich auf der k-schließlich auf der k-

ten Stufe nten Stufe nkk Möglichkeiten hat, so ergeben Möglichkeiten hat, so ergeben

sich sich nn1 1 ·· nn2 2 ·· nn33…….. …….. ·· n nkk Möglichkeiten Möglichkeiten, den , den

gesamten gesamten Entscheidungsprozess zu Entscheidungsprozess zu durchlaufen.durchlaufen.

2.1.32.1.3 Permutationen ohne Permutationen ohne WiederholungWiederholung

Wettkampf:Wettkampf:

Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, Nicole und Sabrina.Nicole und Sabrina.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren, wenn alle Kinder platziert werden ?existieren, wenn alle Kinder platziert werden ?


1.1. Erweitert das zur letzten Aufgabe Erweitert das zur letzten Aufgabe gezeichnete Baumdiagramm sinnvoll.gezeichnete Baumdiagramm sinnvoll.

2. 2. Was fällt Euch auf, wenn ihr statt über die Was fällt Euch auf, wenn ihr statt über die Plätze über die Personen stuft?Plätze über die Personen stuft?

3. 3. Welcher Unterschied besteht zwischen der Welcher Unterschied besteht zwischen der Permutation ohne Wiederholung und der Permutation ohne Wiederholung und der Variation ohne Wiederholung?Variation ohne Wiederholung?


Lösung:Lösung:

1.1. Für den ersten Platz kommen fünf Für den ersten Platz kommen fünf Kinder Kinder in in Frage, für den zweiten Frage, für den zweiten jeweils noch 4 und jeweils noch 4 und für für den dritten jeweils noch 3 Kinder, für den den dritten jeweils noch 3 Kinder, für den

vierten jeweils noch 2 und für den vierten jeweils noch 2 und für den fünften fünften jeweils noch ein Kind.jeweils noch ein Kind.Insgesamt gibt es also Insgesamt gibt es also 5 5 · 4 · 3 · 2 · 1= · 4 · 3 · 2 · 1=

120 120 verschiedene Möglichkeiten.verschiedene Möglichkeiten.


2.2. Wenn man statt über die Plätze über die Wenn man statt über die Plätze über die Personen stuft zeigt sich, dass es Personen stuft zeigt sich, dass es

genauso genauso viele Möglichkeiten gibt.viele Möglichkeiten gibt. Alin kann den 1., 2., 3., 4. oder 5. Platz Alin kann den 1., 2., 3., 4. oder 5. Platz

belegen. Abhängig davon, verbleiben für belegen. Abhängig davon, verbleiben für Patricia vier mögliche Platzierungen, Patricia vier mögliche Platzierungen, wiederum davon abhängig für Franziska drei wiederum davon abhängig für Franziska drei usw.usw. 3.3. Es gibt genauso viele Plätze wie Es gibt genauso viele Plätze wie Personen, Personen, was was bei der Variation ohne bei der Variation ohne Wiederholung Wiederholung nicht nicht der Fall war.der Fall war.


Allgemeine Formulierung:Allgemeine Formulierung:Die Permutationen ohne Wiederholung ist ein Die Permutationen ohne Wiederholung ist ein Spezialfall des Situationstyps Variation ohne Spezialfall des Situationstyps Variation ohne Wiederholung.Wiederholung.Es gibt genauso viele Stufen im Es gibt genauso viele Stufen im Entscheidungsprozess wie Objekte.Entscheidungsprozess wie Objekte.die Reihe der Faktoren schreitet also bis die Reihe der Faktoren schreitet also bis hinunter zur 1, es gilthinunter zur 1, es giltn n ·(n-1) ·(n-2) · … ·2 ·1 dies kann man kurz als ·(n-1) ·(n-2) · … ·2 ·1 dies kann man kurz als n! (n-Fakultät) ausdrückenn! (n-Fakultät) ausdrückenDer Name Permutation leitet sich von dem Der Name Permutation leitet sich von dem lateinischen permutare (vertauschen) ab.lateinischen permutare (vertauschen) ab.

3 Kombination ohne Wiederholung3 Kombination ohne Wiederholung

Beispiel für ein Standardproblem der Beispiel für ein Standardproblem der Kombinatorik:Kombinatorik:

Lottoschein – Lotto ,6 aus 49‘Lottoschein – Lotto ,6 aus 49‘

Wenn man mit Sicherheit 6 Richtige Wenn man mit Sicherheit 6 Richtige erzielen erzielen möchte, müsste man alle möglichen möchte, müsste man alle möglichen

Tippscheine abgeben. Wie viele sind das?Tippscheine abgeben. Wie viele sind das?

3 Kombination ohne Wiederholung3 Kombination ohne Wiederholung

Lösungsansatz:Lösungsansatz:

Binomialkoeffizient:Binomialkoeffizient:

Dies ist die Anzahl der 6-elementigen Dies ist die Anzahl der 6-elementigen Teilmengen einer aus 49 Elementen Teilmengen einer aus 49 Elementen bestehenden Menge.bestehenden Menge.

49

6

3.1 Binomialkoeffizienten3.1 Binomialkoeffizienten


bezeichnet die Anzahl aller k-bezeichnet die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Teilmengen einer n- elementigen elementigen Menge.Menge.

Situationstyp:Situationstyp: Kombination ohne Kombination ohne Wiederholung.Wiederholung.

n

k


Vereinfachung durch Kodierung in 0-1-Vereinfachung durch Kodierung in 0-1-Folgen:Folgen:

M=M={1,2,3,4,5}{1,2,3,4,5}T1={1,3,4} ; T2={1,4,5} ; T3={2,3,4}T1={1,3,4} ; T2={1,4,5} ; T3={2,3,4}

Wie lauten die entsprechenden 0-1-Wie lauten die entsprechenden 0-1-Folgen?Folgen?

Wie lautet der Binomialkoeffizient?Wie lautet der Binomialkoeffizient?


Binomischer Lehrsatz:Binomischer Lehrsatz:

1 1 2 2 2 2 1 1... ...1 2 2 1 0

n n n n n nn n n n n na a b a b a b a b b

n n n

2a b


Spezialfälle:Spezialfälle:

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

a b a a b b

a b a a b a b b

a b a a b a b a b b


Pascal‘sche DreieckPascal‘sche Dreieck

k n

0 1 2 3 4 5

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1


Allgemeine Formulierung der Berechnung:Allgemeine Formulierung der Berechnung:

== n n ∙∙ (n (n – 1) – 1) ∙∙(n – 2) (n – 2) ∙∙ … …∙ (n∙ (n – k + 1)– k + 1)

k!k!

n

k

n

k


Nochmals unser Problem: 6 Richtige im Nochmals unser Problem: 6 Richtige im Lotto!Lotto!

,49 über 6‘ eingesetzt in die allg. Formel ,49 über 6‘ eingesetzt in die allg. Formel ergibt:ergibt:

49∙48∙47∙46∙45 49∙48∙47∙46∙45 = 13 983 816 Mgl. = 13 983 816 Mgl.

6!6!

Weiterführende Aufgabe:Weiterführende Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es für drei Wie viele Möglichkeiten gibt es für drei richtige richtige

Zahlen (ohne Zusatzzahl)?Zahlen (ohne Zusatzzahl)?


Lösung: Lösung:

= 3 angekreuzte Zahlen der 6 = 3 angekreuzte Zahlen der 6 Gewinnzahlen Gewinnzahlen

= 3 von den 43 übrigen Zahlen= 3 von den 43 übrigen Zahlen

==

3

6

43

6

3 43

6 6

Resümee:Resümee:

1. Einführung in die Kombinatorik1. Einführung in die Kombinatorik

2. Situationstypen der Kombinatorik: 2. Situationstypen der Kombinatorik:

Variation vs. Kombination Variation vs. Kombination

mit/ohne Wiederholungmit/ohne Wiederholung

Resümee:Resümee:

3. Kombinatorische Zählprinzipien, mit 3. Kombinatorische Zählprinzipien, mit besonderer Berücksichtigung der besonderer Berücksichtigung der Produktregel Produktregel

4. Kombinatorische Werkzeuge:4. Kombinatorische Werkzeuge:

- Baumdiagramm- Baumdiagramm

- 0-1-Folgen- 0-1-Folgen

- Binomialkoeffizienten- Binomialkoeffizienten

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