ZeitreihenanalyseWS 2003/2004

http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0204/geooekologie/zeitreihenanalyse/

• Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften

• Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen

• Fouriertransformationen, Powerspektrum, Lomb-Scargle Methode

• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse

• Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis

• Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden

• Skalierung, (Multi-)Fraktale

• Komplexität und Information von Zeitreihen

• Wavelets

Michael Hauhs/ Holger Lange

Ökosystem

Wissenschaften einfacher Systeme

•Physik•Chemie•Mathematik

Kontexte der Veranstaltung

Wissenschaften komplexer Systeme•Biologie•Ökologie•Sozial-•Wirtschaftswissenschaften

Ingenieur-Wissenschaften

•Informatik•Umwelttechnik•Kreislaufwirtschaft

Nutzungstraditionen

•Land-•Forstwirtschaft•Wasserwirtschaft•Naturschutz

Spezial-Wissenschaften:

• Biogeografie• Bodenkunde• Geologie• Hydrologie• Meteorologie• Toxikologie• ...

Wissenschaften einfacher Systeme

Kontexte der VeranstaltungDas Lehrangebot der Ökologischen Modellbildung

Wissenschaften komplexer Systeme

Ingenieur-Wissenschaften

Nutzungstraditionen

Einführung Ökologie G5

Modellbildung in der Geoökologie G5

Ökologische ModellbildungM103

Entwicklung von Simulations-ModellenM103

Zeitreihenanalyse

M103, 409, 509

Lehrveranstaltungen im WS 04/05

• Zeitreihenanalyse (Do 11-13):

– Methoden Auswertung von Monitoringdaten, die internen Prozesse der zugehörigen Systeme sind unbekannt.

– Praktikum am Ende des Semesters• Umweltinformationssysteme (Mi 8-10)

– Methoden zu Organisation und Bewertung von Daten und Abläufen im Umweltbereich

• Simulation von sozialen und ökologischen Systemen (28-30.1.05 Wallenfels)

– Agentensimulationen, zusammen mit P&E (Hegselmann)

• Mustererkennung in der Fernerkundung terrestrischer Ökosysteme (Lange/Lischeid)

– Blockseminar, nach Vereinbarung• Entwicklung von Simulationsmodellen (M103) (Knauft) (Di 12-13, Mi 14-

17)

– Vorlesung (1) mit Praktikum (3) zum Erlernen einer Simulationssprache (Vensim)

Literatur zum Thema

• K.W. Hipel und A.I. McLeod: Time Series Modelling

of Water Resources and Environmental Systems, Elsevier 1994

• H. Tong: Non-linear Time Series, Oxford Science Publ. 1990

• R. Schlittgen: Angewandte Zeitreihenanalyse, Oldenbourg 2001

• Brillinger, D.R. (1981): Time Series. Data Analysis and Theory.

• J. Honerkamp: Stochastic Dynamical Systems, VCH 1994

Wozu Zeitreihenanalyse ?

• Direkteste Verbindung zur experimentellen Beschreibung

von Systemen (Datenerhebung)

• kommt (i.d.R.) ohne Annahme von Prozessen aus

• kommt mit gar keinem bis wenigen Parametern aus

• konkrete empirische Beschreibung des zeitlich variablen

(dynamischen) Verhaltens

• Vorhersage oft erfolgreicher als bei Prozessmodellen

• Klassifikation von Modellen nach ihrer Erklärungsleistung

• Sensibler Test von Modellen ("mehr als r2")

Zugänge• aus der Physik:

- Suche nach der Dynamik des erzeugenden

Systems (z.B. Geophysik, Meteorologie)

- der typische Zugang in den Geowissenschaften

• aus der Mathematik:

- als Beispiel für geordnete (oder partiell geordnete)

Mengen

• aus den Ingenieurwissenschaften (z.B. Hydrologie):

- als Ausdruck des empirischen Wissens (Abflüsse)

• aus der Modellbildung:

- als wichtiges Beispiel zur Demonstration der

heutigen

technischen Möglichkeiten

- gibt es einen typischen Zugang für Ökosysteme ?

Was ist eine Zeitreihe?Definition: Eine Zeitreihe ist eine Menge von Werten, die in einer festgelegten (und bekannten!) Reihenfolge vorliegen:

NixX i ,...,1

• Die Zuordnung der Werteposition zum Referenzzeitpunkt ist eine monotone Funktion

jii ttjiti :• Ist der zeitliche Abstand zweier Messungen konstant:

ifttt ii 1

heißt die Zeitreihe äquidistant. Es gilt dann titti 0

• Fehlt ein i in dieser Liste, hat die Zeitreihe eine Lücke.

Wie behandelt man Lücken? Was ist eine Lücke bei Nicht-Äquidistanz?

Eigenschaften und Bezeichnungen bei Zeitreihen

• Univariate Zeitreihe: Eine (reellwertige) Variable an einem Ort gemessen

• Multivariate Zeitreihe: mehrere Variablen am selben Ort

• Mehrdimensionale Zeitreihe: eine Variable an verschiedenen Orten zu jeweils gleichen Zeitpunkten

• Äquidistante Zeitreihe

• Lückenfreiheit

• Homogenität: pdf ändert sich nicht mit der Zeit

• Generelles Problem: viele Eigenschaften beziehen sich auf / sind nur definiert für unendlich lange Zeitreihen

• In der Mathematik werden Zeitreihen oft als Realisation eines stochastischen Prozesses definiert (oft unbrauchbar...)

Zeitreihen

(ein Wettbewerb)

Zeitreihen: Eigenschaften

Grundlegende Definitionen I

Eine Datenreihe Nitx i ,...,1),( liegt vor.

• Mittelwert:

N

iitxN 1

)(1

• Varianz

N

iitxN 1

22

1

1

(Standardabweichung: )

• q-tes zentrales Moment:

N

i

qiq tx

NM

1

1

• Variationskoeffizient:

v

Faustregel :Zur Berechnungdes q-ten Momentsbenötig man mind.2q Datenpunkte

Grundlegende Definitionen II

Häufigkeitsverteilung: Histogramme

• Binbreite:bins

minmax )(

N

xxx

• Median: 50% der Werte sind kleiner

Faustregel : 95% der Bins sollten je mind. 5 Datenpunkte enthalten

Häufigkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (pdf´s)

• Modus/Modalwert: Position des Maximums der pdf

• x%-Quantil: x % der Werte sind kleiner

Grundlegende Definitionen III

Autokorrelationsfunktion:

N

ii

kN

ikii txtxtxk

1

2

1

/)(

• Nur Lags k < N/4 (Puristen) bzw. k < N/2 (Pragmatiker) vertrauen

Faustregeln: • Mindestens 30 Datenpunkte

• Daten müssen „im Prinzip“ äquidistant vorliegen; Lücken sind ein echtes Problem!

kN

ikii txtx

Nk

11

1)( Autokovarianz:

Wann ist eine Zeitreihe eine Zeitreihe?

Gibt es signifikante Autokorrelationen, ist die zeitliche Reihenfolgewichtig. Die einzelnen Werte sind dann nicht unabhängig.

Unabhängigkeit erreicht man durch

• Aggregation• Wahl einer gröberen Messauflösung

Falls unabhängig: Zeitreihen als Realisationen eines stochastischen Prozesses

I.a. liegen Mischtypen vor (z.B. additives Rauschen)

Test für (lineare) Unkorreliertheit

Liegen weniger als 5% der Werte ausserhalb des Intervalls, liegenkeine signifikanten Korrelationen vor Autokorrelationslänge

)1

,0(~n

Nk

nSL

96.195,0

Berechnung der Autokorrelation. Für unkorrelierte Daten gilt:

Daher sind die 95%-Signifikanzlinien

(evtl. Verbesserungen für kleine n)

(normalverteilt)

• Partielle Autokorrelation (PACF) später (AR-Modellierung)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1740 1760 1780 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940

So

nn

en

fle

ck

en

Beispiel: Wolfers Sonnenfleckenrelativzahlen

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Lag (Jahre)

AC

F

Autokorrelation der Sonnenflecken

Lang- und Kurzzeitgedächtnis

Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe

k

kM )(

Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis

M

Autokovarianzmatrix

TN zz 11

TNtxtxz )(),...,( 1

• symmetrisch

• positiv definit für stationäre Zufallsprozesse

• für multivariates Gaußsches Rauschen ausreichend

zur vollständigen Charakterisierung

(Mittel über alle Fenster)

Kreuzkorrelation zweier Zeitreihen

kn

t

n

t

n

tttktt

ttkttuv

vuvu

vuvuk

1 1 1

2/122

2/122

)/(

)/()(

ytt

xtt

yv

xu

Eigenschaften der Kreuzkorrelation

1)(1 kuv

)(kuv ist nicht symmetrisch: )(),()( kkk uvuvuv

95% Signifikanz:2/1|)|/(96.1)( knkuv

Lag-Beschränkung: 4/4/ nkn

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

CC

F

Abstand (Jahre)

Kreuzkorrelation: RP Trend gegen Sonnenflecken

Arten von Kausalitätsbeziehungen

Beziehung Eigenschaften der Kreuzkorrelation

X verursacht Y

Y verursacht X

Instantane Kausalität

Rückkopplung

Y verursacht nicht X

X und Y sind unabhängig

00 kkuv manchefür 00 kkuv manchefür

00 uv

0

00

k

kkuv

manche und

manchefür

00 kkuv allefür

kkuv allefür 0

Kausalität für Zeitreihen nach Granger

analog

~,,

~,

~,

tttt

stst

YYXX

tsAAtsAA

Gegeben zwei Zeitreihen und eine Informationsmenge ,tA

die mindestens tY enthält.

tt YX ,

tY)( tt AYP Ein-Schritt-Vorwärts-Prädiktor für

mit minimalem mittleren quadratischen Fehler )(2tAY

Def.: X verursacht Y

)(),( 22ttt AYXAY

X beeinflusst Y instantan )()~

,( 22ttt AYXAY

X und Y sind rückgekoppelt X verursacht Y und Y verursacht X

Spezialfall: Korrelationskoeffizient

vu

n

iii

uv

vvuur

1)0(

• mindestens 4 gemeinsame Datenpunkte (evtl. Ausdünnen)

• 11 r )1( 222 rvuv •

• 21

2

r

nrt

ist t-verteilt mit n-2 Freiheitsgraden

Bei 95% Signifikanz:n rmin

5 0,878

10 0,632

50 0,279

1000 0,062

• sehr robust gegen Nicht-Normalität

Tests und Trenderkennung bei ZeitreihenProblem vieler Zeitreihen-Modelle und Analysemethoden: u.a. Stationarität vorausgesetzt

Zwei Auswege:

• Geeignete Modellklasse wählen

• Vorbehandlung der Zeitreihen

(Ggf. wünschenswerte) Eigenschaften von Zeitreihen:

• Ergodizität• Stationarität• Linearität• Homoskedastizität• Normalität• Trendfreiheit (deterministisch/stochastisch)• Unkorreliertheit (Identically Independently Distributed, IID)