Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

In einer Urne befinden sich 6 graue und 4 weiße Kugeln. Du ziehst 3 Mal hintereinander eine Kugel.Jede gezogene Kugel legst du gleich wieder zurück in die Urne. „Ziehen mit Zurücklegen“

a) Beschrifte die Kanten des Baumdiagramms mit den Wahrscheinlichkeiten.Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Ablauf.

Mehr dazu ist auf dem AB – Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten.

0,6

0,40,6

=⇒ P ( ) = 0,6 · 0,6 · 0,6 = 21,6%

=⇒ P ( ) = 0,6 · 0,6 · 0,4 = 14,4%

0,6

0,4

0,6

0,4

0,6

0,4

0,4

0,6

0,4

0,6

0,4

=⇒ P ( ) = 0,6 · 0,4 · 0,6 = 14,4%

=⇒ P ( ) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 9,6%

=⇒ P ( ) = 0,4 · 0,6 · 0,6 = 14,4%

=⇒ P ( ) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 9,6%

=⇒ P ( ) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 9,6%

=⇒ P ( ) = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 6,4%

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 graue Kugeln zu ziehen?

P ( ) + P ( ) + P ( ) = 3 · 14,4% = 43,2%

Ziehen mit Zurücklegen

Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel insgesamt 10 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit . . .

. . . nur Sechser zu würfeln?(16

)10= 0,000 000 016 5... = 1,65... · 10−6 % = 1 zu 60 466 176

. . . zuerst einen Sechser und danach 9 Mal keinen Sechser zu würfeln?

16 ·(5

6

)9= 3,23...%

. . . beim letzten Wurf den ersten Sechser zu würfeln?(56

)9· 1

6 = 3,23...%

. . . genau einen Sechser zu würfeln? Im Baumdiagramm gibt es 10 günstige Pfade mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

16 ·(5

6

)9· 10 = 32,30...%

. . . nur beim 3.Wurf und beim 8.Wurf einen Sechser zu würfeln?(16

)2·(5

6

)8= 0,64...%

. . . genau zwei Sechser zu würfeln? Jeder günstige Pfad hat Länge 10 und die gleiche Wahrscheinlichkeit.Wie viele Pfade im Baumdiagramm sind günstig? Mehr zu solchen Abzählproblemen findest du auf dem AB – Kombinatorik.(1

6

)2·(5

6

)8·(

102

)= 29,07...%

Zufallsexperiment unabhängig wiederholen

Datum: 17. Mai 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment mit genau 2 möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment.

a) Ein Wurf mit einer fairen Münze ist ein Bernoulli-Experiment mit Ergebnisraum Ω = Kopf,Zahl.

P (Kopf) = 12 P (Zahl) = 1

2

b) Ein Wurf mit einem fairen 6-seitigen Würfel ist ein Bernoulli-Experiment, wenn wir nur zwischenden Ergebnissen und unterscheiden.

P ( ) = 16 P ( ) = 5

6

Bernoulli-Experiment

Wir werfen einen fairen 6-seitigen Würfel insgesamt 10 Mal. Bei jedem Wurf unterscheiden wir nurzwischen den Ergebnissen und . Das Gesamtergebnis des Zufallsexperiments schreiben wir alsFolge an. Zum Beispiel:

⟨, , , , , , , , ,

⟩1) Jede Folge von 10 Würfen, die genau k Sechser beinhaltet, hat die Wahrscheinlichkeit

k = 0, 1, 2, . . . , 10(16

)k

·(5

6

)10−k

. 1. Pfadregel

2) Es gibt(10

k

)verschiedene Ergebnisfolgen, die genau k Sechser beinhalten. Kombinatorik

3) Stelle eine Formel für die Wahrscheinlichkeit pk auf, dass genau k Sechser gewürfelt werden:

pk =(

10k

)·(1

6

)k

·(5

6

)10−k

2. Pfadregel

Anzahl Sechser k Wahrscheinlichkeit pk

0 16,14...%1 32,30...%2 29,07...%3 15,50...%4 5,42...%5 1,30...%6 0,21...%7 0,024...%8 1,86... · 10−3 %9 8,27... · 10−5 %10 1,65... · 10−6 %

Die Zufallsvariable X ordnet jeder Ergebnisfolge die Anzahl der Sechser zu.Mehr dazu findest du auf dem AB – Zufallsvariablen.

Statt p6 + p7 + p8 + p9 + p10 können wir dann kurz P (X ≥ 6) schreiben.Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

P (X ≤ 1) = p0 + p1 = 48,45...%

P (X < 3) = p0 + p1 + p2 = 77,52...%

P (X ≥ 3) = 1− P (X < 3) = 22,47...%

Bernoulli-Experiment unabhängig wiederholen

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Jedes Mal, wenn die oben eingeworfene Kugel auf einen Nagel (•) trifft, fällt sie mit gleicher Wahr-scheinlichkeit entweder nach links oder nach rechts.Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel insgesamt nach rechts fällt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genauden eingezeichneten Pfad nimmt?

0,55 = 3,125 %

Am Ende landet die Kugel in einem der 6 Fächer.Sind alle 6 Fächer gleich wahrscheinlich?

Nein: Alle Pfade haben zwar die gleiche WS. In dasFach X = 0 führt nur ein Pfad, aber in das Fach X = 2führen

(52)

= 10 Pfade.

0,5

X=

0

X=

1

X=

2

X=

3

X=

4

X=

5

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugelim Fach X = 2 landet?

P (X = 2) = 0,55 ·(

52

)= 31,25 %

Galtonbrett

Was ist eine binomialverteilte Zufallsvariable?

• Ein Bernoulli-Experiment hat 2 mögliche Ergebnisse:

Ω = Erfolg,Misserfolg

Es gilt P (Erfolg) = p und P (Misserfolg) = 1− p .

• Wir führen dieses Bernoulli-Experiment n Mal unabhängigvoneinander unter denselben Bedingungen durch.

• Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Erfolge unter denn Durchführungen.

1−p

X=

0

X=

1

X=

2

X=

3

X=

4

X=

5

p

1−p p

1−p p

1−p p

1−p p

Dann heißt die Zufallsvariable X binomialverteilt mit Parametern n und p.Erkläre die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen unter n Wiederholungen:

P (X = k) =

(n

k

)· pk · (1 − p)n−k︸ ︷︷ ︸Anzahl Pfade in das Fach X = k (Kombinatorik und 2. Pfadregel)

WS von jedem Pfad in das Fach X = k (1. Pfadregel)

k = 0, 1, 2, . . . , n

Binomialverteilung

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Überlege jeweils, ob X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist.Falls ja, gib die Parameter n und p an. Falls nein, begründe warum X nicht binomialverteilt ist.

a) Du wirfst gleichzeitig 8 faire 6-seitige Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6.X . . . Anzahl Würfel mit Augenzahl 1 oder 2Ja: n = 8, p = 1

3

b) Eine Schachtel enthält 4 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst eine zufällige Kugel, notierst die Farbeund legst die Kugel wieder zurück. Du führst insgesamt 5 solche Ziehungen hintereinander durch.X . . . Anzahl blauer Kugeln unter den 5 ZiehungenJa: n = 7, p = 3

7

c) Eine Schachtel enthält 5 rote und 5 blaue Kugeln. Du ziehst ohne hinzusehen insgesamt 3 Kugelnaus der Schachtel.X . . . Anzahl blauer Kugeln unter den 3 KugelnNein, weil sich die WS für eine blaue Kugel mit jeder Ziehung ändert.

d) Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6 so lange, bis zum ersten Mal einSechser kommt.X . . . Anzahl Würfe bis zum ersten SechserNein, weil die Anzahl der Würfe nicht auf eine bestimmte Zahl n festgelegt ist.

e) Ein Single-Choice-Test enthält 30 Fragen mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten. Bei jeder Frage istgenau eine Antwort richtig. Du kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwortmöglichkeit an.X . . . Anzahl richtig beantworteter FragenJa: n = 30, p = 1

5

f) Eine gezinkte Münze mit den 2 Seiten „Kopf“ und „Zahl“ zeigt mit 70 % Wahrscheinlichkeit „Kopf“.Du wirfst die Münze 18 Mal.X . . . Anzahl Würfe mit Ergebnis „Zahl“Ja: n = 18, p = 30 %

g) In einer Klasse sind 14 Schüler und 11 Schülerinnen. Von ihnen werden zur Stundenwiederholungnacheinander 4 verschiedene Personen ausgewählt.X . . . Anzahl Schülerinnen, die zur Stundenwiederholung ausgewählt werdenNein, weil sich die WS für eine Schülerin mit jeder Auswahl ändert.

h) Beim Roulette sind auf einer Scheibe 37 Felder mit den Zahlen von 0 bis 36 durchnummeriert.Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und ein Feld grün. Bei jeder Drehung wird mit einerKugel ein Feld zufällig ausgewählt. Du beobachtest insgesamt 30 Drehungen.X . . . Anzahl Drehungen, bei denen ein rotes Feld ausgewählt wirdJa: n = 30, p = 18

37

i) In einer Urne befinden sich 45 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 45 durchnummeriert sind.Bei einer Lotto-Ziehung werden 6 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen.Lukas beobachtet über ein Jahr hinweg alle 104 Lotto-Ziehungen.X . . . Anzahl Lotto-Ziehungen, bei denen die Kugel mit der Zahl 42 gezogen wirdJa: n = 104, p = (44

5 )(45

6 ) = 645

j) Du wirfst nacheinander 4 faire 6-seitige Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6.X . . . Anzahl verschiedener Augenzahlen unter den 4 WürfelnNein, die WS für eine neue Augenzahl bleibt nicht gleich. Formale Begründung:Es ist P (X = 0) = 0. Wenn X binomialverteilt wäre, ist P (X = 0) = (1− p)n.Also müsste p = 1 sein. Aber es können auch gleiche Augenzahlen unter den 4 Würfeln sein.

Binomialverteilte Zufallsvariable?

4

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Beim Spiel Single-Deck Blackjack wird mit einem Standard-Deck aus 52 Karten gespielt.Darunter befinden sich genau 4 Karten mit einem König und genau 4 Karten mit einem Ass.Jede Person erhält 2 zufällige Spielkarten. Sind die beiden Spielkarten ein Ass und ein König (inbeliebiger Reihenfolge), spricht man von einem Blackjack.p ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Runde Single-Deck Blackjack einen Blackjack hat.

1) Berechne die Wahrscheinlichkeit p für einen Blackjack.

p = 452 ·

451 + 4

52 ·451 = 1,20...%

2) Du spielst 1000 Runden Single-Deck Blackjack. Nach jeder Runde werden die Karten neu gemischt.X ist die Anzahl der Runden, bei denen du einen Blackjack hast.Berechne mit Technologieeinsatz die Wahrscheinlichkeit, dass du dabei . . .

. . . höchstens 10 Mal einen Blackjack hast.

P (X ≤ 10) = 33,86...%

. . . weniger als 6 Mal einen Blackjack hast.

P (X < 6) = P (X ≤ 5) = 1,89...%

. . . mindestens 13 Mal einen Blackjack hast.

P (X ≥ 13) = 43,20...%

. . . öfter als 3 Mal einen Blackjack hast.

P (X > 3) = P (X ≥ 4) = 99,79...%

. . . mindestens 7 Mal, aber weniger als 13 Mal einen Blackjack hast.

P (7 ≤ X < 13) = P (7 ≤ X ≤ 12) = 52,47...%

. . . genau 15 Mal einen Blackjack hast.

P (X = 15) = P (15 ≤ X ≤ 15) = 7,38...%

3) Beschreibe jeweils ein Ereignis im Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird:

P (A) =(

802

)· p2 · (1− p)78

Ereignis A: Bei 80 Runden genau 2 Mal einen Blackjack haben.

P (B) = (1− p)130

Ereignis B: Bei 130 Runden keinen einzigen Blackjack haben.

P (C) =8∑

i=3

(250i

)· pi · (1− p)250−i Zur Erinnerung:

8∑i=3

f(i) = f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8)

Ereignis C: Bei 250 Runden mindestens 3 und höchstens 8 Blackjack haben.

P (D) = 1− (1− p)70

Ereignis D: Bei 70 Runden mindestens einen Blackjack haben.

Blackjack

5

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 100 und p.

Wie sieht das Säulendiagramm aus,wenn p = 0 ist?Es gibt nur eine Säule:0 Erfolge mit WS 100 %

Wie sieht das Säulendiagramm aus,wenn p = 1 ist?Es gibt nur eine Säule:n = 100 Erfolge mit WS 100 %

Welche Eigenschaft hat das Säulendiagramm, wenn p = 0,5 ist?Es ist symmetrisch zur Säule mit 50 Erfolgen.Zum Beispiel sind 70 Erfolge und 30 Misserfolge gleich wahrscheinlich wie 30 Erfolge und 70 Misserfolge.

Wie viele Erfolge erwartest du, wenn p = 0,42 ist?Die WS für einen Erfolg ist jedes Mal p = 42 %.Es sind 100 · 42 % = 42 Erfolge zu erwarten.

Die WS für genau 42 Erfolge beträgt aber nur rund 8 %.

Binomialverteilung

X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p.

1) Der Erwartungswert von X ist

E(X) = µ = n · p.

2) Die Varianz von X ist

V (X) = σ2 = n · p · (1 − p). Für welches p ist V (X) am größten?

3) Die Standardabweichung σ von X ist

σ =√V (X) =

√n · p · (1 − p).

Kenngrößen der Binomialverteilung

Die Zufallsvariable X kann die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P (X = xi) 0,5 % 2 % 5 % 10 % 20 % 25 % 20 % 10 % 5 % 2 % 0,5 %

1) Berechne: P (X ≤ 3) = 17,5 % P (X > 8) = 2,5 % P (3 < X ≤ 7) = 75 %

2) Begründe, warum X nicht binomialverteilt sein kann.Die WS liegen symmetrisch =⇒ Es kommen nur n = 10 und p = 0,5 in Frage.Aber dann müsste P (X = 10) = 0,510 = 0,097...% sein.

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable

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