Hydro- und Aerodynamik

Die Volumenstromdichte

Die Kontinuitätsgleichung

Die Bernoulli-Gleichung

So fliegen die Vögel!

…und die Flugzeuge

Inhalt

• Strömung idealer Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli

• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes

• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Ideale Flüssigkeit

• Inkompressibel

• Keine Reibung– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden

• Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein

Ideale Strömung

• Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel)

• Strömung ohne Reibungskräfte – innerhalb des Mediums– zwischen dem Medium und den Wänden

Die Volumenstromstärke

10

5

0Zeit dt

• Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt

dV

v

A ds

Einheit

1 m3/s Volumenstromstärke

A 1 m Querschnittsfläche des Rohres

v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit

Die Volumenstromstärke

vAdt

dsA

dt

dVI

10

5

0Zeit dt

dV

v

A ds

Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen

dV dV

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt

• Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

10

5

0Zeit dt

Die Kontinuitätsgleichung

Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

11 dsAdV 22 dsAdV

2p

dV

dV

1v 2v

1A1ds

2ds2A

Einheit

1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt

1 m3/sDivision durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung

1 m3/s

Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

Die Kontinuitätsgleichung

2211 dsAdsA

2211 vAvA

dt

dsA

dt

dsA 2

21

1

Der Bernoulli Effekt

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt

• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Der Bernoulli-Effekt

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Versuch zur Bernoulli-Gleichung

Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit:

• Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit

• Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg

1ds

2ds

1F 2F

111 dsFW 222 dsFW

Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Kraft mal Weg

1 JArbeit gegen den Druck1111 dsApW 2222 dsApW

111 dsFW 222 dsFW

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen

A1

A2

1ds

2ds

Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

1p2p

Einheit

1 m3/sKontinuitätsgleichung,v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten

1 m3 Konstante Volumina

Kontinuitätsgleichung beim Übergang

A1

A2

1ds

2ds

Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

2211 vAvA

2211 dsAdsA

10

5

0Zeit dt

dtdsAdtdsA // 2211

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren1JdVpW 11 dVpW 22

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen

A1

A2

1ds

2ds

Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

1111 dsApW 2222 dsApW

Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung

• Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich

• Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet

• Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten?

• A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung1J

1 J Energieerhaltung

dVpW 11 dVpW 22

…und um ein Volumen dV zu beschleunigen

dV

dV

Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

211 2/1 mvWKin 2

22 2/1 mvWKin 222

211 2/12/1 mvdVpmvdVp

1v 2v

1 JDie Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt

1 Pa

Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab

p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen

v1, v2 1m/sGeschwindigkeiten in beiden Bereichen

ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums

Die Bernoulli-Gleichung

2121

22 )(

2

1ppvv

2121

22 )(

2

1dVpdVpvvdV

Versuche zum Bernoulli-Effekt

• Das hydrodynamische Paradoxon

Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten

Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft

Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen

Druckmessung in Flugzeugen

Dynamischer Druck, Pitot-Druck

Statischer Druck

0p

vp

v

N

N

N

p

p

g

ph ln

dtdh /2

0 2

1vpp v

Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr

Statischer Druck

Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck

Versuch

• Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper

• In welcher Richtung wirkt die Kraft?

Versuch: Magnus Effekt

Unterschiedliche Strömungs-geschwindigkeiten an der Oberfläche!

• Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt

Versuch: Wasserstrahlpumpe

Auftrieb am Flügel

• Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite

• Höherer Druck an der Unterseite Auftrieb

Zusammenfassung• Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung

– Bewegung ohne Reibung– Inkompressibel, d.h. überall konstante Dichte

• Die Volumenstromstärke– Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit

• Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind

gleich• „Was reinfließt, fließt auch wieder raus“

• Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen:– In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist

der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit

So fliegen die Vögel!

…und die Flugzeuge

finis