TECHNISCHE MECHANIK 6(1985)Heft2

Manuskripteimang: 4.4. 1984

Zur Theorie der Struktur homogener isotope: Turbulenz

W. Szahlewski

Hinsichtlich der Struktur turbulenter Strömungen stellt

homogene isotrope Turbulenz derzeit immer noch ein

aktuelles Thema dar.

In der vorliegenden ersten Mitteilung wird über erzielte

Fortschritte zur Thematik Spüirum der Turbulen-

energie und zusammen-

fassend und in Ergänzung berichtet.

I. Spektrum der Turbulenzenergie

A. Dreidimensionales Spektrum

Die Frequenzanalyse turbulenter Strömungen ergibt ein

kontinuierliches Spektrum der mittleren Turbulenz-

energie da Mmeneinheit

:32

°'—.

sogar, ktm—ll Wellenzahl.

Die reziproken Wellenzahlen k-l sind dabei als charak-

teristisches Längenmafi der in der turbulenten Strömung

enthaltenen Turbulenzelemente, auch Wirbel (eddies)

genannt, aufzufassen.

Aus den Navier—Stokesschen Gleichungen gewinnt man

über die Zweipunkt—Korrelationen der Geschwindigkeits-

schwankungen mittels Fourieranalyse fiir das Spektrum

E über der Wellenzahl k die Gleichung

iaEtfl = -aasTa‘) —2vk2 E(k) (l)

(v[m2 5-1] kinematische Zähigkeit)

bzw.

a k kEfi:(k)dk=—S(k)—2vIlc2E(k)dk- (2)

Hier bezeichnet S(k), Transformierte der nichtlinearen

Glieder der Trägheitskräfte, symbolisch den Transfer

kinetischer Energie durch Bildung von Wirbeln > k

(sog. unduly-011$).

Da der Verlust kinetischer Energie letztlich aus der Rei-

bung resultiert, haben wir für S die

lim S = O .

k—M‘n

a) Trägheitsunterbereich

Das dynamische Verhalten der Turbulenzelemente wird

durch die Reynoldssche Zahl

v

bestimmt. Nach Messungen ist Rek im wesentlichen Teil

des Spektrums um „so kleiner, je gößer k ist.

Bei großem Ra ist nun der Einfluß der Zähigkeit auf

die Dynamik unwesentlich. Die Dissipation kinetischer

Energie in Wärme, der die turbulenten Geschwindigkeits-

schwankungen unterliegen, findet überwiegend in den

kleinen Wirbeln mit kleinem Rek statt und resultiert im

Bilde Prandtlscher Vorstellungen aus dem Stokeschen

Widerstandsgesetz. Dagegen fiihren die großen Wirbel

mit großem Rqt entsprechend dem mit Wirbelbildung

verbundenen Formwiderstand (quadratisches Wider-

standsgesetz) zur Bildung von Wirbeln kleineren Längen-

maßes.

Wir können demnach bei großem Reko, wo ko die Wel-

lenzahl der großen Wirbel bezeichnet, im Spektrum zu-

nächst einen Trägheitsbereich (inertial range) mit ver-

nachlässigbarem Einfluß der Reibungskrifte abgrenzen

gegen einen Zähigkeitsbereich (viscous range) mit merk-

barem Einfluß der Mit wachsender Rey-

noldscber Zahl Roto wird dabei der

des Spektrums, dessen Breite im Rahmen der Konti-

nuumsmechanik eine endliche Schranke gesetzt ist, im-

mer mehr eingeengt.

Bei hinreichend großem Rek wird es dann im Trig-

heitsbereich einen an den Zähigkeitsbereich grenzenden

Unterbereich (inertial subrange) k > ko geben, in wel-

chem

1. Unabhängigkeit von den äußeren Bedingungen bzw.

von den großen Wirbeln ko angenommen werden kann.

2. der Transfer kinet'mcher Energie hier

s<k)=-3—iE(k>dk~——dTE<k)dk=e (3)at 0 dt o

(e [m2 8—3] Dissipation der Turbulenzenergie) gesetzt

werden kann.

In diesem Unterbereich ist dann nach Kolmogorov [1]

die Spektralfunktion als durch die Dissipation e,

und die Wellenzahl k determiniert anzusehen. Es folgt

dimensionsanalytisch

E(k) z a e2/3 k-5/3 (4)

bzw.

E (k) = a e2l3 k—5/3 für k —> on im Trägheitsunterbereich

mit der dimensionslosen empirischen Konstante a, die

als universelle Konstante anzusehen ist. Nach Messungen

beträgt

a N 1,6

und ist — wie bemerkt werde —- alleiniges erupirisehes

Element der vorliegenden Theorie.

Das k—5/3 = Gesetz des Trägheitsunterbereichs ist durch

zahlreiche Messungen bestätigt worden und stellt einen

sicheren Bestandteil der Theorie homogener isotope:

Turbulenz dar. 19

Als wichtige Folgerung [2] ergibt sich aus (4) mit S (k)

z e nach (3)

s (k) z a—3/2 E(k)3/2 k5l2 (6)

im Trägheitsunterbereich.

(4) und (6) stellen also äquivalente Formen dar.

Die Formulierung (6) für den Transfer kinematischer

Energie wurde bereits im Jahre 194-8 von Kovasznay [3]

als hypothetischer Ansatz vorgeschlagen. Er findet hier

nunmehr gegenüber anderen hypothetischen Ansätzen

(z. B. Obuchow, v. Kairmdn, Heisenberg u. a.) eine Be-

b) Universeller Bereich

Im Zähigkeitsbereich tritt als weitere physikalische Ein-

flußgröße die kinematische Zähigkeit V und damit neben

l/k die weitere determinierende Länge (V3 /6)1/4' auf.

Dimensionsanalytisch erhält man dann bei Fortsetzung

von (4) in den Zähigkeitsbereich und damit für den so-

genannten „universellen” Bereich k > ko nach Kolmo—

gorov

E (k) = a 62/3 k—S/B f(k l,3/4/61/4-)

mit der bei der Dimensionsanalysis unbestimmt bleiben-

den Funktion f.

Führen wir die dimensionslosen Größen

17 = k(v3/e)1/4, E02) = E(k)(eu5)-1/4 (7)

ein, so erhalten wir demnach für den universellen Bereich

nach Kolmogorov

E0?) = «xi-5’3 £02). (8)

Für den Transfer kinetischer Energie erhält man entspr.

nach (6)

Em (5 S(k)/e) = 01—3/2 E(i§)3/2‘T€5/2 f, (i). (9)

Für nimmt Gl. (l) unter Beachtung von

_öüi) .Tdfiß 2E z _1 1 man")öt kdk dt 4edt d;

dieForman[2;b]

v1/2‘ 1 de ~dE(E) ~

TEEH‘ d": +E<k>>

d§(~) ~2~~=- N —2k E(k). (10)

dk

Hier muß im universellen Bereich

a“: 1_ d_e=_4 53/2 dt

sein, wo a > O eine dirnensionslose Konstante ist. Es

folgt für die Dissipation kinetischer Energie in Wärme

l v l_ ._ _ ll

und damit — bei Nullsetzen der lntegrationskonstante —

für das zeitliche Abklingen der Turbulenzenergie im

Frühstadium (große Reynoldssche Zahl Reko)

e:

20

2

Diese Gesetzmäßigkeit ist durch Messungen [4] bei rela-

tiv großer Reynoldscher Zahl Re)‘ = 280 als bestätigt an-

zusehen.

Mit der turbulenten Reynoldszahl

J72 x 7 _ — —Ä z I 2 «I? ll ‚2 ‚2 2

V (e 1/)1/2

"* (13)'2

(Ä = )l/2 Taylorsche Mikrolänge) ,

die eine Modellkonstante darstellt, steht a in der Bezie-

hung

(12)

FP'p—I

V

a2‚blo—

Re

_ 1 1 (e 101/2: R 2 — .a V523 e)‘ 3 11,2

Es ist anzumerken, daß das zeitliche Abklingen der Tur-

bulenzenergie gemäß (l2) gebunden ist an die Existenz

eines universellen Bereiches k > k0. Mfltfindig fort-

schreitendem zeitlichen Abklingen von uiu3/2 und da-

mit kleiner werdenden Reynoldschen Zahlen Rek erfaßt

der Einfluß der Zähigkeit immer weitere Bereiche des

Spektrums, so daß schließlich die Existenz eines univer-

sellen Bereiches aufgehoben wird. Es sind dann andere

Gesetzmäßigkeiten zu erwarten; vgl. z. B. Ling, Huang

[5].

Die definite mathematisehe Formulierung des Energie-

transfers im universellen Bereich steht noch aus und

stellt ein Hauptproblem der Forschung dar. Vorliegende

hypothetische Ansätze, z. B. der Ansatz von Pao [6],

weisen drastische Abweichungen von gemessenen höhe-

ren Momenten E11 (kl) des eindimensionalen Spek--

trums 0°

u'ä = f E11(k1)dk1 (Abschn. B)

0

auf.

Eine Aussage ist jedoch für die Asymptote (k -’ °°) mög-

lich. Hier ist mit Rek -> 0 in der Bilanz der Turbulenz-

energie der aus den nichtlinearen Trägheitsgliedern resul-

tierende Energietransfer gegenüber der viskosen Dissipa-

tion als vernachlässigbar anzusehen. Wir haben es dann

nach (10) mit der Gleichung

M; dE()

dk

zu tun, aus der folgt

Ed) ~’1?e— “’3

~

—E< ))=—2i?2

~

( ) (15)“I

bzw.

Ed?) ~Ee-V3/5 Rexkz . (16)

_ d S(k)/dk __)

2 i2 E(E)

so müßte die Konstante 0 < 7 < l sein;

und man erhielte

Ed) ~Ie-(1—7N‘2/a. (17)

7 für kI-an,Würde

c) Trägheitsbereich k > Ice [2 b], [7]

Für den Energietransfer S ergibt Dirnensionsanalysis

hier (unabhängig von der‚Existenz eines Trägheitsunter—

bereiches bzw. der Forderung S ‘3 e)

S(k) = a‘3/2 E(k)3/2 k5/2 ; (l8),

denn E(k) und S(k) bedingen einander und im Träg-

heitsbereich k > ko steht nur die Länge l/k zur Verfü-

gung'

Für S (k) z e erhält man dann aus (18) wieder das Kol-

mogorovsche Gesetz

E(k)zae2/3 k-5/3.

Setzt man (18) in (l) ein, so wird die spektrale Vertei-

lung E im genannten Bereich durch die Gleichung

aEO‘) ä (_32 52 12 aEGOT+2a /k/ E00] T

(19)

= _ä “-3/2 k3/2 E (“3/2

beschrieben. GI. (19) stellt eine quasilineare partielle

Differentialgleichung erster Ordnung dar. Das zugeord-

nete charakteristische System gewöhnlicher Differential-

gleichungen

dt : d k = _ d E (k)

(3/2) a— 3/2 k5/2 E (101/2 (5/2) “—3/2 k3/2 E (103/2

ergibt mit den lntegralen (20)

E(k)k5/3 = c1 ; t + a3/2 E(k)-1/2 k-3/2 = c2 (21)

die allgemeine Lösung

E<k> = k-5/3 g(t + «3/2 E<k>~1l2 Ira/2). (22).

wo g zunächst eine unbestimmte Funktion ist. Es ist zu

fordern (vgl. (5)), dafi für k -> °°

bzw. S -> e

E(k) = ae2l3 k—5/3,

nach (ll)

E(k) = «(7:— a1;— )2’3 t-4/3 k-5/3. (23)

Erfüllung dieser Randbedingung bestimmt dann g zu i

go + «3/2 E (Io-112 Ira/2)

=a(l V 2/3(t+a3/2E(k)*1/2k-3/2)-4/3.Z a; (24)

Eliminieren wir wieder t mit Hilfe von (11), so erhalten

wir für das Spektrum E (k) im Trägheitsbereich k > ko

(162/3 k-5/3

[1 + 20:3/2 a(e/v)l/2 k—3/2 E (k)—1I2]4/3

in dimensionsloser Form und mit (l4)

130‘) =

;(25)

‚e I) = a i:_5/3

[l + 2x/573 ail/2 Re; 1 E—3/2 Earl/21413

(26)

Führen wir hier die Variablen

k, =ihm—W, E, = E(k)M5/2/a

2 „2 (27)

(M = 2a\/57-3 Re)"l =— a ELL)3 “'2

ein, so folgt aus (26) mit

w =a—1ESI3E(E), o<w<1 (28)

in Parameterdarstellung das Ähnlichkeitsgesetz der spek—

tralen Verteilung der Turbulenzenergie im Trägheitsbe-

reich k > Iro

¢3I8

1“ Z (1 w3/4)3/‘2 ’ E* “W8 043/4)”;

bzw. mit

x : “[314(29)

kl- : (lfi)3/2 7 E* 2J; (1 _x)5/2 (O <x < l)'

— x

0

-1 -

1

A M-2(5/:e)"zo:-Re}t

gs]?

Im _2„

T9u?g:

-3.

„Ms/3

-L -

‘54 ö 1 2 3\ 1°

lg Ream-Ma")

Bild l

Ähnlichkeitsprofil des dreidimensionalen Spektrums der Turbu-

lenzenergie im Trigheitsbereich k >ko

Für In "> °° geht das Ähnlichkeitsgesetz gemäß der Rand-

bedingung (23) in das Kolmogorovsche — 5/3 = Gesetz

über.

Das Ähnlichkeitsgesetz beschreibt, wie der nachfolgende

Vergleich mit Messungen zeigt, den wesentlichen Teil des

dreidimensionalen Spektrums E (k) im Trägheitsbereich.

Helland, Van Atta und Stegen [8] haben aus Messungen

eindimensionaler Spektren einer Gitterströmung bei

ReÄ = 237 und eindimensionaler Spektren in der Achse

eines Strahls bei Re)‘ = 951 die entsprechenden dreidi-

mensionalen Spektren ermittelt. Im Bild 2 haben wir die

theoretischen Spektren nach (29) und (27) für die ge-

nannten Reynoldsschen Zahlen mit den aus den Messun-

gen erhaltenen verglichen. Es ist gute Übereinstimmung

im wesentlichen Teil des Trägheitsbereiches, insbeson-

dere auch hinsichtlich der Maxima von E (k), festzustel-

len.

21

I'll

mal-1

L’

\

5 4

y. .

3 4

z .

4 . K.N.Helland et at.

o Gitter 321'237

0 4

o Strahlachse 954 \

-4 d —-Thcorie 1-16

-2 . o

O

3 3.QS

'l’ I I Y I V ALF—t

Jr -3 -2 -4 O 4 L9 k

Bid2

Dreidimens'omle Speku'en der Turbulenzenergie bei den Rey-

noldsschen Zahlen Rex: 237 und 951

Für die Lage von Eng) im Wellenzahlenbereich I um

den Betrag von Emfi) folgen aus dem Ähnlichkeitsgesetz

mlt

dE*/dx 0 bei x = 1/6

hmxa. = 0.5367 , Em“: 0,2588.

Das ergibt dann nach (27) die Potenzformeln in Rex

0,537 (2 \/573' )3/2 a3/2 Ref/2 ‚

~

maxi :

(30)

Etna): = 0,259 (2 ¢57§ )-5/2 (1—3/2 Rein ;

und beia = 1,6

lgimaxfi' = 0,654 — 3/2 [g Rex ’

lg Em“ = _ 1,923 + 5/2 lg Rt»(31).

Die erhaltenen Potenzgesetze (31) haben wir im Bild 3

aufgetragen und mit den Messungen von Helland et al.

[8] verglichen.

Anmerkung:

Legt man approximativ den Energietransfer (l8) im

Trägheitsbereich k > ko auch dem Energietransfer im

Zähigkeitsbereich zugrunde, so hat (l) nunmehr das cha-

rakteristische System der gew. D.-Gl.

dt _ dk dE(k)

«5'

m a

D-J

—-—- Theorie

1-1.6

5 lg Rea.

_D-

Maximum des dreidimensionalen Spektrums der Turbulan-

energie und seine Wellenzahl in Abhingidseit von der Rey-

noldsschen Zahl Rex

Integrale sind

(WV—Emk +Ivl>k4’3 =c1;

12 23

t+9§E<L+lMll2 l_(["]Ic1)l kl

cl k2/3 2 c1/2 1+([„]’c1)l/2 k2/3

([v] = a3/2 9/2).

>= c2 (33)

Geht man dann wie oben vor, so erhält man [7] bei Er-

füllung der Forderung, daß für V = 0 wieder das Ähnlich;

keitsgesetz (29) bzw. Formel (24) erscheint, in der Va-

riablen

— 3/2x = 2a Eda/'1: (lokale Reynoldszahl)

die spektrale Verteilung

T52 = (5")“3’2 (1 +x)-3/2 { l—N(\/_l+—x+%ln __—__"“x ‘lV l+x + l

mit N =\/1'0'T3' a3/2 Keil ,

22

l _ (3/2)ar—3/2 k5/2 E(k)l/2 Z _ (5/2)a—3/2k3/2 E(k)3/2+2„k2 ;

(32)

' Heiland et al

}

E”) 2z x

~

k r

Formel (34) enthält das Ähnlichkeitsgesetz (29) des

Spektrums im Trägheitsbereich k > ko und weist das ex-

ponentielle Abklingen (16) in der Asymptote k -> °° auf.

Der im Bild 4 durchgeführte Vergleich mit Messungen

zeigt, da6 nunmehr Übereinstimmung auch in einem an-

schließenden Teil des Zähigkeitsbereiches festzustellen

ist, dal5 aber dann — bedingt durch die Vernachlässigung

des Einflusses der Zähigkeit auf den Energietransfer —

ein Abweichen von der Messung erfolgt.

ä (0<x<1/N2).

k > ko ein, so erhalten wir [9] das Ähnlichde

des eindimensionalen Spektrums im Trigheitabereich

k>koz

Aus 2

1 I- i»

Es i ): f (l—Ü) dki11(k l k‘l k3 k‘

folgt, wenn wir in (29) J; = y setzen, mit

dk, 1 +2 y2

dy (1 —y2>5’2

<37)

. l lH Blld4 - 3/2 3/2

E; Dreidimensionale Spektren der Turbulenzenergie E"11 — f (l—yz) dy+2 f yz (l —y2) dy

bei den\ReY-noldsschen Zahlen Rex = 237 und 951 y 1 yl

\ y1 { } (1-Y2) d 9/2—— —yz— y+2f(1-y2) dy -

5 - (l-Yä)3 Yl Y1 (38)

1,. w Mittels der Integrale

l l

3 . fy‘V 1-y2d" =—(gy+gy3)(1*y2)3’2

2- "‘éfvl—yz d)”

KN. Heiland et al. / 5 5 l

4 H" 1—Y2 dYZ—(EY‘LEY3+§Y5)(1‘Y2)3I2

O Gitter Ref 237 5

0 - ‘ +_._ l- d ,

o suahtachse 954 \ 64 f ’2 y

-4 . ___ . i / 7 7 3 lTheorie a. 4'6 1_y2 dy :_(_l_ääy+%+Ey7)(l_y2)3l2

-2 . o 7

. __ _a + 128 f 1 y2 dy

'3 ' E ergibt elementare Integration

s E _ l . l . l 2 1/2"9 r r r r v LT—'—.’~ *11(YI)'§ (”cm ”arcs'nYI)—YI( "Yfl

- - - - o 4 L k 2‘r 3 2. 4 9 2 3(l_ 2)312__L[_6_3(msin1_msmy)

—§ yl yl (l _y2)3 l6 l

B. Eindimensionales Spektrum 1

Gemessen wird das eindimensionale Spektrum +( 3 +E:_äyl) (1 _yä)ll2

— eo Y1I2

“1 = fEll(kl)dkl' 1

0 +(—-y1+§3_.7_ 5+E 7 1_23/2];

Eindimensionales und dreidimensionales Spektrum sind 8 2 yl 5 yl 5 yl)( yl) } (39)

durch die Relation

k2 dazu tritt

E11(k1>= I°°<1——1> wdk <35) ylkl k2 k

miteinander verbunden.

Für den Trägheitsunterbereich des eindimensionalen

Spektrums erhält man

aus

(5) E(k) „62/3 k-5/3

E11(k1) = a1 62/3k‘1‘5/3 mit a1 = gal. (36)

l. Setzen wir in (35) das Ähnlichkeitsgesetz (29) des

dreidimensionalen Spektrums in Trägheitshereich

l z ——T_— '

<1 — yl >3’2

Die numerische Auswertung ergibt die in der Tabelle l

angegebenen Werte und das im Bild 5 aufgetragene Ähn-

lichkeitsprofil des eindimensionalen Spektrums in Träg-

heitsbereich k > k0.

2. Für E11 (III) haben wir nach (27) die Darstellung

~ —3 2

k1 = k*l(2\/573)3"2 a3/2 ReA ’ ,

23

Tabelle l

1m, Islam ng,1 IsEm 1ch um

—— 2 — 0,116 — 0,284 — 0,572 0,961 — 2,015

— 1,522 — 0,139 — 0,199 — 0,647 0,973 — 2,187

— 1,397 — 0,149 — 0,114 — 0,727 1,106 — 2,393

— 1,299 — 0,160 — 0,025 — 0,822 1,273 — 2,656

— 0,993 —— 0.215 + 0,069 — 0.936 1.494 -— 2,943

-— 0,809 — 0,269 0,171 — 1,050 1,641 — 3,248

— 0,672 -— 0,324 0,284 —— 1,192 1,829 — 3,554

— 0,560 — 0,380 0,414 — 1,366 2,095 -— 3,991

—- 0,461 — 0,441 0,569 — 1,588 2,547 -— 4,733

— 0,371 — 0,503 0,765 — 1,870

19 E4?"

0 “_____-—

_1 .

„ kj’a

-2 .

-3 -

-4 .

-5 -

-6 q

is—T—ibi'zäkl9 km

Bild 5

Ähnlichkeitsprofil des eindimensionalen Spektrums der Turbu-

lenzenergie im Trägheitsbereich k >ko

Eu= 18..ll (Nam-“2:14” Rea/2; (40)

beia = 1,6 '

~ 3

lgkl =lgk,l +0,924—ElgReÄ,

~ 5

IgEu = IgEm —1‚336+51gRex. (41).

Damit erhalten wir;die im Bild 6 dargestellte Staffelung

der Profile E11 (k1) des eindimensionalen Spektrums

nach der Reynoldsschen Zahle Rex.

Charakterisiert wird die Staffelung durch den Grenz-

wert

->0

k1

Aus(39)folgt

' 1 1rlim E (k )=""“"1 = _- (42)

'I' l 'I'l 9 ,

kn”) l 2 4

24

und das ergibt nach

~um E11 (EI) = 0,0362 R5,” (43)

kl 9 O

und

lgNlim 5116:1) = _ 1,414 + ä lg Rex.

k1"0

Im Bild 7 haben wir Grenzwerte (entnommen einem Dia-

gramm in [10]), die Messungen von Gitterströmungen

(homogene isotope Turbulenz) und Messungen in der

Achse eines Strahls, einer Rohrströmung und von Nach-

laufströmungen (angenähert homogen und isotrop) er-

geben, eingetragen. Der Anstieg der Grenzwarte mit

Reg]2 wird offenbar bestätigt.

Bild 8 enthält einen Vergleich gemessener und theoreti-

scher Profile des eindimensionalen Spektrums in der

Achse eines runden Strahls bei der relativ großen Rey-

noldsschen Zahl Rex = 780 [10 b] und einer Gitterströ-

mung bei der relativ kleinen Zahl Rex = 72 [10 a].

(44)

1b" 10" I0" so“ 1o" |0" o" 1

W6

Staffelung der Profile des eindimensionalen Spektrums der

Turbulenzenergie im Trägheitsbereich k >ko

- Strum, Gibson [top]

lg Em E" A Rohr, Luufer[1Qd]

a ~ kr° o Nachlauf, Uberoi u.

Freyrnuth[10,c]

o Gitter; Compile-Bella!

7 e um Corrsin[iO‚a]

—-—-— Theorie otha

6 _

5 _

1, e

3 _

2 _

1 _

O l I I ll

4 3 Z i

lg Re,t

Bild 7 ~ N

Abhängigkeit des Grenzwertes lim E11 ( k1 )

k1 “*0

von der Reynoldsschen Zahl Rex

106

wunder Strahl, Re =780~_% Gibson 110, b]

5

IOoBitter—Turbulent, Rel-72Campre-BeI/ot, Corrsin [an]

l,

IO

Theorie

’03er: 1,6

102

10

1 1

10'“

10'2 v ato" 10’5 to" 10'3 10’ 10’ 1 z '0

1

Bild8

Experimentelle und theoretische Profile des eindimensionalen

Spektrums der Turbulenzenergie in (angenähert) homogener

isotroper Turbulenz

II. Korrelationen der Geschwindigkeitsschwan-

kungen

Die Bestimmung des Tensors zweiter Ordnung der Zwei-

punkt-Korrelationen

Rij (W) = “i (1‘3) U (”N“)

läßt sich auf die Ermittlung der longitudinalen Kompo-

Etc —~————

u: f (r) = ui, (’1?) u}, ("E +16") parallel zu I!)

zurückführen.

Für f(r) erhält man aus den Navier-Stokesschen Glei-

chungen nach v. Kairmän-Howarth die Gleichung

mm) _ 73,2 a 4 1—2- a2 4 aT — (u ) (ä; +;)k(f)+2"u (5'13 +r—fi)f(l'),

indermit

(TN/2km = 14,7%) mew)

U— _ '7- _ —,2- _ ‚—2

(u2 —u12—u2 —u)

eine Komponente des Tensors dritter Ordnung der

Zweipunktkorrelationen

Riga = u{(’e)u‚-’('e)ui(’e+m

auftritt. (Das unterstrichene Glied resultiert dabei aus

den nichtlinearen Trägheitsgliedern der Navier-Stokes-

sehen Gleichungen). Die Bestimmung der Komponenten

dieses Tensors läfit sich hier wieder_auf die Ermittlung

der longitudinalen Komponente (u'2 )3/2 k(r) zuriick-

führen.

Nahe verwandt den Geschwindigkeitskorrelationen sind

die von Kolmogorov eingeführten Strukturfunktionen

des Typs

BMW) = (u'2i — “ii)(u'2k-uik)

und

BMW) Z (u'2i —uii)(u§k—uik)(u'21 —uil)

(die Indizes 1,2 bezeichnen die Punkte; i, k, I die Ge-

schwindigkeitskomponenten). ‘

Es gelten die Beziehungen

b<r> aus — uii >22 2 u'2 <1 —f<r>)

(u; parallel zu 1€) , ‘47).

do) 2 (um—um3 = «Fr/2 k(r)-

Das Analogon zur Gleichung (45) lautet hier

_ 36_l 311(1) :1 i 304W» _Z 1(‚4 310(0)

3 2 at 6 1-4 a r r4 ör ör i

(48) ‚

wo e Dissipation der Turbulenzenergie.

25

A. Die Strukturfunktion b (r)

Es werden sich hier zum Spektrum der Turbulenzenergie

analoge Strukturen ergeben

a) Trägheitsunterbereich

Das mittlere Quadrat der relativen Geschwindigkeit über

der Strecke r bzw. die Struktur b(r) wird bei großer

Reynoldsscher Zahl

Re, = ———Vl;(" (49)

durch die Trägheitskräfte, bei kleinem Rer durch die

Zähigkeitskräfte gesteuert.

Wir können demnach — vgl. IAa —— im Bereich der Korre-

lation mit der Breite ro einen Trägheitsbereich abgrenzen

gegen einen Zähigkeitsbereich, in welchem der Einfluß

der Zähigkeit nicht mehr außer acht gelassen werden

kann. Mit wachsenden Reynoldsschen Zahlen Rer wird

dabei der Zähigkeitsbereich immer mehr eingeengt.o

Multipliziert man Gleichung mit r4 und integriert,

so erhält man nach Kolmogorov [1] unter Berücksichti-

gung von

lim LW) z 0 50

r">0 at ( )

(51)

bei vemachlässigbarem Einfluß der Zähigkeit demnach

d(r)~*§€r + 6V aaflg imBereichrRO;

r

d(r)~—§6r fürrNO. (52).

Bei hinreichend großem Rel.o wird es dann — vgl. IAa —

im Trägheitsbereich einen an den Zähigkeitsbereich an-

grenzenden Trägheitsunterbereich r < ro geben, der als

unabhängig von den äußeren Bedingungen angesehen’

werden kann und in welchem außer den Variablen r und

b (r) nur noch der Parameter E auftritt.

Es folgt nach Kolmogorov [I] dimensionsanalytisch

b(r) z c e2/3 r2/3 (53)

bzw.

b(r) = C e213 r2/3 fin i» 0 (54)

im Trägheitsunterbereich;

C ist eine dimensionslose empirische Konstante, die als

universelle Konstante anzusehen ist.

Setzt man in (52) die aus (53) folgende Beziehung

e r z c-3/2 b(r)3/2 (55)

ein, so ergibt sich für d (r) nach Obuchow-Yaglom [11]

die wichtige Relation

do) w _ 5‘31 (2-3/2 b(r)3l2 (56)

im Trägheitsunterbereich .

b) Universeller Bereich

Im Zähigkeitsbereich tritt — vgl. lAb — neben 6 als wei-

tere determinierende physikalische Einflußgröße die ki-

26

matische Zähigkeit v und damit neben r die weitere de-

terminierende Länge (113/6)“4 auf.

Dimensionsanalytisch erhält man dann bei Fortsetzung

von (53) in den Zähigkeitsbereich und damit für den so-

genannten universellen Bereich r << r0

b(r) = Ce2/3 3/3 ¢(re1/4/v3/4)

mit der bei der Dimensionsanalysis unbestimmt bleiben-

den Funktionen.

Führen wir dimensionslose Größen

’F = r(e/,,3)1/4, i? : b(e 11)“1/2 (57)

ein, so demnach im universellen Bereich

FG) = c?’2/3 g) G). (58)

Entsprechend

EG) (amend/4) = firm-236?” i016).

Für das Frühstadium (große Reynoldsche Zahl Re, )

gilt dabei nach (1 1) °

_ 1 V 1 fl: = _ 3 1/2671;}? bzw. 43(6/12)

1/2 (59)

(a = «573 Rail ä (6") nach (14)).

Transformieren wir Gl. (48) auf die Variablen ”F,

so nimmt diese unter Beachtung von

1/2~~ ”N ~(313(0) : d(€v) b(r)+(ep)1/2db£r)(i£

at |- dt dr t

=_e(2aF(?)+a? dim)r

im universellen Bereich die Form an [l2]

2 w7dii 14~ (1(3) 4dii' dzii’__+a b+__._ :_:d+___ _ z._‚:+7

3 ( 2d?) 6(r a?) (r d: dr2

(60)

Die definitive mathematische FormulierIL von d6) in

Abhängigkeit von den Variablen? und bnäFLsgght noch

aus und stellt — analog dem Energietransfer S (k) - ein

Hauptproblem der Forschung dar.

Eine Aussage ist jedoch — vgl. IA b — fin?» 0 möglich.

Hier ist mit Rer -’ 0 in Gl. (60) die aus den nichtlinearen

Trägheitsgliedem resultierende Korrelation dritter Ord-

nung als vernachlässigbar anzusehen. Es ergibt sich aus

(60) die bekannte Formel

süße

im universellen Bereich.

Rh=ifl15 (61)

c) Trägheitsbereich r < ro

Für d (r) gibt Dimensionsanalysis hier —— vgl. IA e — auch

unabhängig von der Existenz eines Trägheitsunterbe-

reiches

do) = — i; c-3/2 b(r)3/2 E — c, b(r)3/2 ; (62)

).

denn d (r) und b (r) bedingen offenbar einander. Für den

Trägheitsunterbereich mit d(r) N — (4/5) er nach (52)

folgt dann wieder

b0) z Ce2/3 {2/3.

§etzen wir (62) in Gl. (60) ein, so erhalten wir für

b (F) im genannten Bereich die Gleichung

_ä + a ( 11+ d b.___)= 2+fl

2d? Nl'

C, ~

——6—(: b3/ )‚ <63),r

die für?-> 0 das Gesetz von Kolmogorov 1; = C?” er-

gibt.

Führen wir in (63) die Variablen

~ 1

r.=a3/2r<=<§)3’2 e"' 1 b

(u'2 )3/2 3 “:2 )

(64)

(E V)l/2

'72.u

(a =ä nach (14))

ein, so resultiert die vom Parameter a freie Gleichung

2 , r. db" C. 4 ‚3,2 db*3__ + +— —_.. = — — „.— +

3 (b 2 dr,,) 6 (ab dr,

Das besagt aber, daß im Trägheitsbereich r < ro ein Ähn-

lichkeitsgesetz

11* (13,) = F (r*) (66)

existent ist, das für r, —> 0 in das 2/3-Gesetz b* 2 (hi/3

übergeht.

Eine entsprechende Aussage gilt nach (47) dann auch fiir

die longitudinale Korrelationsfunktion f (r) im Trägheits—

bereich r < r0; und zwar haben wir nach (47) und (64)

b* (a) = §a —f<r..>>. (67)

An Hand der im nachfolgenden Abschn. B erfolgten nu-

merischen Ermittlung (Tabelle 2) des Ähnlichkeitsge-

setzes

m...) (a, = <2a>3’2 n.)

im Trägheitsbereich r < ro haben wir den Verlauf von

—3 ~2 -4o _ I A A

I

l9(4-f(r..))'19’lb' (r...)

I2

—— ). (65).

Tabelle 2

raw- f (rat-at) rat-at- f (Ex-46)

0 1 7,5 0,0447

0,0025 0,9815 8,0 0,0401

0,0050 0,9716 8,5 0,0362

0,0075 0,9630 9,0 0,0328

0,010 0,9555 9,5 0,0298

0,025 0,9198 10,0 0,0272

0,050 0,8762

0,075 0,8415

0,10 0,8118

0,25 0,6842

0,50 0,5518

0,75 0,4623

1,0 0,3958

1,5 0,3019

2,0 0,2386

2,5 0,1931

3,0 0,1592

3,5 0,1332

4,0 0,1129

4,5 0,0966

5,0 0,0846

5,5 0,0727

6,0 0,0633

6,5 0,0563

7,0 0,0500

213* (ram) = l _ f0“)

im Bild 9 dargestellt.

Für die universelle Konstante C des 2/3-Gesetzes ergibt

sich des weiteren —— vgl. (75) ~ die bekannte Relation

C = 1,315 a

(a universelle Konstante des — 5/3-Gesetzes der Turbu-

lenzenergie; vgl.

Wir geben noch die Asymmetrie (skewness) der Wahr-

scheinlichkeitsverteilung von u'2 — u'l

3 l

(“'2‘ — “i')s (r) = _1__1_y2_ = :0)?”2 (69)

(u’zi—uioz (r)

an. Wir erhalten nach (47) und (79)

1 l9 r...L

Bild 9

Ähnlichkeitsprofil der Strukturfunktion b(r) im Trägheitsbe—

reich r <1},

27

Tabelle 3

9 fl k* (r**)

„3/2s‚„ =_ ————

( ) 4 (140%))“2(70)

(f (r„) Tabelle 2, k* (r**) Tabelle 3)

Grenzwert = — 0,509 nach (75) und (80).

rat-~1- +0

Der Auftragung (Bild 10) entnimmt man, daß die Asym—

metrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung im weiteren

Verlauf in Übereinstimmung mit Messungen für wachsen-

des rH bzw. r abnimmt und dem Wert Null, der ein

Charakteristikum der Normalverteilung ist, zustrebt.

Bild 10 I ’

Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung von u2— ul

r„ «2/3>a)3/2 Mr“) r“ ((2/3)a)3/2 km...)

0 0 8,5 — 0,0130

0,025 — 0,0030 9,0 — 0,0117

0,05 — 0,0057 9,5 — 0,0106

0,075 — 0,0082 10,0 — 0,0095

0,1 — 0,0104 15 — 0,0038

0,25 —— 0,0216 20 — 0,0017

0,50 — 0,0328 30 — 0,0004

0,75 — 0,0396

1,0 — 0,0436

1,25 —— 0,0457

1,5 — 0,0466

1,75 — 0,0465

2,0 — 0,0459

2,5 —— 0,0435

3,0 — 0,0404

3,5 _ 0,0370

4,0 -— 0,0336

4,5 — 0,0304

5,0 — 0,0274

5.5 — 0,0246

6,0 — 0,0221

6,5 — 0,0198

7,0 «— 0,0178

7,5 — 0,0160

8,0 — 0,0144

13’250.)

0,5

0,"

- 3/:‘ 5 (rRR) 0,3

0,5

0,1.

0.3

QZ

0.1

O 5 10 G.

B. Die longitudinalen Korrelationsfunktionen

f (r) und k (r)

a) Die longitudinale Korrelationsfunktion f(r) der

Ceschwindigkeitskorrelationen zweiter Ordnung

Der Verlauf der Korrelation Ff(r) ist bekanntlich äqui—

valent der spektralen Verteilung E(k) der Turbulenzener-

gie. Es gilt die Relation

Far): 2 f Eli (ELIE—coshmk;k2 :2 kr (71)

in dimensionslosen Größen (7)

28

O 1 lg 1;,

E'2f(?)=2 5(5) (Elf—„liflosindi. (72)

o k2r2 k1-

wo u'2 = (51")"1/2 “:13! nach (27).

Setzen wir hier das Ähnlichkeitsgesetz (29) des Spek-

trums der Turbulenzenergie im Trägheitsbereich k > ko

ein, so erhalten wir [12] mit

JEk, = EM—s/z :___

(1403/2

, r„ =FM3I2 = (2093/2 a3/2?;

0,5

Bild l l

Ähnlichkeitsprofil der longitudinalen

Korrelationsfunktion f(n

im Trägheitsbereich r < ro

13., = E(E)M5/2/a z J; (1—1:)5/2

und

dl:=M3/2l l+2x l

x 2 J; (1—2:)5/2

das Ähnlichkeitsgesetz der longitudinalen Korrelations-

funktion f (r) im Trägheitsbereich r << ro

(73)

3 1

f0") = ’2- :2—

'I-I

— cosh" fi/(l—x)3/2]} dx (74)

in der Älmlichkeitsvariablen r... = (2 «)3/2 e, = (gulf/2

eWl' nach

Fo_rmel (74) besagt, da6 die Breite der Korrelation mit

(u'2 )3/2/e wächst.

Die numerische Auswertung (Tabelle 2) ergibt den im

Bild ll dargestellten Verlauf von f (rfl) über rM

Wie der nachfolgende Vergleich mit Messungen zeigt,

beschreibt das Ähnlichkeitsgesetz den wesentlichen Teil

der Korrelationsfunktion f (r) im Trägheitsbereich.

Zur Ermittlung der universellen Konstante C im 2/3-Ge-

setz benötigen wir nach (67) das Verhalten von l — f(r.„)

bei rH z O. Wir haben nach (74)

3 1 __ 3 '

1"f('**):§ i f (fig—(fl {—Slyfl’ +cosy+äy2} dx

r e

(y = V; /(1~x)3/2 )-

Aus „2* x = y2 (1 _ x)3 ergibt sich, das für den Bereich

fi<fi e>m

x z l anzunehmen ist. Setzen wir x z l und transformie-

ren aufy = r„/(1 — x)3/2, so

1er: z3r2’3 f ___ —sin + o +_ 3 d(H) "Wyn/J y ycsy 3y) y

}(1+2x)(1_x)3 Man/9049”]

- x i [r411- _ x)3/2]

1b r...

R" '(Ü -

"‘ ueälm/e He if}; em

1 -

i CM, Von Acta,

' °° w.y. Chen

— TheOrie

Q5.

0.1.1

024

o o—

mö z I. ('5 a 1b (‚u/n0

Bild 12

Experimentelle und theoretische Profile der Zweifach-Auto-

korrelation Ru (t)

_ 81 2/3 °°siny__, _ fl110**oy2/3

2/3 . _220 l"(]1/3)rM für rH -* 0 ‚dy=

und damit nach (74)

b*<r*> =ä<1—f<r*» F<1/3>ar3’3 20:2” ‚ (75)

also die bekannte RelationE = 27

a 55

Bild 12 enthält einen Vergleich mit der von Van Atta,

Chen [13] in zwei Gittetstrémunggl bei der relativ gro-

ßen Reynoldschen Zahl ReMO = U1 Mo/V = 2,5 ' 104

(Maschenweite Mo) durchgeführten Messung der Zwei-

fach-Autokorrelation

r (1/3) = 1,315.

u5 1' ut T + t

Reim = ‚u

aufgetragen über_U1t/Mo; dabei ist nach der Taylor-

sehen Hypothese U1 t = r.

Es wurgk für den Vergleich durch Anpassung (die Kenn-

werte u'2‚ e der Messung sind in [l3] nicht angegeben)

29

0,375 r" z Ul t/Mo

angenommen. Im wesentlichen Teil der Korrelation be-

steht gute Übereinstimmung; die vor dem Verlöschen der

Korrelation gemessenen negativen Werte bedürfen der

Bestätigung durch weitere Messungen.

b) Die longitudinale Korrelationsfunktion k(r) der Ce-

schwindigkeinkorrelationen dritter Ordnung

Der Ermittlung des Verlaufs der Korrelation (1—172 )3/2

k (r) dient die Relation (Rotta [14])

7 3/2k :_2 °° dS/dk 3 sinkr 3 coskru r _ _( ) ( ) of k3 r2 ( k2 12 kt

(76)

wo S (k) Energietransfer im Spektrum der Turbulenz-

energie.

Dimensionslos

~, ~~ ” N ~ . - N ~ ~

(u 2>3’2k(r)=—2I weiß—3?? —sink?)dk° k3r2 k2?2 k r

mit(77)

(WW2 = (ä ä)” und SHE) =S(k)/e nach (9).

"Im TrägheitsbNereich k > koNdei Syekvtrums haben wir

— vgl. (9) _ S(k) = a—3/2 E(k)3 2 k5l2 und gemäß

dem Ähnlichkeitsgesetz (29) des Spektrums der Turbu-

lenzenergie — siehe Umrechnungsformeln (73) —

d5 (78)

Damit erhalten wir l12] dann das Ähnlichkeitegesetz der

longitudinalen Korrelationsfuidrtion k (r) im Trägheits-

bereich r< ro

Bild l3

Ähnlichkeitsprofil der longitudinalen Korrelationsfunktion k(r)

im Trigheitsbereich r <<r°

-(2/3d)”2 k (r...)

l

nos '

not. <

Q03 <

o‚oz

QOI'

— sin kr) dk

" o 7.7 5,06

U1. 15,7 '"ls .- "o 2.51. U"

Rim (9)

a. Van

(105* NY. Chen

—— a - 1.6 Theorie

001.-

qoz- \

o-

'QOZ

-mI’. /. o

°o a3°°°°

‘006 HM de 1‚'2 (a 2'0 2). 2'8 32 Urn/E,

Rim“)

Bid l4

Expu-imentelle und theoretische Profile der Dreifach-Autokor-

relational: Rm“) und Rm (t)

_x 9/2

m...) <E<§a)3/2 km.» = — _:_ }%—

' — 3/21 [ 13 sm[r"\/;/(l x) _3cos _ . d

l [r“\/;/(1_x)3/2]2 l l sml l} x

(79)

Die berechnete Funktion k' (r...) (Tabelle 3) ist im

Bild 13 über der Ähnlichkeitsvariablen rH aufgetragen.

Für den Vergleich mit dem Experiment beziehen wir uns

wieder auf die Messung von Van Atta, Chen [l3].

Bild 14 enthält die Dreifach-Autokorrelationen

u? (r) u; (r + 0

(WW2Rim“) =

und

30

um) u? (r + t) _Ri,ii(t) : 3/2 - _ R'ii,i(t) '

Es wurde dabei — wie oben —

0,375 n... = Ült/Mo

angenommen.

Angesichts der Abweichungen der beiden gemessenen

Autokorrelationen voneinander kann man sagen, daß die

Theorie die wesentlichen Züge der Dreifachkorrelation

widergibt.

Für rH ’«V 0 ergibt Formel (79)

2k* (r...) e —T5 r...- (80)

LITERATUR

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Anschrift des Verfassers:

Prof. Dr. W. Szablewski

Akademie der Wissenschaften der DDR

Institut für Mechanik

1199 Berlin

Rudower Chaussee 5

31