Zusammenfassung Lineare Algebra (Silvio Bischof)

Lineare Algebra: Zusammenfassung Silvio Bischof

1 Rechnen mit Matrizen......................................................................................................................................................................2

1.1 Rechenregeln...............................................................................................................................................................................2 1.2 Rechnen mit Matrizen..................................................................................................................................................................2

1.2.1 Addition / Subtraktion......................................................................................................................................................2 1.2.2 Multiplikation..................................................................................................................................................................2 1.2.3 Transponierte...................................................................................................................................................................2 1.2.4 Inverse einer Matrix.........................................................................................................................................................2 1.2.5 Orthogonale Matrix..........................................................................................................................................................2 1.2.6 LR-Zerlegung...................................................................................................................................................................3

2 Determinanten..................................................................................................................................................................................3

2.1 Berechnung von Determinanten...................................................................................................................................................3 2.2 Rechenregeln...............................................................................................................................................................................4 2.3 Folgerungen.................................................................................................................................................................................4

3 Vektorräume.....................................................................................................................................................................................4

3.1 Unterräume..................................................................................................................................................................................4 3.1.1 Spezielle Vektorräume......................................................................................................................................................5

3.2 Normierte Vektorräume...............................................................................................................................................................5 3.3 Das Skalarprodukt.......................................................................................................................................................................5

3.3.1 Das Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren.............................................................................................................5

4 Ausgleichsrechnung..........................................................................................................................................................................6

4.1 Normalengleichung.....................................................................................................................................................................6 4.2 QR-Zerlegung..............................................................................................................................................................................6

5 Lineare Abbildungen........................................................................................................................................................................6

5.1 Koordinatentransformation..........................................................................................................................................................7 5.2 Orthogonale, Längen- und Flächentreue Abbildungen.................................................................................................................7 5.3 Norm einer Matrix.......................................................................................................................................................................7 5.4 Abbildungsgleichungen...............................................................................................................................................................8

5.4.1 Abbildungsgleichungen in der Ebene...............................................................................................................................8 5.4.1.1 Spezielle Affinitäten................................................................................................................................................8 5.4.1.2 Spezielle Ähnlichkeitsabbildungen.........................................................................................................................8 5.4.1.3 Spezielle Kongruenzabbildungen............................................................................................................................8

5.4.2 Abbildungsgleichungen im Raum....................................................................................................................................8

6 Das Eigenwertproblem.....................................................................................................................................................................9

6.1 Das Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen.........................................................................................................................9 6.2 Die Kondition einer Matrix..........................................................................................................................................................9

7 Lineare Differentialgleichungssysteme.........................................................................................................................................10

7.1 Systeme erster Ordnung.............................................................................................................................................................10 7.2 Systeme zweiter Ordnung..........................................................................................................................................................10

8 Singulärwertzerlegung...................................................................................................................................................................10

9 Matlab-Befehle...............................................................................................................................................................................10

10 Sachverzeichnis.............................................................................................................................................................................11

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1 Rechnen mit Matrizen

1.1 Rechenregeln

AB = BA ABC = ABC ABC = ABC ABC = ACBC

1.2 Rechnen mit Matrizen

1.2.1 Addition / Subtraktion

Jeder Koeffizient der beiden Matrizen werden addiert / subtrahiert. Die Matrizen müssen dieselbe Form haben.

Bsp. 3 1 02 �2 11 2 0

0 1 1=4 3 02 �1 2

1.2.2 Multiplikation

Multipliziert man eine Matrix mit einer Variablen , dann wird jeder Koeffizient der Matrix mit multipliziert. Eine k×n -Matrix multipliziert mit einer n×m -Matrix ergibt eine k×m -Matrix (Bem. die linke Matrix muss gleich viele Spalten haben wie die rechte Zeilen). Es werden alle Zeilen der Rechtsmatrix mit den Spalten der Linksmatrix multipliziert.

Bsp. 3 1 02 �2 1⋅1 1 0 0

1 2 2 12 �1 �1 2=2 5 2 1

2 �3 �5 0 2×3⋅3×4=2×4

1.2.3 Transponierte

1 2 34 5 67 8 9

T

=1 4 72 5 83 6 9

AT

T= A AB

T= AT

BTAB

T= BT AT

AT

= AT

Def. Eine Matrix heisst symmetrisch, wenn AT=A

1.2.4 Inverse einer Matrix

Sie wird mithilfe der Adjunkte und der Determinanten gebildet:

A=a bc d , adjA=[ d �c

�b a ]T

=d �b�c a

A�1=

1det A

adjA = 1ad�bcd �b

�c a für 2×2MatrizenOder mit Gauss: A∣I nbis I n∣A

�1

Bem. Die Inverse wird für n2 meistens nicht mehr gebildet, da der Aufwand zu gross ist. Falls die Matrix symmetrisch ist, gilt T�1=TT , andernfalls wird oftmals substituiert z=T�1 y .

Reglen:

• A�1 A= I n

• A�1 ist invertierbar und A�1�1=A

• I n ist Invertierbar und I n�1= I n

• AB ist invertierbar und AB�1=B�1 A�1

• AT ist invertierbar und AT�1=A�1

T

Bem. Ist eine m×n -Matrix invertierbar, ist das Gleichungssystem Ax=b für jedes b lösbar und das Gleichungssystem Ax=0 hat nur die triviale Lösung x=0 .

1.2.5 Orthogonale Matrix

• AT A=A AT= I n

• Skalarprodukt zweier Spalten =0• AT=A�1=orthogonal ⇒ x=AT b für Gleichungssysteme• AB ist orthogonal, wenn A, B orthogonal sind• A quadratisch, invertierbar, regulär• ∣detA∣= i=1 : Längentreue• Ax, Ay=x , y : Winkeltreue

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1.2.6 LR-Zerlegung

Beispiel zum lösen eines Gleichungssystem mit Hilfe von LR-Zerlegung:

2x1 � x2 � 3x3 = 46x1 x2 � 10x3 = �1

�2x1 � 7x2 8x3 = 25

Gauss:

3�1

2 �1 �36 1 �10

�2 7 8 �2

2 �1 �30 4 �10 �8 5

2 �1 �30 4 �10 0 3

Anstelle der Nullen speichern wir die Quotienten I kl und erhalten R und L:

2 �1 �3

3 4 �1�1 �2 3 R=

2 �1 �30 4 �10 0 3, L=

1 0 03 1 0

�1 �2 1Es gilt

LR=A=2 �1 �36 1 �10�2 �7 8

Bem. Falls das Endschema mit Zeilen vertauschen resultierte, muss man eine weitere, sogenannte Permutationsmatrix einbauen. Die Permutationsmatrix entsteht wenn man wie beim Ausgangsschema auch bei der Einheitsmatrix I n die Zeilen vertauscht. Die Beziehung zwischen den Matrizen wird:

LR=PA

Das Gleichungssystem wird schliesslich folgendermassen gelöst:

Ax=bPAx=Pb LRx=PbLc=Pb

(a) LR-Zerlegung von A: Bestimme mit dem Gaussverfahren Matrizen L , R und P , so dass LR=PA .

(b) Vorwärtseinsetzen: Löse Lc=Pb nach c auf.

(c) Rückwärtseinsetzen: Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems Rx=c

Beispiel:

Lc=bc1 = 4

3c1 c2 = �1

�c1 � 2c2 c3 = 25

c1 = 4c2 = �13

c3 = 3

Rx=c2x1 � x2 � 3x3 = 4

4x2 � x3 = �13

3x3 = 3 x=

2�3

1Bem. Dieses Verfahren sollte man bei verschiedenen rechten Seiten anwenden.

2 Determinanten

2.1 Berechnung von Determinanten

Mittels Rekursion:

∣a d gb e hc f i

∣ = a⋅∣e hf i ∣�b⋅∣d g

f i ∣c⋅∣d ge h∣ = aei� fg �bdi� fg cdh�eg

Satz von Sarrus: Hauptdiagonalen multipliziert und addiert, Nebendiagonalen multipliziert und subtrahiert:

∣a d gb e hc f i

∣a db ec f

= aeidhcgbf�ceg� fha�ibd

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2.2 Rechenregeln

det(α⋅A) = αm⋅det(A) , m: Anzahl Zeilen (pro Zeile⋅α )

det(AB) = det(A)⋅det(B) = det(BA) für beliebige m times n-Matrizen

det(AT) = det(A) für quadratische Matrizendet(A) = (�1)Anzahl Zeilenvertauschungendet(R) für n×nMatrizen

det A�1 = (det A)�1 falls n×n -Matrix invertierbardet A = ±1 falls Aorthogonal

• Hat die Matrix eine Nullstelle oder sind zwei Zeilen identisch gilt detA=0 .• Vertauscht man 2 Zeilen einer Matrix, so ändert die Determinante ihr Vorzeichen (dasselbe gilt für Spalten bei quadr.

Matrizen).• Im Gauss-Verfahren ändert sich die Determinante nur durch das Vorzeichen beim Zeilenvertauschen, d.h. Es kann zu einer

Zeile ein beliebiges Veilfaches einer anderen Zeile addiert werden.

2.3 Folgerungen

Für jede n×n -Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Die Matrix A ist invertierbar, regulär(b) detA≠0(c) Im Gauss-Endschema ist r=n

Aussagen über Lösungsmengen:

(a) detA=0• das homogene Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.• das inhomogene Gleichungssystem hat keine oder unendlich viele Lösungen.

(b) detA≠0• das homogene Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung x=0 .• das inhomogene Gleichungssystem hat eine genau eine eindeutige Lösung.

Sei A eine m×m -Matrix, B eine m×n -Matrix, C eine n×n -Matrix und sei M die durch

M=A B0 C gegebene mn×mn -Matrix, dann gilt: detM =detAdetB . (Merke: detM =detM T )

3 Vektorräume

Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums.

3.1 Unterräume

Def. Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V heisst Unterraum von V , falls folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

(a) Mit a ,b∈U ist auch ab∈U

(b) Mit a∈U , a eine Zahl, ist auch a∈U

(c) U 1∩U 2 , U 1U 2 sind Unterr-äume von V

Seien U und W Unterräume von V , dann gilt: dimUW =dimU dimW �dimU∩W

Bsp. U={ x , y�x , y ,2x�yT∈ℝ4∣ x , y∈ℝ} . Zeige, dass U ein Unterraum ist

a=a1

a3�a1

a3

2a1�a3 ,b=

b1

b3�b1

b3

2b1�b3 ⋅a=

a1

a3�a1a3

2a1�a3 mit {x=a1

y=a3

✓ ab=a1b1

a3b3�a1b1a3b3

2a1b1�a3b3 mit {x=a1b1

y=a3b3

✓

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3.1.1 Spezielle Vektorräume

Sei A eine m×n -Matrix. Man betrachte das lineare Gleichungssystem Ax=b , r beschreibt den Rang. Es gilt für A wenn

• rn : linear abhängig• nr : nicht erzeugend• r=n : linear unabhängig• r=m : erzeugend• r=m=n : Basis ( n=dimA )

Falls m=n ist muss folgende Fallunterscheidung gemacht werden:

• detA≠0 : Basis• detA=0 : linear abhängig, nicht erzeugend

Bsp.

(1) [3 �4 �12 2 11 4 �1] ⇒ ⇒ [

1 4 �10 �6 30 0 �6] m=r

n=r Erzeugend, Basis

(2) [1 1 3 0 2 12 4 2 �2 �4 11 3 �1 2 2 1] ⇒ ⇒[

1 1 3 0 2 10 2 �4 �2 �8 �10 0 0 4 8 1] mögliche Basis: [

1 1 02 4 �21 3 2]

3.2 Normierte Vektorräume

Normen in ℝ3 :

• euklidischer Norm: ∣∣x∣∣2≔x12x2

2x32=x , x

• Maximumnorm : ∣∣x∣∣∞≔max∣x1∣,∣x2∣,∣x3∣

• L p -Normen: ∣∣x∣∣p≔p∣x1∣

p∣x2∣

p∣x3∣

p

3.3 Das Skalarprodukt

Skalarprodukt: x , y≔xT y , x , y∈ℝ , x , y≔xTy, x , y∈ℂ

Winkel zwischen zwei Vektoren: cos=a , b∣∣a∣∣∣∣b∣∣

Für ein Skalarprodukt im Vektorraum V muss gelten:

(S1) Das Skalarprodukt ist linear im zweiten Faktor, d.h. es gilt

i x , y1y2=x , y1 x , y2 für alle x , y1 , y2

∈V ;ii x , y= x , y für alle x , y∈V ,∈ℝ

(S2) Das Skalarprodukt ist symmetrisch, d.h. es giltx , y= y ,x für alle x , y∈V

(S3) Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h. es gilti x , x≥0 für alle x∈V

ii x , x=0 ⇒ x=0

Skalarprodukt in C [a ,b] : ∫a

b

f t g t dt

Def. Eine Basis aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren heisst orthonormale Basis.

3.3.1 Das Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren

Gegeben seien drei Vektoren a1 ,a2 und a3

1. Schritt: e1=1

∣∣a1∣∣a1

2. Schritt: c2≔a2�a2 , e1e1

e2=1

∣∣c2∣∣c2

3. Schritt: c3≔a3�a3 ,e1

e1�a3 ,e2e2

e3=1

∣∣c3∣∣c3

Die Vektoren e1 ,e2 ,e3 bilden eine orthonormale Eigenbasis.

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n

m[ A ]⋅[ x]=[b]


4 Ausgleichsrechnung

4.1 Normalengleichung

Ax�c= r , r minimal AT Ax=AT c

Bsp. x ,y , z seien verschiedene Distanzen, folgende Messwerte sind vorhanden:

x � 280 = r 1

x y � 390 = r 2

x z � 400 = r 3

y z � 210 = r 4

z � 118 = r 5

1 0 01 1 01 0 10 1 1

=A

xyz

= x

�280390400210118

=c

=r

Löse AT Ax=AT c : AT A=3 1 11 2 11 1 3, AT c=

1070600728 x=

xyz=

285.16100.33114.17

Merke: Vektor c muss gleich viele Zeilen wie Matrix A Spalten haben.

4.2 QR-Zerlegung

QT Ax�QT c=QT r≕ s , Q: orthogonalem×m-Matrix , sminimal

A=QR mit R= R0

0 , A:m×n-Matrix mit m≥n , R0:n×n-Rechtsdreiecksmatrix mitm�n×n -Nullmatrix

Rx�d=s transformierte Fehlergleichung mit R=QT A, d=QT c

Nun wird dieses Gleichungssystem R0 x=d 0 gelöst, wobei man die Zeilen n1 abschneiden kann.

Bsp. Löse folgendes Ausgleichsproblem:

4x y � 9 = r 1

7x y � 12 = r 2

4x 4y � 15 = r 3

mit gegebenemQ=19

4 �1 87 �4 �44 8 1

A=4 17 14 4, c=

91215

19 4 7 4

�1 �4 88 �4 �1

4 17 14 4x

y

R

�19 4 7 4

�1 �4 88 �4 �1

91215

d

=

19

81 270 270 0x

y�19180

639 =

s1

s2

s3 9 3

0 3xy=20

7 {x=139

y=73

5 Lineare Abbildungen

Def. Bei einer linearen Abbildung vom Vektorraum V muss gelten:

i F xy=F xF y Für allex , y∈Vii F x= F x Für alle Zahlenund allex∈V

Def. Sei F : x∈V n↦ y=Ax∈Vm eine lineare Abbildung:

Kern A≔{x∈V n∣Ax=0} Lösungsmenge des homogenen GleichungssystemsAx=0

Bild A≔{y∈Vm∣Es gibt ein x∈V

n, so dassy=Ax} Lösungsmenge des GleichungssystemsAx=y

Es gilt:

dimKern A=n�r , dim Bild A=dimBild AT=dimBild R=rdimKern AdimBild A=n�r r=n=dim Vn

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Bsp. Gegeben sei Matrix A . Besimme Basen für KernA und Bild A

A=2 1 1 0

�4 0 1 �32 1 1 0

Gauss 2 1 1 00 2 3 �30 0 0 0 setzex4= , x3= L={

�3/43/201

1/4�3/2

10∣ , ∈ ℝ}

⇒ KernA=span{�3

604,

1�6

40}, dimKern A=2 ⇒ dimBild A=n�dimKern A=2

für Bild 2 linear unabhängige Spaltenvektoren:z.B. Bild A=span{ 2�4

2,101}

5.1 Koordinatentransformation

x=Ty , T: Matrix für die gilt t i=Te i , t i: neue Basis,y : neuer Koordinatenvektor

x∈V nF

x '∈Vn

T Ty∈Wn

G

y '∈Wn

F °T=T °G⇒G=T�1°F °T

G : y∈Wn↦ y 'T�1 ATy∈Wn

*s. 6 Das Eigenwertproblem

Bsp. Betrachten Sie die folgende lineare Abbildung F von ℝ2 in sich.

x=(x1

x2) ↦

F

x '=(x1+x2

x2�x1) a) Interpretieren Sie diese Abbildung geometrischb) Durch welche Matrix A wird F beschrieben?

Lösung: Es handelt sich um eine Drehsteckung:

a) ∣∣x∣∣' 2= x1x22x2�x1

2=2 x12x2

2=2∣∣x∣∣2 Streckung um Faktor2

cos= x ' , x∣∣x∣∣'∣∣x∣∣

=∣∣x∣∣'�2=2∣∣x∣∣2 x1

2x2

2

2∣∣x∣∣22 =

12

Drehung um

4(um den Ursprung im Uhrzeigersinn)

b) F e1=F 10= 1

�1≕a1

F e2=F 01=11≕ a2 } A=a1 , a2= 1 1

�1 1

5.2 Orthogonale, Längen- und Flächentreue Abbildungen

Orthogonale Abbildung: Winkel bleiben erhalten: x' , y' =Ax,Ay= x, yLängentreue Abbildung: Längen bleiben erhalten: ∣∣x∣∣'=∣∣Ax∣∣=∣∣x∣∣Flächentreue Abbildung: Fläche bleibt erhalten: ∣detA∣=1

5.3 Norm einer Matrix

Der Norm einer Matrix soll angeben, um welchen Faktor sich die Norm eines Vektors x maximal verändert.

∣∣A∣∣*≔ supx∈V

n, x≠0{

∣∣Ax∣∣*∣∣x∣∣* }=sup

∣∣x∣∣¿=1{∣∣Ax∣∣*}

• Für eine quadratische Matrix A gilt: ∣∣A∣∣2=maximaler Eigenwert vonAT A• Für eine orthogonale Matrix Q gilt: ∣∣Q∣∣2=1

• Für eine symmetrische Matrix gilt: ∣∣A∣∣2=maxi∣ i∣

Bsp. Maximumnorm

∣∣A∣∣∞=max{∑

j=1

n

∣a ij∣}, A=�1 0 21 �3 �10 3 1

3 5 4}∣∣A∣∣

∞=5

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5.4 Abbildungsgleichungen

5.4.1 Abbildungsgleichungen in der Ebene

x↦ x '=A x+v bzw. ( xy)↦( x '

y ')=(a1 b1

a2 b2)(xy)+(v1

v2)A=(cosφ �sinφ

sinφ cosφ) positiv-orientierte Rotation um den Winkel φ um den Ursprung

A=(cosφ sinφsinφ �cosφ) negativ-orientierte Rotation um den Winkel φ um den Ursprung

5.4.1.1 Spezielle Affinitäten

(x 'y ')=(1 b1

0 b2) Affinität mit x-Achse als Fixpunktgerade

(x 'y ')=(1 0

0 b2) Affinität senkrecht zur x-Achse

(x 'y ')=(1 b1

0 1 ) Affinität parallel zur x-Achse (Scherung)

5.4.1.2 Spezielle Ähnlichkeitsabbildungen

(x 'y ')=(k 0

0 k)(xy) Streckung mit Zentrum (0 ,0) und Faktor k

(x 'y ')=(k 0

0 k)(xy)+(1�k)(z1

z2) Streckung mit Zentrum ( z1 , z2) und Faktor k

5.4.1.3 Spezielle Kongruenzabbildungen

(x 'y ')=(xy)+(v1

v2) Translation um den Vektor (v1

v2)(x '

y ')=(cos 2φ sin 2φsin 2φ cos2φ)(xy) Spiegelung an der Geraden y=x⋅tanφ

(x 'y ')=(cosφ �sinθ

sinφ cosφ )(xy) Rotation um (0 ,0) um Winkel φ

5.4.2 Abbildungsgleichungen im Raum

(x 'y 'z ' )=(

1 0 00 cosφ �sinφ0 sinφ cosφ)(

xyz) Rotation um e1 (x-Achse) um den Winkel φ

(x 'y 'z ' )=(

cosφ 0 sinφ0 1 0

�sinφ 0 cosφ)(xyz) Rotation um e2 (y-Achse) um den Winkel φ

(x 'y 'z ' )=(

cosφ �sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1)(xyz) Rotation um e3 (z-Achse) um den Winkel φ

(x 'y 'z ')=(

0 0 00 1 00 0 1)(

xyz) Normalprojektion auf die yz�Ebene

(x 'y 'z ')=(

1 0 00 0 00 0 1)(

xyz) Normalprojektion auf die xz�Ebene

(x 'y 'z ')=(

1 0 00 1 00 0 0)(

xyz) Normalprojektion auf die xy�Ebene

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Drehung um den Ursprung


6 Das Eigenwertproblem

Def.• Eine Zahl ∈ℂ heisst Eigenwert der Matrix A , falls es einen Vektor x∈ℂ

n gibt, x≠0 , so dass Ax= x gilt.• Jeder Vektor x∈ℂn , x≠0 , für den Ax= x gilt, heisst Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert .

detA� I n =PA =0 Berechnung von mit charakteristischem PolynomA� I n x=0 Berechnung des Eigenvektors x

Merke: Ax= x , An x=nx

Def.

• Ist λ k -facher Eigenwert von A , bezeichnet k die algebraische Vielfachheit von λ .• Die Eigenvektoren spannen einen Eigenraum (Eλ )von A zum Eigenwert λ auf. Die Dimension dieses Unterraumes Eλ

nennt man geometrische Vielfachheit von λ .• Ist die Summe der geometrischen Vielfachheiten einer n×n -Matrix gleich n , wird durch die Eigenvektoren eine

Eigenbasis aufgespannt.

Äquivalente Aussagen zu jeder quadratischen Matrix A :

• Die Matrix A ist halbeinfach (für jeden Eigenwert ist die geom. gleich der algebraischen Vielfachheit).• Die Matrix A besitzt eine Eigenbasis• Die Matrix A ist diagonalisierbar (Es gibt eine reguläre Matrix T (Eigenvektoren), so dass T�1 AT=diag 1 , ,n ).

Bsp.

A=2 1 11 2 11 1 2, 1 ,2=1 ,3=4 E1={��

∣ ,∈ℝ} = span{

�101 ,

�110 } Alg. =geom. Vielfachheit=2

=4: A�4I3 x=�2 1 11 �2 11 1 �2x=

000

GaussE4={111∣∈ℝ} = span{111} Alg. =geom. Vielfachheit=1

T=�1 �1 10 1 11 0 1 ist eine Eigenbasis zuAfür die gilt T�1 AT=D=

1 0 00 1 00 0 4

Aufgabenstellung: Berechnung von y=Ak x

(1) Löse das Eigenwertproblem von AT , D ( T orthonormale Basis ≠ T aus dem Beispiel)(2) Löse das lineare Gleichungssystem Tz=x nach z auf(3) Berechne Dk und setze ≔ Dk z(4) Berechne y=T

Für Eigenvektoren mit komplexen Eigenwerten ∈ℂ gilt v1= x⇒v2= x

6.1 Das Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen

A Sei eine reelle, symmetrische Matrix, dann gilt:• Alle Eigenwerte sind reell.• Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.• A Ist halbeinfach (alg. Vielfachheit = geom. Vielfachheit).• Es gibt eine orthonormale Basis zu A (s. 3.3.1 Das Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren).• A ist diagonalisierbar: D=T�1 AT .

Bem. Für symmetrische Matrizen gilt T�1=TT

A=TDT�1 , An=T DnT�1 , D=diag i , T=v1vn , v: Eigenvektoren

6.2 Die Kondition einer Matrix

Die Kondition beschreibt die max. Fehlerverstärkung bei nummerischen Berechnungen.

A=∣∣A∣∣∣∣A�1∣∣=max

min

, :Eigenwerte vonAAT

A=∣max∣min

für Asymmetrisch

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7 Lineare Differentialgleichungssysteme

7.1 Systeme erster Ordnung

xt =Axt , x0=x0 A : reelle, halbeinfachen×n -Matrix (Koeffizientenmatrix), x0:Anfangsbedingung

xt =Txt =c1e1t u1cn en t un allgemeine Lösung der DGL mit EigenbasisT

Tc=x0 Lösung mit Anfangsbedingung

Bsp. 2-Dimensionales AWPy1t =3y1t 4y2 t , y10=6y2 t=3y1t 2y2 t , y20=1

A=3 43 2 mit 1=6 ,2=1, u1

=43, u2=1

1 T=4 13 1

y t =c1e6t43c2e�t11, allgemeine Lösung des Systems

Tc=y10y20=

61

c1=1c2=2

y1 t =4e6t2e�t

y2 t =3e6t2e�t

7.2 Systeme zweiter Ordnung

y t =Ay t , y0=y0 , y t =Txt xt =T�1 ATxt =Dx t

xt =a1cos1t b1sin2t

⋮ancosnt bnsinnt mit i= i y t =Tx t , T : Eigenbasis

y0=Tx0=T a1

⋮an , y0=T x0=T

1b1

⋮nbn

Bsp. 2-Dimensionales AWP

y1t =6y1t 4y2 t , y10=3 , y10=0y2t =2y1t 4y2t , y20=0 , y2 0=0

A=6 42 4 mit 1=2 ,2=8 , u1

=11,u2=2

1 T=1 21 1

y t=Tx t=a1cos2t b1sin2t 2a2cos8t 2b2sin8t a1cos2 t b1sin2t a2cos8t b1sin8t , allgemeine Lösung des Systems

Ta= y10y20=

30 a1=1

a2=1, Tb= y10

y20=00 b1=0

b2=0 yt =cos2 t2cos8t

cos2 t cos8t 8 Singulärwertzerlegung

Sei A eine m×n -Matrix mit Rang r und A=USVT .

S={S0 , wenn m≥n

S∣0 , wenn n≥m

1) s1=∣∣A∣∣2 , s1≥s2≥≥sr0 ,

2) si sind die Eigenwerte vonAT A,wennm≥nbzw. vonAAT ,wennm≥n ist

9 Matlab-Befehle

Befehl Matlab Befehl Matlab

Matrix A[1 2; 3 4] Dimension ndims(A)Einheitsmatrix eye(A) Kern null(A)Inverse B=A^(-1), inv(A) Rang rank(A)Transponierte A' Modulo mod(3,2)LR-Zerlegung [L,R,P]=lu(A) Rest Rem(3,2)Gleichungss. lösen (Ax=b ) x=A\b Norm (eukl.) norm(a)Determinante det(A) Kondition cond(A)QR-Zerlegung [Q,R]=qr(A) Spur trace(A)Orthonormiere Basis orth(A) Exponentialf. exp(x)Diagonalenmatrix diag(A) 2-er-Potenz pow2(x)Eigenwerte [T,D]=eig(A) Logarithmus log(x), log2(x)Skalarprodukt a'*b, dot(a,b) Trigonometrie sin(x), cos(x)Vektorprodukt cross(a,b) asin(x), acos(x)Singulärwertzerlegung [U,S,V]=svd(A) 1. x Spalte und erste y Zeile R0=R[1:y,1:x]Singulärwerte diag(S) Wurzel sqrt(x)

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10 Sachverzeichnis

Begriff Definition Thema

Ähnliche Matrizen Matrizen A,B sind ähnlich wenn gilt A=T�1 BT⇔ A , B haben dieselben Eigenwerte.MatrizenAlgebraische Vielfachheit

Ist k -facher Eigenwert von A , bezeichnet k die algebraische Vielfachheit von . Eigenwertsproblem

Basis Falls die Vektoren eines Erzeugendensystems linear unabhängig sind, nennt man das Erzeugendensystem eine Basis.

Vektorräume

Bild Die Menge aller Bildvektoren y∈Vm heisst Bild einer Matrix ABild A≔{y∈V m∣Es gibt ein x∈V n,so dassy=Ax} , dies entspricht der Lösungsmenge

eines inhomogenen Gleichungssystems (y∈Bild A ).det≠0⇒dim Bild =0 , det=0⇒dimBild n

Das Bild ist immer der Vektorraum aufgespannt durch die einzelnen Spaltenvektoren der Matrix (Anzahl Spaltenvektoren ≥dimBild A ).

Lineare Abbildungen

Charakteristisches Polynom

Das Polynom detA� I n heisst charakteristisches Polynom der Matrix A.Es wird mit PA bezeichnet.

Eigenwerte

Diagonalisierbarkeit Es existiert eine reguläre Matrix T , so dass TAT�1 eine Diagonalmatrix ist. Die Matrix muss halbeinfach (algebraische = geometrische Vielfachheit) sein.

Matrizen

Diagonalmatrix Alle Koeffizienten, die nicht auf der Diagonalen liegen, sind gleich null:

D=[5 0 00 9 00 0 4]=diag5 ,9 , 4

Matrizen

Dimension eines Vektorraumes

Besitzt der Vektorraum V≠{0} eine Basis b1 ,b2 ,, bn , so schreibt man n=dimV Vektorräume

Eigenbasis Ist die Summe der geometrischen Vielfachheiten einer n×n -Matrix gleich n , wird durch die Eigenvektoren eine Eigenbasis aufgespannt (u1un ).

Eigenvektoren

Eigenvektor Ein Eigenvektor ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenvertsproblem

Einheitsmatrix Alle diagonalen Koeffizienten sind 1, alle anderen 0:

I 3=[1 0 00 1 00 0 1]

Matrizen

Erzeugendensystem Kann jeder Vektor b eines Vektorraumes V als Linearkombination der Vektoren a1 , a2 ,…, ak von V dargestellt werden, so nennt man diese Vektoren a1 , a2 ,…, ak ein

Erzeugendensystem des Vektorraumes V .

Vektorräume

Geometrische Vielfachheit

Die Eigenvektoren spannen einen Eigenraum (E )von einer Matrix A zum Eigenwert auf. Die Dimension dieses Unterraumes E nennt man geometrische Vielfachheit von .

Eigenwertsproblem

Givens-Rotation Eine Drehung um einen bestimmten Winkel :

Rx=1 0 00 cos �sin0 sin cos Ry=

cos 0 sin0 1 0

�sin 0 cos Rz=cos sin 0�sin cos 0

0 0 1Lineare Abbildungen

Halbeinfach Eine Matrix ist halbeinfach, wenn ihre algebraische Vielfachheit der geometrischen entspricht.

Matrizen

Homogen Ein lineares Gleichungssystem heisst homogen, falls alle rechten Seiten gleich null sind (besitzt immer die triviale Lösung x1==xn=0 . Es gilt:

• Ein hom. Gl. System hat genau dann nichttriviale Lösungen, wenn rn bzw. det⋅=0 ist.

Lineare Gleichungssysteme

HouseholdermatrixQ≔ I n�2uuT , mit uT u=∑

i=1

n

ui2=1 . Die Householder-Matrix ist orthogonal.

Matrizen

Inverse Eine n×n -Matrix X, bei der AX= I n gilt. Falls eine Matrix eine Inverse hat, dann heisst die Matrix invertierbar oder regulär, anderfalls singulär.

Matrizen

Kern Die Menge aller Vektoren, welche auf null abgebildet werden, heisst Kern der Matrix A: Kern A≔{x∈V n∣Ax=0} , dies entspricht der Lösungsmenge eines homogenen

Gleichungssystems (y∈KernA )det≠0⇒dimKern=0 , det=0⇒dimKern0

Lineare Abbildungen

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Linksdreiecksmatrix Alle Koeffizienten rechts oben sind gleich null: L ij=0 für i j . Bsp.

L=[2 0 04 1 01 4 7]

Matrizen

Nullmatrix Jedes Element einer Matrix ist Null Matrizen

Orthogonale Matrix Eine n×n -Matrix A heisst orthogonal, falls AT A= I n gilt (Norm der Spaltenvekoren ist =1 und das Skalarprodukt =0 ). Wenn A und B orthogonale Matrizen sind, gilt folgendes:

• A ist invertierbar und A�1=AT

• A�1 ist orthogonal• AB ist orthogonal• I n ist orthogonal

Bem. Gleichungssysteme mit orthogonalen Matrizen lassen sich leicht berechnen:x=AT b

Matrizen

Orthonormale Basis Eine Basis aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren (Länge 1). Diese lassen sich mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren (3.3.1) finden.

Skalarprodukt

Permutationsmatrix Einheitsmatrix, bei der die Zeilen beim Gauss Verfahren vertauscht wurden. Bei der LR-Zerlegung (s. 1.2.4) gilt: LR=PA

Matrizen

Pivot Der erste Koeffizient jeder Zeile im Gauss'schen Endschema. Die Zeile / Spalte, in der das Pivot steht, heisst Pivot-Zeile / -Spalte

Lineare Gleichungssysteme

Quadratische Matrix Eine n×n -MatrixEine quadr. Matrix heisst einfach, wenn jeder Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 hat, halbeinfach, wenn für jeden Eigenwert die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit ist.

Matrizen, Eigenwertsproblem

Rang Die Anzahl „nicht-Nullzeilen“ im Hauptteil eines Endschemas. Es gilt:• r≥0 , r≤m, r≤n• Es gibt n�r freie Parameter• Ein lineares Gleichungssystem besitzt genau dann mindestens eine Lösung,

wenn• r=m oder rm und ci=0 , i=r1 , ,m

• Die Lösung eines linearen Gleichungssystems – falls sie existiert – ist genau dann eindeutig, wenn r=n ist.

Es gilt rang AT=rang A ,

Rang B1 A=Rang A , Rang AB2=Rang A für B1 ,2: reguläre, quadratische Matrix

Lineare Gleichungssystem, Matrizen

RechtsdreiecksmatrixAlle Koeffizienten links unten sind gleich null:Rij=0 für i j . Bsp:

R=[1 3 10 2 40 0 3]

Matrizen

reguläre Marix Eine invertierbare Matrix heisst regulär. Das Gleichungssystem Ax=0 mit der regulären Matrix A hat nur die triviale Lösung und die Determinante detA≠0 .

Matrizen

singuläre Matrix Eine nichtinvertierbare Matrix heisst singulär. Es gilt detA=0 MatrizenSpaltenvektor Eine m×1 -Matrix MatrizenSpur Die Spur einer Matrix ist die Summe derer Diagonalelemente. MatrizenStandardbasis Basis, welche aus den Einheitsvektoren e0 , e1 ,…, en besteht Matrizensymmetrisch Eine Matrix A ist symmetrisch, falls AT

=A gilt MatrizenTransponierte Spalten und Zeilen einer Matrix werden vertauscht (AT

ij= A ji ):

[3 2 51 4 6]

T

=[3 12 45 6]

Matrizen

Volumen Für linear unabhängige Vektoren gilt:Voln

na1 ,, an=∣deta1an∣Lineare Abbildungen

Zeilenvektor Eine 1×n -Matrix Matrizen

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Zusammenfassung Lineare Algebra (Silvio Bischof)

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