Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.1 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Regelungstechnik 2
Normalformen der ZustandsgleichungenNormalformen der ZustandsgleichungenDefinition von SystemeigenschaftenDefinition von Systemeigenschaften
2. Juli 2003
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.2 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zustandsraum
Allgemeines:• Methoden der klassischen Regelungstechnik basieren auf die Beschrei-
bung von Übertragungssystemen für jeweils eine Eingangs- und Aus-gangsgröße.
• Die Lösung erfolgt für zeitinvariante und lineare Systeme unter Anwendung der Laplace-Transformation in der s-Ebene. Die zugrunde-liegende Differentialgleichung wird in eine algebraische Gleichungüberführt.
• Zustandsbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibungsform im Zeit-bereich, die für mehrere Ein- und Ausgangsgrößen sowie auch für zeitvariante und nicht lineare Systeme angewendet werden kann.
• Zustandsgrößen erlauben zudem die Berechnung von inneren Größen,welche den Zustand eines Systems und nicht nur sein Ein- Ausgangs-verhalten beschreiben.
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Beispiel und Gegenüberstellung
Vektorielle Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung
111 12 1n 11
221 22 22 11 12 1p
p 1n 1 ppn 1 p1
pnn nn1n
1
2
q 1
q
ua a . . a xxua a . . . xx b b . . b.. . . . . .. . . . . .
u. . . . . xx b . . . bua . . . a xx
y
y
.
y
y
11 12 1n 11
21 22 22 11 12 1p
p 1n 1 qpq1
qn pq1 n
c c . . c uxc c . . . ux d d . . d. . . . . .. . . . . .. . . . . ux d . . . d
c . . . c ux
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Allgemeine Darstellung
Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen:
x AX BU
V CX DU
11 12 1n
21 22
nnn1
a a . . a
a a . . .
. . . . .A Systemmatrix
. . . . .
a . . . a
11 12 1p
ppp1
b b . . b
B . . . . . Eingangsmatrix
b . . . b
11 12 1n
21 22
qnq1
c c . . c
c c . . .
. . . . .C Ausgangsmatrix
. . . . .
c . . . c
11 12 1p
qpq1
d d . . d
D . . . . . Durchgangsmatrix
d . . . d
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Allgemeine Darstellunggraphische Darstellung
Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen:
X AX BU
V CX DU
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Allgemeine Darstellung
Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen:
X AX BU
V CX DU
Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen:x : (n,1) Zustandsvektor
u: (p,1) Eingangsvektor
v: (q,1) Ausgangsvektor
A : (n,n) Systemmatrix
B : (n,p) Steuerungsmatrix,Eingangsmatrix
C : (q,n) Beobachtungsmatrix,Ausgangsmatrix
D: (q,p) Durchschaltmatrix
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Allgemeine DarstellungBeispiel
System 3. Ordnung -> n = 3jeweils eine Ein- und Ausgangsgröße: -> p = 1, q = 1
1 11 12 13 1 1
2 21 22 23 2 2
3 31 32 33 3 3
1
2
3
x Ax Bu
v Cx Du
x a a a x b
x a a a x b u
x a a a x b
x
v c1 c2 c3 x du
x
x : (3,1) Zustandsvektor
u: (1,1) Eingangsvektor
v: (1,1) Ausgangsvektor
A : (3,3) Systemmatrix
B : (3,1) Steuerungsmatrix
C : (1,3) Beobachtungsmatrix
D: (1,1) Durchschaltmatrix
Aufbau der Vektoren/Matrizen:
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Allgemeine Darstellung für einfache Systeme
Einfache Systeme mit nur einer Eingangs- und Ausgangsgröße ergibtsich folgende vereinfachte Zustandsgrößenbeschreibung:
T
0
x Ax bu
v c x du
x xdt x(t )
Bild 2.1.5
Für nicht sprungfähige Systeme ist d=0
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Zustandsgleichungen 1. Standardform
11
22
n 1n 10 n 11
nnn n n n
1
2
n n0 n10 1 1
n nq 1
q
00 1 0 . 0xx
00 0 1 . 0xx
.. . . . ... u
00 0 . 0 1xx
1. . xx
y
y
. . .y
y
1
2
n1 n
n nn 1
n
x
x
. u
x
x
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Aufstellen von Zustandsgleichungen
11
22
n 1n 1
nn 0 1 n 1
1 1
2 2
m0 1
q 1 n 1
q n
x0 1 0 . 0 0x
x0 0 1 . 0 0x
.. . . . . .. u
x0 0 . 0 1 0x
x. . 1x
y xy x. .. 0
y xy x
Sonderfall n = 1
• Zählergrad kleiner Nennergrad m < n -> n = 0 -> d = 0
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Aufstellen von Zustandsgleichungen
Signalflussplan:
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Lösungen der Zustandsgleichung
Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen
Zustandsgleichungen:
1
1
1
V(s) CX(s) DU(s)
V(s) C sE A BU(s) x(0) DU(s)
V(s) C sE A B D U(s)
V(s)G(s) C sE A B D
U(s)
1
x Ax Bu
v Cx Du
sX(s) x(0) AX(s) BU(s)
sE A X(s) BU(s) x(0)
X(s) sE A BU(s) x(0)
V(s) CX(s) DU(s)
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Lösungen der Zustandsgleichung
Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen
Betrachtungsfall • Systeme mit jeweils einem
Ein- und Ausgangssignalq = 1, p = 1
• Zählergrad < Nennergrad -> d = 0
T
1T
1T
1T
V(s) c X(s)
V(s) c sE A bU(s) x(0)
V(s) c sE A b U(s)
V(s)G(s) c sE A b
U(s)
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Lösungen der Zustandsgleichung
Mathematische Lösung
1T
T
T1ik
11 12
21 22
T22 21 22 11
12 1211 22 12 21 11 22 12 21
V(s) Z(s)G(s) c sE A b
U(s) N(s)
adj(sE A)b Z(s)G(s) c
det(sE A) N(s)
allgemein
adj(A) 1A a
det(A) det(A)
Beispiel
a aA
a a
a a a a1 1A
a aa a a a a a a a
2
21 12a a
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Lösung der Zustandsgleichung
Der Ausdruck (sE-A)-1 wird in der sogenannten Transitionsmatrix (s)zusammengefasst.
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Lösung der Zustandsgleichung
Lösung im Zeitbereich
Fall a: skalarer Fall (bedeutet: es ist nur eine Zustandsgröße definiert)
t
at a t
0
x(t) ax(t) bu(t)
sX(s) x(0) aX(s) bU(s)
x(0) bX(s) U(s)
s a s a
x(t) x(0)e u( )be d
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Lösung der Zustandsgleichung
Lösung im Zeitbereich
Fall b: vektorieller Fall
1 1
1
t
0
x(t) Ax(t) Bu(t)
X(s) sE A x(0) sE A BU(s)
(s) sE A
X(s) (s)x(0) (s)BU(s)
x(t) (t)x(0) (t )Bu( )d
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Lösung der Zustandsgleichung
Lösung im Zeitbereich
Fall b: vektorieller FallLösung der Rücktransformation der Transitionsmatrix
1
11 At
tAt A t
0
(s) sE A
(t) L sE A e
X(s) (s)x(0) (s)BU(s)
x(t) e x(0) e Bu( )d
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Lösung der Zustandsgleichung
Interpretation der gefundenen Lösung:
1
11 At
tAt A t
0
tA(t to) A t
to
(s) sE A
(t) L sE A e
X(s) (s)x(0) (s)BU(s)
x(t) e x(0) e Bu( )d
x(t) e x(to) e Bu( )d
Die Lösung besteht aus 2 Termen.• 1. Term entspricht homogener
Lösung (alle Eingangssignale 0).• 2. Term entspricht partikulärer
Lösung (ohne Anfangszustand)• Lösung
momentaner Systemzustand istnur vom Anfangszustand und der Transitionsmatrix abhängigFür alle t > to kann der Zustandüber die Transitionsmatrix er-mittelt werden.
A(t to)hx (t) e x(to)
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Lösung der Zustandsgleichung
Interpretation der gefundenen Lösung:
tA(t to) A t
to
tA(t to) A t
to
x(t) e x(to) e Bu( )d
v(t) CX Du(t)
Ce x(to) C e Bu( )d Du(t)
Die Lösung besagt: Die Ausgangsgröße ist nur vom Anfangszustand der Zustandsgrößen x(to) sowie der Eingangsgrößen abhängig.
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Lösung der Zustandsgleichung
Eigenschaften der Lösung:• Nur homogene Lösung bedeutet u(t) =0
Kenne ich den Anfangszustand x(to), kann über die Transitionsmatrixsofort auf den Verlauf von x(t) geschlossen werden.
• Lösung im einzelnen lautet:
• Umkehrung liefert: kennt man den Verlauf der Zustandsgrößen, kannman auf den Anfangszustand zurückrechnen.
Atx(t) (t)x(to) e x(to)
11 121 1
21 222 2
x (t) x (to)X (t)X(to)
x (t) x (to)
1X(to) (t)X(t) ( t)X(t)
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Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung
Gegeben sei
1
2
2
0 1A
1 2
(s) sE A
s 1sE A
1 s 2
det(sE A) s(s 2) 1 s 2s 1
s 11(s)
1 s 2s 2s 1
Lösung im Zeitbereich wird rückge-Führt auf eine Reihenentwicklung
a 2 3
A 2 3
2 3At 2 3
0 1t
1 2At
1 1e 1 a a a ...
2! 3!1 1 1
e E A A A ...1! 2! 3!
t t te E A A A ...
1! 2! 3!
(t) e e ?
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Beispiel für Transitionsmatrix und deren BerechnungLösung: 0 1
t1 2At
2
3
(t) e e ?
0 1A
1 2
1 2A
2 3
2 3A
3 4
....
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Beispiel für Transitionsmatrix und deren BerechnungLösung:
2 3 2 3
0 1t
1 2
2 3 2 3
t t11 12
t t21 22
t t t t t t1 0 1 2 ... 0 1 2 3 ...
1! 2! 3! 1! 2! 3!(t) et t t t t t
0 1 2 3 ... 1 2 3 4 ...1! 2! 3! 1! 2! 3!
1 t t(t) (t) 1 t e te(t) e
t 1 t(t) (t) te 1 t e
t
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.25 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung
Alternative Lösung durch Bestimmung der Rücktransformierten von
2 22 2
2 22 2
0 1t
1 2 11 12
21 22
t tt
t t
s 1s 1s 1 s 1s 2s 1 s 2s 1(s)
1 s 2 1 s 2s 2s 1 s 2s 1 s 1 s 1
(t) (t)(t) e
(t) (t)
1 t t1 t e tee
t 1 tte 1 t e
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Weitere Darstellungsformen der Zustandsgleichungen
1. Darstellungsform Regelungsnormalformalternative Bezeichnungen: 1. Standardform Frobenius-Normalform Steuerungs-Normalform
2. DarstellungsformDarstellung nach physikalischen Variablen
3. Darstellungsform Beobachtungsnormalformalternative Bezeichnungen: 2. Standardform
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Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform
Herleitung der Beobachternormalform:
Die Gesamtübertragungsfunktion ist definiert und wird am Beispiel fürn = m = 3 beispielhaft hergeleitet:
3 23 2 1 0
3 23 2 1 0
3 2 3 23 2 1 0 3 2 1 0
3 3 2 23 3 2 1 0 2 1 0
32 2 1 1
3 3
b s b s bs b Y(s)G(s)
a s a s as a U(s)
Y(s) a s a s as a U(s) b s b s bs b
a s Y(s) b s U(s) b s U(s) bsU(s) b U(s) a s Y(s) asY(s) a Y(s)
b 1 1 1 1Y(s) U(s) b U a Y bU aY b
a a s s s
0 0U a Y
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Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform
Herleitung der Beobachernormalform:
32 2 1 1 0 0
3 3
3 3 01 0 0 0 0 3 0 0 3
3 3 3 3
3 32 1 1 1 1 1 3 1 1 1
3 3 3
b 1 1 1 1Y(s) U(s) b U a Y bU aY b U a Y
a a s s s
Defi nitionen:
b b a1sX (s) b U a Y b U a U X b a U X
a a a a
b b1sX (s) bU aY X bU a U X X b a U
a a a
13 1
3
3 3 23 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2
3 3 3 3
33
3 3
aX X
a
b b a1sX (s) b U a Y X b U a U X X b a U X X
a a a a
b 1Y(s) U X
a a
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.29 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform
Herleitung der Beobachernormalform:
0 00 3
3 3
1 11 3
3 3
2 22 3
3 3
3
3 3
a a0 0 b b
a a
a aX 1 0 X b b U
a a
a a0 1 b b
a a
b1Y 0 0 X U
a a
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.30 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform
Herleitung der Beobachernormalform:Signalflussbild
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.31 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform
Zusammenhang zwischen Regelungs- und Beobachtungsnormalform:• Beide Zustandsdarstellungen sind dual zueinander• Beide Zustandsdarstellungen können direkt in die andere überführt
werden.• Die Systemmatrix wird an der Diagonalen gespiegelt• Die Eingangs- und Ausgangsmatrix (-vektor) werden getauscht.
Beispiel
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.32 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Systemeigenschaften Steuer-barkeit und Beobachtbarkeit
Wir kennen folgende Systemeigenschaften:• Stabilität von Systemen (setzen wir voraus)• Steuerbarkeit von Systemen• Beobachtbarkeit von Systemen
Definition:Ein Übertragungssystem (in Zustandsgleichungen) ist steuerbar, wenneine Eingangsvariable u so existiert, so dass die Zustandsvariable x(t)von einem beliebigen Anfangszustand x(to) in einen beliebigen Endzu-stand x(tE) überführt werden kann. Die Steuerzeit t = tE-to muss
endlich sein.
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.33 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?
Satz:Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig steuerbar, wenn der Rang der (n, np)-Steuerbarkeitsmatrix QS:
gerade n ist, also r(QS) = n.
Alternativ bedeutet das, das det QS 0
2 n 1SQ B AB A B . A B
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.34 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?Beispiel
S2
M MS1
ESS
0 1 00
K1X 0 X 0 U
T TK
10 0 T
T
Y 1 0 0 X
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.35 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?Beispiel
S1 S2
MES
2 S1 S2 S1 S2S
M M MES ES ES
S1 S1 S12 3
ES ES ES
3 2S1 S1 S2 S1 S2 S1 S2
S S13 S22 S31 3 2M M MES ES ES ES
K K0 0
T T
K K K K 1 1Q b Ab A b 0
T T T T T T
K K KT T T
K K K K K K Kdet Q q q q
T T T T T T T
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.36 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Systemeigenschaft der Beobachtbarkeit
Die Eigenschaft Beobachtbarkeit liefert eine Aussage darüber, ob manmit den zur Verfügung stehenden Ausgangsgrößen, unabhängig von reinmeßtechnischen Problemen, alle Informationen aus dem System entneh-men kann, die zum Entwurf einer Regeleinrichtung erforderlich sind.
DefinitionEin lineares zeitinvariantes System ist dann vollständig beobachtbar,wenn der Anfangszustand x(t0) aus dem Verlauf des Ausgangsvektors
v(t) innerhalb eines endlichen Zeitintervalls t-t0 bestimmt werden
kann.
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.37 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen?
Satz:Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig beobachtbar, wenn der Rang der (n, nq)-Beobachtbarkeitsmatrix QB:
gerade n ist, also r(QB) = n.
Alternativ bedeutet das, das det QB 0
T
T
TT T T 2 T n 1 T 2S
T n 1
c
c A
Q c c A c A . c A c A
.
c A
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.38 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen?Beispiel
S2
M MS1
ESS
0 1 00
K1X 0 X 0 U
T TK
10 0 T
T
Y 1 0 0 X
Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.39 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?Beispiel
T
TB
T 2S2
M M
S2S B13 B22 B33
M
C 1 0 0
Q C A 0 1 0
K1C A 0T T
Kdet Q q q q
T
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