Statische Magnetfelder
Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder.
Im Magnetfeld erfährt eine bewegte Ladung eine Kraft.
Elektrische Felder werden von ruhenden und bewegten Ladungen gleichermaßen erzeugt. Die Kraft durch ein elektrisches Feld aufeine Ladung ist unabhängig von ihrer Geschwindigkeit.
Elektrischer Strom bedeutet Bewegung von Ladungen. Deshalb werden durch Ströme Magnetfelder erzeugt.
In diesem Kapitel werden Magnetfelder behandelt, deren Stärke und Richtung nicht von der Zeit abhängen. Sie werden durch Ströme erzeugt, die ebenfalls nicht zeitabhängig sind.Auch ruhende Permanentmagnete erzeugen statische Magnetfelder.
94
Magnetische Feldstärke
Wir führen ein die magnetische Feldstärke
Zur Bezeichnung:Beim Magnetfeld wurde früher der Begriff „Magnetische Flussdichte“ anstelle der magnetischen Feldstärke verwendet. Der Begriff Feldstärke wurde für die Größe H verwendet. Es gilt ein ähnlicher Zusammenhang zwischen B und H wie zwischen E und D:
Beim elektrischen Feld sind die Ladungen Quellen des Feldes
Das Magnetfeld besitzt keine Quellen (keine magnetischen Monopole).
Magnetfeldlinien sind daher immer in sich geschlossen.
95
Br
ρε =Er
div0 Poisson-Gleichung
0div =Br
HBrr
0μ=
Erzeugung von Magnetfeldern, Ampèresches Gesetz
Magnetfelder werden nicht durch Quellen erzeugt aus denen Feldlinienentspringen, sondern durch bewegte Ladungen um die herum sich ein wirbelförmiges Feld ausbildet.
Die elementare Gleichung lautet daher
96
IBr
Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters
jBrr
0rot μ= bzw. jHrr
=rot
Der mathematische Operator Rotation ( ) berechnet die lokale Wirbelstärke eines Vektorfeldes.
Die Richtung der Wirbelachse zeigt in Richtung der Stromdichte.
Berechnung der Rotation in kartesischen Koordinaten:
Die Wirbelstärke des Magnetfeldes wird durch die Stromdichte ( )verursacht.
Die Konstante heißt Induktionskonstante oder magnetische Permeabilitätskonstante und ist aufgrund der Definition des Amperes exakt:
Br
rot
j
97
r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂
∂∂
−∂∂
∂
∂−
∂∂
=y
Bx
Bx
Bz
Bz
By
BB xyzxyz ,,rotr
0μ
AmVs104 7
0−⋅= πμ
Integrale Form der Quellenfreiheit von Magnetfeldern
Anschauliche Formulierung:Wenn in einem ganzen Volumen keine Quellen vorhanden sind, müssendurch die Oberfläche des Volumens genauso viele Feldlinien herauslaufen wie hineinlaufen.
Analogie zum Wasser:In einem Volumen unter Wasser ist die Quellstärke im Wasser überall Null, deshalb muss genauso viel Wasser durch die Oberfläche des Volumens heraus fließen, wie hineinfließt.
Wir führen ein den magnetischen Fluss
Definition:
98
∫ ⋅=ΦFläche
dABrr Maß dafür, wieviel Magnetfeld
durch die Fläche A durchtritt.
Mit dem Gaußschen Satz
lässt sich nun mathematisch präzise formulieren:
d.h. da es prinzipiell keine Quellen des Magnetfeldes gibt, gibt es keine Quellen in dem Volumen. Deshalb ist der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche des Volumens gleich Null.
Die Äquivalenz wurde mathematisch mit dem Gaußschen Satz gezeigt.99
∫∫ ⋅=OberflächeVolumen
SfVfrrr
dddiv
0dddiv =⋅= ∫∫OberflächeVolumen
SBVBrrr
0d =⋅∫Oberfläche
SBrr
0div =Br
differentielle Formulierung integrale Formulierung
Quellenfreiheit des Magnetfeldes:
100
Stokesscher Satz
Für stetig differenzierbare Vektorfelder gilt folgender Zusammenhang:
Die Größe eines Wirbels lässt sich auf zwei Weisen erfassen: die lokale Wirbelstärke ( rot B ) integriert über eine Fläche (linke Seite), oderdie Feldstärke B selbst, integriert entlang des Randes der Fläche, d.h. z.B.entlang einer geschlossenen Feldlinie des Magnetfeldes (rechte Seite).
∫∫ ⋅=⋅RandkurveFläche
sBAB rrrrddrot
Br
rot
Br
101
Integrale Form des Ampèreschen Gesetzes
Für den Strom der durch eine bestimmte Fläche tritt erhält man:
Und damit das Ampèresche Gesetz in der integralen Form
Erinnere: die differentielle Form lautete
Die Integrale Form rechnet mit Strömen durch eine ganze Fläche, die differentielle Form berechnet lokal die Wirbelstärke aus der Stromdichte.
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=RandkurveFlächeFläche
sBABAjI rrrrrrddrot d00 μμ
∫ ⋅=Randkurve
sBI rrd0μ
jBrr
0rot μ= bzw. jHrr
=rot
bzw. ∫ ⋅=Randkurve
sHI rrd
102
Beispiele zur Berechnung von Magnetfeldern
Magnetfeld eines geraden Leiters:
Die Feldlinien laufen kreisförmig um denLeiter. Der Betrag von B ist überall auf demKreis gleich, also gilt:
Vektoriell geschrieben, ergibt sich für einen Strom entlang der z-Achse:
IBr
BrsBI
Randkurvegekreisförmi
πμ 2d0 =⋅= ∫rr
rr
rIrB
πμ2
)( 0=⇒
2220
20 )0,,(
2)0,,(
2)(
zyxxyI
rxyIrB
++−
=−
=πμ
πμrr
103
Magnetfeld einer langen, dünnen SpuleDas Feld im Innern der Spule ist näherungsweise homogen:
a) Außerhalb der Spule ist ein vergleichsweise kleines Feld, b) Senkrecht zu den Feldlinien liefert das Linienintegral keinen Beitrag
Durch die Fläche, die vom Weg umschlossen wird, tritt n mal der Strom I.Es ergibt sich:
In einer Spule der Länge l mit n Windungen herrscht die Magnetfeldstärke:
Integrationsweg
Br
(a)
(b) (b)
BlsBIRandkurve
=⋅= ∫rr
d0μ
IlnB 0μ=
104
Biot-Savart-Gesetz
Mit diesem Gesetz kann das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilungberechnet werden.Es folgt aus dem Ampèrschen Gesetz (Herleitung wird hier nicht gezeigt).
x
y
z2rr
Br
1rr
12rr
∫×
−=Draht r
srIrB 312
120 d4
)( r
rrrr
πμ
srd
Das Wegintegral läuft entlang des gesamtenstromführenden Drahtes.Jedes Drahtstück trägt zum Magnetfeld am Ort bei1r
r
105
Mit dem Biot-Savart-Gesetz können auch komplizierte Spulen berechnet werden:Beispiele von Spulen zum Einschluss von Plasma bei der Kernfusion
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik
106
Magnetfeld einer Leiterschleife: (Anwendung des Biot-Savart-Gesetz)
Aus Symmetriegründen hat das B-Feld entlang der z-Achse nur eine z-Komponente
steht senkrecht auf .Die z-Komponente des Vektors
ist gleich
ist immer gleich, also folgt
x
y
z
∫×
−=Draht r
srIrB 312
120 d4
)( r
rrrr
πμ
12rr srd1rr
12rr
srd
∫=Draht
z srRIzB d
4),0,0( 3
12
0rπ
μ
12rr
( ) 2322
20
312
0
22
4),0,0(
zR
RIRrRIzBz
+==
μππμ
r
sr rr d12 × sR d−R
107
Helmholtz-Spule:
Mit einer Anordnung aus zwei kreis-förmigen Spulen im Abstand von dem halben Durchmesser kann ein sehr homogenes Magnetfeld erzeugt werden.(Abweichung <1% für z < 0.3·R)
Entwicklung in eine Potenzreihe liefert näherungsweise
x
y
z
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
++=
232
22
2
232
22
20
)()(2),0,0(
RRz
zR
R
zR
RIzB μ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 4
4
2320
1251441
)4/5(),0,0(
Rz
RIzBz
μ
homogenes Feld
108
Eine bewegte Ladung erfährt im Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Feldstärke des Magnetfeldes gerichtet ist. Die Kraft nennt man Lorentz-Kraft.
Da Kraft und Bewegungsrichtung immer senkrecht aufeinander stehen, wird durch diese Kraft keine Arbeit verrichtet.
Ist gleichzeitig ein elektrisches Feld vorhanden wirkt die Coulomb-Kraft zusätzlich zur Lorentz-Kraft in der bekannten Weise.
Die Lorentz-Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Ladung zur Ladungsmenge und zur magnetischen Feldstärke .Die Richtung der Lorentz-Kraft wird durch das Kreutzprodukt ausgedrückt:
Kräfte auf bewegte Ladungen
vQ B
( )BvQFrrr
×= Lorentz-Kraft
109
Ist elektrisches Feld und Magnetfeld gleichzeitig vorhanden, wirkt dieGesamtkraft:
Beachte: die Coulomb-Kraft ist nicht von der Geschwindigkeit abhängig.
( )BvEQFFF LorentzCoulomb
rrrrrr×+=+=
Br
vrQ
Er
CoulombFr
LorentzFr
Fr
110
Einheit der magnetischen Feldstärke B:
Man hätte die Einheit für das Magnetfeld frei wählen können und dann die Lorentz-Kraft mit einer zusätzlichen Naturkonstanten K erhalten:
Man hat aber nicht die Einheit für das Magnetfeld definiert, sondern die Naturkonstante K = 1 definiert. Damit erhält man als Einheit für B :
Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist das Tesla
Analog war man vorgegangen bei der Einheit der elektrischen Feldstärke
( )BvQKFrrr
×=
[ ] 22222 m Vs
mA sVA
mA Ws
mA J
mA Nm
mA N
m/s AsN
m/s CN
========B
2m VsT =
[ ]mV
m CC V
m CsVA
m CJ
m Cm N
CN
======E
110b
Energiedichte des Magnetfeldes:
Erinnere: beim elektrischen Feld ist die Energiedichte
Ganz ähnlich ergibt sich für das Magnetfeld (siehe auch Seite 163)
Vergleich: Energiedichte E-Feld und B-Feld:Beispiel: Energiedichte eines elektrischen Feldes mit 2· 106 V/m
(maximales Feld in Luft bevor Blitz entsteht).
DEEw21
21 2
0 == ε
2
0
121
21 BHBw
μ==
36
2
212
mJ7.17
mV102
Nm(As)1085.8
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅= −w
110c
Beispiel: Energiedichte eines Magnetfeldes mit 20 Tesla (maximales Feld das heute erzeugt werden kann).
Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei E = 2· 106 V/m 17,7 J = ein Gramm Wasser um 4 Grad erwärmen
= ein Kilogramm um 1.8 m anheben
Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei B = 20 T1.6 108 J = 44 kWh
= 500 Liter Wasser zum Kochen bringen = 2 Tonnen auf den Himalaja tragen
2
0
121
21 BHBw
μ==
3
2
27 mJ000000159
mVs20
VsAm
1041
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −π
w
111
Bewegung einer Ladung im homogenen Magnetfeld:
Als Spezialfall betrachten wir eine Ladung im homogenen Magnetfeld
Eine Ladung im homogenen Magnetfeldbewegt sich auf einer Kreisbahn.Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant, da aus dem Magnetfeldkeine Energie übertragen wird.
Die Lorentz-Kraft verursacht dieRadialbeschleunigung:
Br
vr
Fr
x
y
z
amF rr=
rvmBvQ
2
=
BQvmr =
Ist Ladung, Feldstärke und Geschwindigkeitbekannt, kann das Verhältnis Q/m gemessenwerden.
112
Frei fliegende Elektronen werden erzeugt, indem sie in einem elektr. Feld beschleunigt werden. Nach dem Durchlaufen der Spannung U habensie die Energie
Ihre Geschwindigkeit ist dann
Auch hier geht wieder das Verhältnis Q/m ein.
Aus der Bahnkurve einer Ladung kann immer nur Q/m, nicht aber Q oder malleine bestimmt werden.
Für das Elektron ergibt sich e/m = -1.758 820 12 x 1011 C kg-1
( bekannt mit einer relativen Genauigkeit von 8.6 x 10-8 )
Versuch: e/m nach Busch
UQW =
UmQvUQmv 22
21 =⇒=
-100 V0 V
Glühemission von Elektronen
Elektronen mit Energie 100 eV
113
Bewegung von Elektronen in Teilchenbeschleunigern:
Ablenkung der Elektronen erfolgtin Dipolmagneten.
Im homogenen Feld werdendie Elektronen durch dieLorentz-Kraft seitlich abgelenkt.
Spulehomogenes FeldSpule
Dipolmagnete (grau)
114
Zur Fokussierung des Strahls verwendet man die Kombination vonzwei Quadrupolmagneten. Ein Quadrupolmagnet fokussiert in einer Richtung und defokussiert in der anderen Richtung.
Elektronen unterschiedlicher Energielaufen auf verschiedenen Bahnen(chromatische Aberration). Dies wirdmit Sextupol-Magneten kompensiert.
115
Kräfte auf stromdurchflossene Leiter:
Auf die bewegten Elektronen in einem stromdurchflossenen Leiter wirkt im Magnetfeld die Lorentz-Kraft.
Obwohl sich die Elektronen im Leiter sehr langsam mit der Driftgeschwindigkeit vD (einige cm / Minute) bewegen, ergibt sich durchdie hohe Anzahl von Elektronen eine starke Kraft (Bsp. Elektromotor).
Die Kraft F auf ein Leiterstück der Länge dL in dem der Strom I fließtergibt sich zu:
Dvj rrρ=
( )BvQFrrr
×=
( )BvLAF D
rrr×=⇒ dρ
( )BLAjFrrr
×=⇒ d
mitund dL in Richtung von vD folgt
( )BLIFrrr
×= d Lorentz-Kraft auf ein Leiterstück dL
116
Experiment:
Kraft auf Leiterstück im homogenen Magnetfeld
Die Kraft auf ein Leiterstückvon 10 cm Länge, das in einem Magnetfeld von 1Tvon einem Strom I = 1A durchflossen wird, beträgt
F = 0.1 Newton.
Br I
Fr
( )BLIFrrr
×= d
BLIF = (da alle Vektoren senkrecht aufeinander stehen)
--
Messung von Magnetfeldern, Halleffekt:
117
Zur Messung der magnetischen Feldstärke wird meistens der Halleffekt ausgenutzt:
In einem stromdurchflossenen Leiter werden die Elektronen zur einen Seiteabgelenkt, bis sich quer zum Leiter ein kompensierendes elektrisches Feldaufgebaut hat.
Dieses Feld verursacht eine Spannung (Hall-Spannung) quer zur Stromrichtung.
Mit folgt
Halbleiter mit sehr geringer Ladungsdichte zeigen hohe Hallspannungen.
Dvr
Br
LorentzFr
−e
I
- +- +
- ++
+Er
elFr
b
( )bBvbEU DHall
rr×==
( )BvQEQrrr
×−=
d
Dvj rrρ=
dBIbBjU Hall ρρ
==
118
Zusammenhang elektrisches und magnetisches Feld:
Physikalische Experimente liefern in jedem Inertialsystem die gleichenPhysikalischen Gesetze.
Gedankenexperiment: zwei Teilchen mit Ladung +Q, -Q und Masse m
x
y
z+
–
vr
vr
x
y
z+
–
vr
Koordinatensystem „ruht“, Ladungen bewegen sich.
Ladungen „ruhen“, Koordinatensystem bewegt sich mit.
119
In der Klassischen Physik erhält man ein unterschiedliches Ergebnis
Bei ruhenden Ladungen wirkt nur die Coulomkraft und Newtons Aktionsprinzip liefert:
oberes Teilchen (Index 2) unteres Teilchen (Index 1)
Bei ruhendem Koordinatensystem erzeugen die bewegten Ladungenzusätzlich ein Magnetfeld
( )212
2
02 4
1zz
Qzm−
−=πε
&&( )221
2
01 4
1zz
Qzm−
+=πε
&&
312
1202 4)(
rvrQrB r
rrrr ×
=πμ
( )212
02 4)(
zzvQzBy −
=⇒πμ
Umgeformtes Gesetz von Biot-Savart
(andere Ladung analog)
120
Auf die obere Ladung wirkt die Lorenzkraft im Magnetfeld der unterenLadung:
Es ergibt sich eine Kraft nach oben auf die obere Ladung
Beide Kräfte zusammen ergeben
( )212
220
4 zzvQBvQF yz −
==πμ
( )BvQFrrr
×=
( ) ( )212
220
212
2
0 441
zzvQ
zzQFFF LorentzCoulombz −
+−
−=+=πμ
πε
( )( )2
00212
2
0
14
1 vzz
QFz μεπε
−−
−=
( )( )2
00212
2
0
14
1 vzz
Qzm μεπε
−−
−=&& Die Beschleunigung der Ladung ist hier um den Faktor 1-ε0μ0v2 kleiner
121
Ferner gibt es den Zusammenhang zwischen ε0, μ0 und der Lichtgeschwindigkeit c (siehe weiter hinten bei elektromagnetischen Wellen).
Die Beschleunigung ist also um den Faktor kleiner.
Dieser Faktor erinnert sofort an die relativistische Mechanik!
In der relativistischen Beschreibung laufen die Experimente in beiden Inertialsystemen gleich ab.
Beim Übergang von einem in des andere Koordinatensystem muss dierelativistische Lorentz-Transformation verwendet werden. Beim Übergangändern sich Masse, Zeit, Längen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungenund die Felder. Alles zusammen ergibt eine konsistente Beschreibung.
Bei der Transformation werden elektrische und magnetische Kräfte inein-ander umgewandelt. Man spricht daher von „elektromagnetischen Kräften“.
2001c
=με
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
2
1cv
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