Post on 06-Mar-2018
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-1
30.05.17
1. Querkraftschub in offenen Profilen
1.1 Schubfluss
1.2 Schubmittelpunkt
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30.05.17
1.1 Schubfluss
● Geometrie:
– Die Profilkoordinate s wird entlang der Profilmittellinie gemessen.
– Das Profil wird durch die Profilmit-tellinie und die Wandstärke t(s) beschrieben.
● Annahme:
– Die Schubspannung τsx ist tan-gential zur Profilmittellinie und über die Wandstärke konstant.
s
τsx
z
y
S
t(s)
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30.05.17
1.1 Schubfluss
● Definitionen:
– Am positiven Schnittufer zeigt die positive Schubspannung τsx in positive s-Richtung.
– Das Produkt
wird als Schubfluss bezeichnet.
– Der Schubfluss ist eine Streckenlast.
– An freien Kanten ist der Schubfluss null.
q sx=t τsx
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30.05.17
1.1 Schubfluss
● Berechnung des Schubflusses:
– Betrachtet wird ein Balken mit konstantem Querschnitt.
– Aus dem Balken wird ein Abschnitt zwischen den Koordina-ten x = xA und x = xB herausgeschnitten.
– Dieser Abschnitt wird an der Stelle s0 durch eine senkrecht auf der Profilmittellinie stehende Ebene geschnitten.
– Betrachtet wird der Balkenausschnitt, der sich auf der Seite mit den kleineren Werten von s befindet.
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Lasten am Balkenausschnitt:
xz
y
s
xA
xB
σx(x
B , s)
σx(x
A , s)
qsx(x, s0)
qsx(x
B , s)
qsx(x
A , s)
Freie Kante
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Kräftegleichgewicht:
– Mit
und Vertauschung der Integrationsreihenfolge folgt:
∑ F x=0 : ∫x A
xB
q sx( x , s 0)dx+ ∫A(s0)
(σ x (xB , y , z )−σ x ( xA , y , z) ) dA=0
σ x (xB , y , z)−σ x ( xA , y , z)=∫xA
xB ∂σ x
∂ x(x , y , z)dx
∫xA
xB
(q sx(x , s0)+ ∫A(s0)
∂σ x
∂ x(x , y , z)dA)dx=0
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Das Integral ist nur dann für beliebige Intervalle [xA, xB] null, wenn der Integrand verschwindet:
– Im Hauptachsensystem gilt:
– Daraus folgt:
q sx( x , s 0)+ ∫A( s0)
∂σ x
∂ x( x , y , z)dA=0
σ x (x , y , z)=M y(x)
I y
z−M z( x)
I z
y
∂σ x
∂ x=
dM y
dxzI y
−dM z
dxyI z
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1.1 Schubfluss
– Mit
und s0 = s gilt für den Schubfluss:
– Dabei sind und
die statischen Momente des Querschnitts bis zur Stelle s.
dM y
dx=Q z ,
dM z
dx=−Q y
q sx(x , s)=−(Q z( x)
I y
S y(s)+Q y (x)
I z
S z (s))
S y(s)=∫A (s)
z dA S z(s)=∫A( s)
y dA
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Die statischen Momente können aus den Koordi-naten des Flächen-schwerpunkts der Teilflä-che A(s) berechnet wer-den:
S y(s)=zS (s)A(s)S z(s)=y S (s)A(s)
s
y
z
yS(s)
zS(s)
A(s)
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30.05.17
1.1 Schubfluss
● Beispiel: C-Profil
– Die resultierende Querkraft im abgebildeten dünnwandigen C-Profil ist Qz .
– Gesucht ist der Schubfluss.
– Flächenträgheitsmoment:
a
a
a
y
z
t
S
s
Qz
I y=(2 a)
3 t12 +2⋅a2
⋅a t=83 a3 t
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1.1 Schubfluss
– Oberer Flansch:
a
a
a
y
z
t
S
s1
S y(s1)=−a t s1
q sx(s1)=38
Q z
a3 ta t s1=
38
Q z s1
a2
q sx(0)=0 , q sx (a)=38
Q z
a
S y(0)=0, S y(a)=−a2 t
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1.1 Schubfluss
– Steg:
a
a
a
y
z
t
S
s2
S y(s2)=−a2 t +(−a+s2
2 ) t s 2
=−a2 t2 (2+2 s2
a−
s22
a2 )
q sx(s2)=316
Q z
a (2+2 s2
a−
s22
a2 )
S y(0)=−a2 t , S y(2 a)=−a2 t
q sx(0)=qsx (2 a)=38
Q z
a
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Unterer Flansch:
a
a
a
y
z
S
s3
S y(s3)=−a2 t +a t s3=−a2 t (1−s3
a )
q sx(s3)=38
Q z
a (1−s3
a )
q sx(0)=38
Q z
a, q sx(a)=0
S y(0)=−a2 t , S y(a)=0
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Verlauf des Schubflusses:● Der Schubfluss erzeugt
ein resultierendes positi-ves Moment um die durch den Schwerpunkt verlaufende x-Achse.
● Die Wirkungslinie der resultierenden Querkraft Qz muss daher links vom Schwerpunkt liegen.
3Qz /(8a)
3Qz /(8a)
9Qz /(16a)
S
qsx
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30.05.17
1.1 Schubfluss
● Beispiel: Kreisbogenprofil
– Die resultierende Querkraft im abgebildeten dünnwandigen Kreisbogenprofil ist Qz .
– Gesucht ist der Schubfluss und die maximale Schubspan-nung.
– Geometrie:
αα
rs
S
ez
t
y
z
Qz
z (s)=−r sin(α−sr )
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1.1 Schubfluss
– Flächenträgheitsmoment:
I y=∫0
2α r
z2(s) t ds=r 2 t ∫
0
2α r
sin2(α−sr )ds=r 3 t∫
0
2 α
sin2(α−sr )d ( s
r )=r3 t [−1
2 (α−sr )+ 1
4 sin (2(α−sr ))]s / r=0
s / r=2α
=r3 t [α2 −14 sin (2α )+α
2 −14 sin (2 α )]
=r3 t2 (2α−sin (2α) )
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Statisches Moment:
– Schubfluss:
S y(s)=∫0
s
z ( s̄ ) t d s̄=−r t∫0
s
sin(α−s̄r )d s̄=−r2 t [cos(α−
s̄r )]s̄=0
s̄=s
=−r 2 t [cos(α−sr )−cos(α)]
q sx(s)=−Q z
I y
S y(s)=Q z
2 r 2 t (cos(α−s /r )−cos(α))
r3 t (2α−sin (2 α))
=2Q z (cos(α−s /r )−cos(α))
r (2 α−sin (2α))
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Maximum des Schubflusses:
– Maximale Schubspannung:
q sxmax=q sx(r α)=2 Q z (1−cos(α))
r (2α−sin (2α))
τsxmax=q sxmax
t=
2Q z
r t1−cos(α)
2α−sin (2α)
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1.1 Schubfluss
● Maximaler Schubfluss:
– In beiden Beispielen tritt der maximale Schubfluss an der Stelle z = 0 auf.
– Das gilt allgemein, wenn die resultierende Querkraft in z-Richtung zeigt:
– Zeigt die resultierende Querkraft in y-Richtung, tritt das Ma-ximum bei y = 0 auf.
q sx(s)=−Q z
I y
S y(s)=−Q z
I y∫0
s
z t ds
dq sx
ds=0 :
dds∫0
s
z t ds=z t=0 → z=0
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1.1 Schubfluss
● Beispiel: T-Profil
– Die resultierende Querkraft im abgebildeten dünnwandi-gen T-Profil ist Qz .
– Gesucht ist der Schubfluss und die maximale Schub-spannung.
a a
t
2a
ey
2t
z
y
Qz
S
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Schwerpunkt:
– Flächenträgheitsmoment:
A=2 a t +2 a⋅2 t=6 a t , ey=a⋅4 a t6 a t
=23 a
I y=e y2⋅2 a t+
(2 a)3⋅2 t
12 + (a−e y )2⋅4 a t=a3 t ( 8
9 +1612 +
49 )=8
3 a3 t
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Linker Flansch:a a
t
2a
ey
2t
z
y S
s1S y(s1)=−ey t s1=−
23 a t s1
q sx 1(s1)=38
Q z
a3 t⋅
23 a t s1=
Q z
4 as1
a
q sx 1(a)=Q z
4 a
τ1 max=q sx 1(a)
t=
Q z
4 a t
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Rechter Flansch:a a
t
2a
ey
2t
z
y S
s2S y(s2)=−e y t s 2=−
23 a t s2
q sx 2 (s 2)=38
Q z
a3 t⋅
23 a t s2=
Q z
4 as2
a
q sx 2 (a)=Q z
4 a
τ2 max=q sx 2 (a)
t=
Q z
4 a t
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Steg:
a a
t
2a
ey
2t
z
y S
s3
S y(s3)=−ey⋅2 a t +(−ey+s3
2 )⋅2 t s3
=−t3 ( 4 a2
+4 a s3−3 s32 )
q sx 3(s3)=Q z
8 a (4+4 s3
a−3 s3
2
a2 )q sx 3(0)=
Q z
2 a=q sx 1(a)+q sx 2(a)
q sx 3(2 a)=0
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30.05.17
1.1 Schubfluss
– Maximum im Steg:
– Maximale Schubspannung:
q sx 3max=Q z
8a (4+4⋅23 −
3⋅49 )=16
24Q z
a=
23
Q z
a
τ3max=23
Q z
a⋅2 t=
13
Q z
a t
τmax=max ( τ1 max , τ2 max , τ3max )=τ3 max=13
Q z
a t
z=0 → s3 max=ey=23 a
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1.1 Schubfluss
– Verlauf des Schubflusses:● An der Verzweigung ist die
Summe der zufließenden Schubflüsse gleich der Sum-me der abfließenden Schub-flüsse. S
Qz /(4a)
2Qz /(3a)
qsx
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-27
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● In welchem Punkt des Querschnitts muss die äußere Kraft angreifen, damit sich der Querschnitt nicht verdreht?
F
F
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-28
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● In welchem Punkt des Querschnitts greift die aus dem Schubfluss resultierende Querkraft an?
● Definition:
– Der Punkt, in dem die aus dem Schubfluss resultierende Querkraft angreift, wird als Schubmittelpunkt M bezeichnet.
– Das resultierende Moment des Schubflusses bezüglich des Schubmittelpunkts ist null.
– Aus dem Momentengleichgewicht um die x-Achse folgt, dass der Schubmittelpunkt auch der Punkt des Querschnitts ist, in dem eine äußere Kraft angreifen muss, damit sich der Balken nicht verdreht.
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1.2 Schubmittelpunkt
– Beispiel: Kragbalken, rechter Teilbalken
xz
y
M
M
F
Qz
My
S
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● Spezialfälle:
– Bei symmetrischen Querschnitten liegt der Schubmittel-punkt auf der Symmetrieachse.
– Bei doppelt symmetrischen Querschnitten stimmt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein.
– Bei punktsymmetrischen Querschnitten stimmt der Schub-mittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein.
– Bei Querschnitten, die aus geradlinigen Teilprofilen zu-sammengesetzt sind, deren Mittellinien sich in einem Punkt schneiden, liegt der Schubmittelpunkt im Schnittpunkt der Profilmittellinien.
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Beispiele:
M
M
M
M
M
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● Berechnung:
– Für jeden beliebig gewählten Bezugspunkt muss das Mo-ment des Schubflusses mit dem Moment der resultierenden Querkraft übereinstimmen.
– Die Koordinate zM kann aus dem Vergleich der Momente für eine Querkraft in y-Richtung und die Koordinate yM aus dem Vergleich der Momente für eine Querkraft in z-Richtung be-rechnet werden.
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-33
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● Beispiel: C-Profil
– Das Profil ist symmetrisch be-züglich der y-Achse. Daher liegt der Schubmittelpunkt auf der y-Achse.
– Das Moment der im Schubmit-telpunkt angreifenden Quer-kraft Qz bezüglich Punkt P muss mit dem Moment des zugehörigen Schubflusses übereinstimmen.
a
a
a
y
z
t
S
sQ
z
yM
M
ez
P
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Schwerpunktsabstand des Stegs:
– Moment der Querkraft:
a
a
a
y
z
t
S
sQz
yM
M
ez
P
A=2⋅a t+2 a t=4 a t
ez=
2⋅a2⋅a t
4 a t=
a4
M P(Q z)=( yM−e z )Q z
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1.2 Schubmittelpunkt
– Nur der Schubfluss im oberen Flansch trägt zum Moment um Punkt P bei:
– Übereinstimmung der Momente:
M P(q sx)=2 a∫
0
a
q sx(s1)ds1=2 a⋅38
Q z
a2 ∫0
a
s1 ds1=2 a⋅38
Q z
a2⋅a2
2 =38 Q z a
M P(Q z)=M P
(q sx) : (y M−ez ) Q z=38 Q z a
→ y M=38 a+e z=
38 a+
14 a=
58 a
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
● Beispiel: Kreisbogenprofil
– Das Profil ist symmetrisch be-züglich der y-Achse. Daher liegt der Schubmittelpunkt auf der y-Achse.
– Das Moment der im Schubmit-telpunkt angreifenden Quer-kraft Qz bezüglich Punkt P muss mit dem Moment des zugehörigen Schubflusses übereinstimmen
αα
rs
S
ez
t
y
z
Qz
M
yM
P
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30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Schwerpunktsabstand (Formel für Linienschwerpunkt):
– Moment der Querkraft:αα
r
s
S
ez
t
y
z
Qz
M
yM
P
ez=rsin (α)
α
M P(Q z)=( yM +e z ) Q z
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-38
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Moment des Schubflusses:
M P(q sx)=∫
0
2 α r
r q sx ds=2 Q z r
2 α−sin (2α)∫0
2 α
(cos(α−sr )−cos(α))d ( s
r )=
2Q z r2 α−sin (2α) ([−sin (α−
sr )]s /r=0
s /r=2α
−2 α cos(α))=
2Q z r2 α−sin (2α)
(2sin (α)−2α cos(α))
q sx(s)=2Q z (cos(α−s /r )−cos (α) )
r (2 α−sin (2α))
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-39
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Übereinstimmung der Momente:
M P(Q z)=M P
(q sx) :
→ y M=2 rsin (α)−α cos(α)
α−sin (α)cos(α)−e z=r (2 sin (α)−α cos(α)
α−sin (α)cos(α)−
sin (α)α )
( yM +e z ) Q z=2Q z r
2α−sin (2α)(2sin (α)−2 α cos(α))
Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.1-40
30.05.17
1.2 Schubmittelpunkt
– Beispiel: α = π/2 – Beispiel: α = π
ez=2π r
y M=r (2 1π/2 −
1π/2 )= 2
π r
ez=0
y M=r (2 ππ )=2 r
y
z
SM
y
z
SM