6. Trigonometrie● Die Trigonometrie ist nicht mehr eigener

Bestandteil des Lernstoffs in der Mittelstufe. ● Sin, cos, tan wird z. B. im LS als Teil (2 kleine

Abschnitte im Rahmen des Themas „Pythagoras“) behandelt.

● Sin, cos, tan werden (nur) innerhalb des Dreiecks definiert.

Definition von sin, cos, tan

● Allgemeine Bezeichnungen!

Üben !● Die allgemeine Formulierung muss an

Beispielen geübt werden, bei denen die Katheten bzw. die Hypotenuse nicht a, b, c heißen!

Formeln

● sin ² α + cos ² α = 1● sin α = cos (90° – α)● cos α = sin (90° – α)● tan = sin

cos

Projektarbeit an einer Anwendungsaufgabe

● Grundsätzliche Überlegungen zu einer Projektarbeit:– Umfangreiche Aufgabe– Sinnvolle Arbeitsteilung für S&S oder Gruppen– Manchmal Einbeziehung von externen Experten

oder Institutionen– In der Regel umfangreiche Vorbereitung nötig!– Oft im Rahmen einer Projektwoche– Mögliche Themen / Aktivitäten

● Befragungen, empirische Untersuchungen● Messungen im Freien oder im Schulhaus

● Vorteile von Projektarbeit:● Projektarbeit kann einen Motivationsschub für das Fach Mathematik

bewirken. ● Bei Projektarbeit müssen die Schüler eigenständige Anstrengungen in

Bezug auf Arbeitsaufteilung, Organisation und Lösungssuche unternehmen.

● Zwischenergebnisse müssen festgehalten und anschließend ein Ergebnis präsentiert werden.

● Der Arbeitsauftrag ist nicht starr, er kann während der Arbeit erweitert oder modifiziert werden.

● Schüleraktivierender Unterricht

Nachteile● Hoher Aufwand (Zeit, oft auch Material, Geld)● Verstärkte Aufsichtspflicht● Gefahr des Freizeitcharakters● Absprachen mit KollegInnen notwendig

● Trotz aller Nachteile:● Es lohnt sich !!

Das konkrete Projekt● Bestimmung der Höhe eines Schornsteins!

Berechnungsmethoden

Der Sinussatz ● Der Sinussatz ist im neuen LS zu einer Aufgabe

herabgestuft● Ist aber wichtig für Berechnungen im beliebigen

Dreieck

ab

= sinsin

bc

= sin sin

ca

= sinsin

Beweisfigur Sinussatz

● h = b· sin α = a · sin β

Konstante im Sinussatz

csin

= 2r

asin

= bsin

= csin

= 2r

Der Cosinussatz● Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung

des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke.

● Im beliebigen Dreieck gilt :● c² = a² + b² - 2ab cos γ● a² = b² + c² - 2bc cos α● b² = a² + c² - 2ac cos β

Beweisfigur CosinussatzEntscheidend: SdP im Dreieck ABD

● C² = AD² + BD² = (b·sin γ)² + (a – b cos γ)²● = ... = a² + b² - 2ab cos γ

Zum Vergleich: Wikipedia● Vgl. Beweis in

http://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz#Beweis● Allerdings dort ungewöhnliche Bezeichnung! ● Mit angepasster Bezeichnung kurzer Beweis