Annette Eicker APMG 1

1

111.04.23

Annette Eicker11.11.2011

Das Keplerproblem (Teil 2)

Annette Eicker APMG 1

2

211.04.23

Wiederholung: Keplerproblem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

rr 3r

GM

const Crr

Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C

=> Konstante Bahnebene

Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C

=> Konstante Bahnebene

Bahndrehimpuls ist konstant

Bahndrehimpuls ist konstant

CL m

2. Keplersches Gesetz:

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

2. Keplersches Gesetz:

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

r r C( )tr

( )t dtr df

Annette Eicker APMG 1

3

311.04.23

Wiederholung: Keplerproblem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

rr 3r

GM

const Crr

Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C

=> Konstante Bahnebene

Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C

=> Konstante Bahnebene

Bahndrehimpuls ist konstant

Bahndrehimpuls ist konstant

CL m

2. Keplersches Gesetz:

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

2. Keplersches Gesetz:

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

Cr 2

Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit

Annette Eicker APMG 1

4

411.04.23

Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem

i

iK

K

0C3e

1e2e

Q P

U

v

0C

r

K

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0

Position

im Bahnsystem

Position

im Bahnsystem

BB

r

r

y

x

t

0

sin

cos

0

)(

r

QPr sincos)( rrt

Wahre Anomalie

Annette Eicker APMG 1

5

511.04.23

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

Wiederholung: Bestimmung des Abstands

PositionPosition

0

sin

cos

)(

r

r

tr

C

0

0

rr

0

cos

sin

eC

GM

r

)cos1(

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

erC

GMe

C

GMr

r

rr

gleichsetzen

umstellen

gleichsetzen

umstellen

CerC

GM )cos1(

2 /

1 cos

C GMr

e

EllipsengleichungEllipsengleichung

cos1 e

pr

Annette Eicker APMG 1

6

611.04.23

Wiederholung: Ellipse

a

21 eab )1( 2eap

eaE

a große Halbachse

b kleine Halbachse

E exzentrische Anomalie

p Halbparameter

Annette Eicker APMG 1

7

711.04.23

Was haben wir bis jetzt?

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

)1( 2eap

pGMC

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

PositionPositioncos

sin

0B

r

r

r

sin

cos

0B

GMe

C

rOrt des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie:

Ort des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie: )(t

AbstandAbstand

cos1 e

pr

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

i

Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0

Annette Eicker APMG 1

8

811.04.23

Keplerelemente

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität

Perigäumsdurchgangszeit

Lage:

i Inklination

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens

Argument des Perigäums

Perigäum

Knotenlinie

Annette Eicker APMG 1

9

911.04.23

Was haben wir bis jetzt?

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

)1( 2eap

pGMC

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

PositionPositioncos

sin

0B

r

r

r

sin

cos

0B

GMe

C

rOrt des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie:

Ort des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie: )(t

AbstandAbstand

cos1 e

pr

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

i

Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0

Annette Eicker APMG 1

10

1011.04.23

Was haben wir bis jetzt?

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Ort des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie:

Ort des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie: )(t

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:

i

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie

noch nicht!

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie

noch nicht!

Annette Eicker APMG 1

11

11

Zwischenfazit

11.04.23

1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt

2. Keplersches Gesetz

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

GM

aT

3

2

KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden

Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e

KeplerelementeKeplerelemente

a ei

Position, Geschwindigkeit

Position, Geschwindigkeit

r r

Annette Eicker APMG 1

12

1211.04.23

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

Annette Eicker APMG 1

13

1311.04.23

Herleitung der Keplergleichung

Cr 2

dt

d

dtCd

e

p

2

2

cos1

Abstand (Ellipsenglg.)Abstand (Ellipsenglg.)

cos1 e

pr

IntegrationIntegration

0

02

2

cos1ttCd

e

p

C

dt

d

e

p

2

2

cos1

- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung

- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung

( )t t

Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)

Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)

Annette Eicker APMG 1

14

1411.04.23

Kreisbahn

a

E

0

sin

cos

)( Ea

Ea

tr

Annette Eicker APMG 1

15

1511.04.23

Ellipse

a

E

0

sin

cos

)( Eb

Ea

tr

Annette Eicker APMG 1

16

1611.04.23

Ellipse

r

Annette Eicker APMG 1

17

1711.04.23

Ellipse

a

ae

r

E

aeEar coscos

Annette Eicker APMG 1

18

1811.04.23

Exzentrische Anomalie

aeEar coscos

EllipsengleichungEllipsengleichung

cos1 e

pr

)1( 2eap

Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

Annette Eicker APMG 1

19

1911.04.23

Herleitung der Keplergleichung

0

02

2

cos1ttCd

e

p

VariablensubstitutionVariablensubstitution

0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Ee

eE

cos1

coscos

Ee

Ee

cos1

sin1sin

2

dE

d

d

d

dE

d sinsin

dE

d

dE

d cos

sin

UmstellenUmstellen

dE

d

dE

d

sin

cos

1 Ee

e

dE

d

cos1

1 2

2

22

cos1

sinsin1cos1cos1sin

Ee

EeEeEeEe

dE

d

benötigt

Annette Eicker APMG 1

20

2011.04.23

Herleitung der Keplergleichung

0

02

2

cos1ttCd

e

p

VariablensubstitutionVariablensubstitution

0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Eeea cos11 22

+ nach kurzer Umformung folgt...

+ nach kurzer Umformung folgt...

Ee

e

dE

d

cos1

1 2

Ee

e

e

p

cos1

1

cos1

2

2

2

)1( 2eap

Ee

e

e

ea

cos1

1

cos1

)1( 2

2

222

Ee

eE

cos1

coscos

Annette Eicker APMG 1

21

2111.04.23

Herleitung der Keplergleichung

VariablensubstitutionVariablensubstitution

0

02

2

cos1ttCd

e

p

0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Eeea cos11 22

00

22 cos11 ttCdEEeeaE

022 sin1 ttCEeEea

pGMC )1( 2eap

KeplergleichungKeplergleichung

03sin tta

GMEeE

Annette Eicker APMG 1

22

2211.04.23

KeplergleichungKeplergleichung

Umlaufzeit

Ein Umlauf:Ein Umlauf:

)(2 03 tta

GM

20E

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

03sin tta

GMEeE

ar

E

Annette Eicker APMG 1

23

2311.04.23

KeplergleichungKeplergleichung

Umlaufzeit

Ein Umlauf:Ein Umlauf:

)(2 03 tta

GM

20E

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

03sin tta

GMEeE

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab

Annette Eicker APMG 1

24

2411.04.23

KeplergleichungKeplergleichung

Umlaufzeit

Ein Umlauf:Ein Umlauf:

)(2 03 tta

GM

20E

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

03sin tta

GMEeE

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie)(: 0ttnM

03 tta

GMM

UmrechnungUmrechnung

MEeE sin

Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)

Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)

3

2:

a

GM

Tn

Umlaufszeitenzweier Planeten

Umlaufszeitenzweier Planeten

2 31 12 3

2 2

T a

T a

3. Keplersches Gesetz:

Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

3. Keplersches Gesetz:

Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

Annette Eicker APMG 1

25

2511.04.23

Anomalien

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

03 tta

GMM

Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie

MEeE sin

Wahre AnomalieWahre Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

ar

E

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit:

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit: 0t

Annette Eicker APMG 1

26

26

Zwischenfazit

11.04.23

1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt

2. Keplersches Gesetz

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

GM

aT

3

2

KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden

Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e

KeplerelementeKeplerelemente

a ei

Position, Geschwindigkeit

Position, Geschwindigkeit

r r

Annette Eicker APMG 1

27

2711.04.23

Anwendung:Kommunikationssatellit

Anwendung:Kommunikationssatellit

Annette Eicker APMG 1

28

2811.04.23

Fernsehsatellit

ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2CASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C

www.ses-astra.com

Annette Eicker APMG 1

29

2911.04.23

Geostationärer Satellit

http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.htmlhttp://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.html

Annette Eicker APMG 1

30

3011.04.23

Keplerelemente

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität

Perigäumsdurchgangszeit

Lage:

i Inklination

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens

Argument des Perigäums

Perigäum

Knotenlinie

Annette Eicker APMG 1

31

3111.04.23

Geostationärer Satellit

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: 23h56m4sT

Erde heute

Erde nach 23h 56min

Sternenlicht aus dem Unendlichen

Annette Eicker APMG 1

32

3211.04.23

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:

Geostationärer Satellit

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

23h56m4sTExzentrizitätExzentrizität

0e

Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel

Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel

Grosse HalbachseGrosse Halbachse

42.164 kma

InklinationInklination0i

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert

Kreisbahn

Kein Perigäum

Kreisbahn

Kein Perigäum

Argument des Perigäumsnicht definiert

Argument des Perigäumsnicht definiert

Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert

Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert

Annette Eicker APMG 1

33

3311.04.23

http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.htmlhttp://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html

Satellitenbahnen

Annette Eicker APMG 1

34

3411.04.23

Anwendung:Erderkundungssatellit

Anwendung:Erderkundungssatellit

Annette Eicker APMG 1

35

3511.04.23

GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment )

JPL

Anforderungen an die Bahn:Anforderungen an die Bahn:

Globale Überdeckung

=> Polbahn => i≈90°

Gleichmäßige Überdeckung:

=> Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen

Niedrige Flughöhe

Annette Eicker APMG 1

36

3611.04.23

Bodenspuren

Annette Eicker APMG 1

37

3711.04.23

Bodenspuren

30 Tage30 Tage

15 Tage15 Tage1 Tag1 Tag

Annette Eicker APMG 1

38

3811.04.23

GOCE - Orbit

Annette Eicker APMG 1

39

3911.04.23

Anwendung:Repeat Orbits

Anwendung:Repeat Orbits

Annette Eicker APMG 1

40

4011.04.23

Prinzip Altimetrie

W. Bosch

Annette Eicker APMG 1

41

4111.04.23

TOPEX/Poseidon

Repeat Orbitnach 9,916 Tagen

(127 Umläufe)

Repeat Orbitnach 9,916 Tagen

(127 Umläufe)

Annette Eicker APMG 1

42

4211.04.23

GRACE

Juli 2003

Juli 2004

Annette Eicker APMG 1

43

43

Zwischenfazit

11.04.23

1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt

2. Keplersches Gesetz

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

GM

aT

3

2

KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden

Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e

KeplerelementeKeplerelemente

a ei

Position, Geschwindigkeit

Position, Geschwindigkeit

r r