Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen.

Annette Eicker APMG 1

1

11.04.23

Annette Eicker

Kugelfunktionen


2

11.04.23

Wiederholung: Gravitationspotential

PotentialPotential

)()(1

QQ

QP

P dGV rrrr

r

z

y

x

PrAufpunkt:

w

v

u

QrQuellpunkt:

FeldstärkeFeldstärke

dwdvduwvuwzvyux

wzG

dwdvduwvuwzvyux

vyG

dwdvduwvuwzvyux

uxG

zzyxV

yzyxV

xzyxV

zyx

),,()()()(

),,()()()(

),,()()()(

,,

,,

,,

,,

3222

3222

3222

g

dwdvduwvuwzvyux

GzyxV ),,()()()(

1),,(

222

Wir haben diese Integrale gelöst

Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche

(für einfache Körper)


3

11.04.23

Kugel mit homogener Dichteverteilung

z

z

z

z

Vzg z

2

3

3

4

z

GRzg z

zG3

4

2

3

3

4

z

GRzg z

z

GRzV

3

4 3

z

GRzV

3

4 3

3

22

2 zRG

zV


4

11.04.23

Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung

z

z

z

PV r

Pzg r


5

11.04.23

)(3

4 31

32 RR

r

GV

r

Potential im Außenraum

Potential im Außenraum )( 2Rr

GesamtmasseGesamtmasse

31

323

4RRM

( )GM

Vr

r

r

GRV

3

4 3 r

GesamtmasseGesamtmasse

3

3

4RM

( )GM

Vr

r

Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt

Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt

Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.

Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.

( )r R


6

11.04.23

Massenverteilung und Potential

Inverses Problem:Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die

Massenverteilung schließen.

Inverses Problem:Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die

Massenverteilung schließen.

Annahme:Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche,

Annahme einer dünnen Schicht

Annahme:Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche,

Annahme einer dünnen Schicht

In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig.In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig.

FeldstärkeFeldstärke

)()(3 QQ

QP

QPP dG rr

rr

rrrg

Potential

mit der Flächendichte

Potential

mit der Flächendichte

)()(1

QQ

QP

P dGV rrrr

r

2/)( mkgQr


7

11.04.23

Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte

z

z

z

z

Vzg z

zV

z

GRzV

24

z

GRzV

24

4V z RG

0zg z 2

24

z

GRzg z

2

24

z

GRzg z


8

11.04.23

Divergenz der GravitationsfeldstärkeDivergenz der Gravitationsfeldstärke

Divergenz und Laplaceoperator

Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen

Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen

2

2

2

2

2

2

divz

V

y

V

x

V

zV

yV

xV

z

y

x

V

g

Vg

LaplaceoperatorLaplaceoperator

2

2

2

2

2

2

:zyx

Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen

Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV


9

11.04.23

Laplace- und Poissongleichung

Für beliebige Massenanordnungen gilt:Für beliebige Massenanordnungen gilt:

Außerhalb der Massen:

Laplacegleichung

Außerhalb der Massen:

Laplacegleichung

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

Innerhalb der Massen:

Poissongleichung

Innerhalb der Massen:

Poissongleichung

Gz

V

y

V

x

VV 4

2

2

2

2

2

2

Funktionen,die die Laplacegleichung erfüllen,

nennt manharmonische Funktionen.

Funktionen,die die Laplacegleichung erfüllen,

nennt manharmonische Funktionen.


10

11.04.23

Gaußscher Integralsatz

Gaußscher IntegralsatzGaußscher Integralsatz

dd ngg

n

Integration aller Quellen eines Volumens =Integraler Fluss durch die Oberfläche

Anwendung auf das GravitationsfeldAnwendung auf das Gravitationsfeld

dg

dV

dV

dG4

dG 4

GM4

Gaußsche FormelGaußsche Formel

GMd 4

ng


11

11.04.23

Repräsentation des Gravitationspotentials

(Kugelfunktionen)

Repräsentation des Gravitationspotentials

(Kugelfunktionen)


12

11.04.23

Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben.

Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche

Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…


13

11.04.23

Gravitationspotential

product_type gravity_fieldmodelname ITG-Grace03comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE dataearth_gravity_constant 3.986004415e+14radius 6378136.6max_degree 180key L M C S sigma C sigma Send_of_head =========================================================================gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00

gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13

gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13

gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00

gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13

gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13

gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13

gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00

gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13

gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13

gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13

gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13

gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00

gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13

...

product_type gravity_fieldmodelname ITG-Grace03comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE dataearth_gravity_constant 3.986004415e+14radius 6378136.6max_degree 180key L M C S sigma C sigma Send_of_head =========================================================================gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00

gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13

gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13

gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00

gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13

gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13

gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13

gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00

gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13

gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13

gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13

gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13

gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00

gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13

...

Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern?

- Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)

Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern?

- Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)


14

11.04.23

Approximation

Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMsBeispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs

x

y

Approximation durch ein Polynom

Vorteile:

- Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden.

- Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.

Approximation durch ein Polynom

Vorteile:

- Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden.

- Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.


15

11.04.23

Approximation

Approximation des Potentials durch räumliche PolynomeApproximation des Potentials durch räumliche Polynome

2310

239

338

237

336

352

342

332

323

31

22625

2242322

221

1312110),,(

yzaxzazazyaya

xyzaxyazxayxaxa

zayzayaxzaxyaxa

zayaxaazyxV

Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad nGruppierung in Polynome mit homogenem Grad n

0

),,(),,(n

n zyxhzyxf

Homogenes Polynom vom Grad nHomogenes Polynom vom Grad n

( , , ) i k ln nm

i k l n

h x y z a x y z

Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5

54225 2315),,( zxyzyxzyxh


16

11.04.23

Homogene Polynome

Homogenes Polynom vom Grad nHomogenes Polynom vom Grad n

( , , ) i k ln nm

i k l n

h x y z a x y z

Es gilt:Es gilt:

),,(),,( zyxhrrzryrxh nn

n

Beweis:Beweis:

),,( rzryrxhn

n i k lnm

i k l n

r a x y z

( ) ( ) ( )i k lnm

i k l n

a rx ry rz

( )i k l i k l

nmi k l n

a r x y z

),,( zyxhr nn

Es gibtlinear unabhängige homogene Polynome von Grad n

Es gibtlinear unabhängige homogene Polynome von Grad n

)2)(1(21 nn

Beispiel:

n=2

Beispiel:

n=2

12 ( 1)( 2) 6n n

Polynome:

2 2 2, , , , ,x y z xy xz yz


17

11.04.23

Homogene harmonische Polynome

Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch

=> Die Approximation sollte auch harmonisch sein

=> Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein




02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen


0

),,(),,(n

n zyxHzyxV

Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen


m

nmnmn zyxHazyxH ),,(),,(

Beispiel: Grad n=2Beispiel: Grad n=2

22225

2224

23

22

21

2),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

xyzzyxH

yxzyxH

yzzyxH

xzzyxH

xyzyxH

Wie viele Basisfunktionen gibt es?Wie viele Basisfunktionen gibt es?


18

11.04.23


Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2

Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2

Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad nEs gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n

BeweisBeweis

( , , ) i k ln nm

i k l n

h x y z a x y z

2 2 2( , , ) ( 1) ( 1) ( 1)i k l i k l i k l

n nm nm nmi k l n

h x y z a i i x y z a k k x y z a l l x y z

Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n

Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt.

Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.

Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n

Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt.

Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.

)2)(1(21 nn

)2)2)((1)2((21 nn

12)2)2)((1)2(()2)(1( 21

21 nnnnn


19

11.04.23








02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV



0

),,(),,(n

n zyxHzyxV



12

1

),,(),,(n

mnmnmn zyxHazyxH

Beispiel: Grad n=2Beispiel: Grad n=2

22225

2224

23

22

21

2),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

xyzzyxH

yxzyxH

yzzyxH

xzzyxH

xyzyxH

n

nmnmnmn zyxHazyxH ),,(),,(

oder wenn man negative Indizies einführt:

Grad nGrad n Ordnung mOrdnung m


20

11.04.23

Kugelflächenfunktionen

Sphärische PolarkoordinatenSphärische Polarkoordinaten

cos

sinsin

sincos

r

r

r

z

y

x

r

homogene harmonische Polynomehomogene harmonische Polynome

),(

)cos,sinsin,sin(cos

)cos,sinsin,sincos(),,(

nmn

nmn

nmnm

Yr

Hr

rrrHzyxH

Darstellung des PotentialsDarstellung des Potentials

0

),(),,(n

n

nmnmnm

n YarrV

Approximation von Funktionen auf der KugelApproximation von Funktionen auf der Kugel

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf

Kugelflächenfunktion:homogenes harmonisches

Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche

Kugelflächenfunktion:homogenes harmonisches

Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche


21

11.04.23

Approximation durch Kugelflächenfunktionen

Approximation durch Kugelflächenfunktionen


22

11.04.23

Approx. durch Kugelflächenfunktionen

Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


23

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


24

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


25

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


26

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


27

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


28

11.04.23


Grad nAnzahl der

Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0

),(),(n

n

nmnmnmYaf


29

11.04.23

Kugelfunktionen

Approximation des PotentialsApproximation des Potentials

0

),(),,(n

nnYrrV

Laplacesche KugelflächenfunktionenLaplacesche Kugelflächenfunktionen

n

nmnmnmn YaY ),(),(

Die Reihe konvergiert nur für r<1Die Reihe konvergiert nur für r<1


01

),(1

),,(n

nnY

rrV

Diese Reihe ist ebenfalls harmonischund konvergiert für r>1

Beweis: nächste Folien




30

11.04.23

Laplace OperatorLaplace Operator

Laplace und Beltrami Operator

Laplace Operator in sphärischen KoordinatenLaplace Operator in sphärischen Koordinaten

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

2

2

2222

2

22

2

sin

1

tan

112

V

r

V

r

V

rr

V

rr

VV

2

2

22

2

22

2

sin

1

tan

112

VVV

rr

V

rr

V

Vrr

V

rr

V *22

2 12

Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)

2

2

22

2*

sin

1

tan

1

VVV

V


31

11.04.23

Kugelfunktionen


0

),(),,(n

nnYrrV

Die Reihe konvergiert nur für r<1Die Reihe konvergiert nur für r<1


01

),(1

),,(n

nnY

rrV





Wir wissen, dass die Laplacegleichung

hierfür gilt

Wir wissen, dass die Laplacegleichung

hierfür gilt

2*

2 2

2 10

V VV V

r r r r

Ziel: zeigen, dass dann die

Laplacegleichung auch

dafür gilt!


32

11.04.23

Laplace OperatorLaplace Operator

Laplace und Beltrami Operator

Vrr

V

rr

VV *

22

2 12

0),( nnYr

),(11

nnY

r*

3 3 3

( 1)( 2) 2( 1) 1( , ) ( , ) ( , )n n nn n n

n n nY Y Y

r r r

*3 3

( 1) 1( , ) ( , )n nn n

n nY Y

r r

2 2 2 *( 1) ( , ) 2 ( , ) ( , )n n nn n nn n r Y nr Y r Y

2 2 *( 1) ( , ) ( , ) 0n nn nn n r Y r Y

( 2) 3: :n nr r

*3 3

( 1) 1( , ) ( , ) 0n nn n

n nY Y

r r

0

* ( , ) ( 1) ( , )n nY n n Y


33

11.04.23

Kugelfunktionen

Approximation des Potentials für r<1Approximation des Potentials für r<1

0

),(),,(n

nnYrrV

Laplacesche KugelflächenfunktionenLaplacesche Kugelflächenfunktionen

n

nmnmnmn YaY ),(),(

Approximation des Potentials für r>1Approximation des Potentials für r>1

01

),(1

),,(n

nnY

rrV

Kugelflächenfunktionen


34

11.04.23

Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung

Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung


35

11.04.23

Gesucht sind alle Lösungen der LaplacegleichungGesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung

Lösung der Laplace Gleichung

012 *22

2

Vrr

V

rr

VV

Annahme: Lösung entspricht folgendem SeparationsansatzAnnahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz

),()(),,( YrfrV

In die Laplacegleichung eingesetzt:In die Laplacegleichung eingesetzt:

0),()(1),()(2),()( *22

2

Yrf

rr

Yrf

rr

Yrf

0),()()(),(2)(

),( *22

2

Y

r

rf

r

rf

r

Y

r

rfY

),(),(

1)(

)(

2)(

)(*

2

22

YYr

rf

rf

r

r

rf

rf

r

Beltrami OperatorBeltrami Operator

2

2

22

2*

sin

1

tan

1

YYY

Y

2

( ): : ( , )f r

Yr


36

11.04.23


),(),(

1)(

)(

2)(

)(*

2

22

YYr

rf

rf

r

r

rf

rf

r

Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von

=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.

=> Wahl der Konstanten

Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von



),(

)1( nn

Linke Seite:Linke Seite:

)1()(

)(

2)(

)( 2

22

nnr

rf

rf

r

r

rf

rf

r

)()1()(

2)(

2

22 rfnn

r

rfr

r

rfr

DGL hat zwei linear unabhängige LösungenDGL hat zwei linear unabhängige Lösungen

nrrf )(1)1(

2 )( nrrf

Rechte Seite:Rechte Seite:

),(),(

1)1( *

Y

Ynn

),()1(),(* YnnY


37

11.04.23



),()1(),(* YnnY

Annahme: Lösung entspricht folgendem SeparationsansatzAnnahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz

)()(),( pgY

Beltrami OperatorBeltrami Operator

2

2

22

2*

sin

1

tan

1

YYY

Y

YnnYYY

)1(sin

1

tan

12

2

22

2

eingesetzt:eingesetzt:2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( )

tan sin

p g p p gg n n g p

2

2

2

22 )(

)(

1)()1(

)(

sin

cos)(

)(

sin

g

gpnn

pp

p

2

: ( )

sin

( )

g

p


38

11.04.23


22

22

)()1()(

sin

cos)(

)(

sinmpnn

pp

p


Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von






2m


22

2 )(

)(

1m

g

g

)()( 2

2

2

gm

g

DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen


mg cos)(1 mg sin)(2

0)(sin

sin)1()(

cos)(

sin2

2

2

p

mnn

pp

2

2

2

22 )(

)(

1)()1(

)(

sin

cos)(

)(

sin

g

gpnn

pp

p

Lösung der DGL sind die sogenanntenzugeordneten legendreschen Polynome


)(cos)( mnPp


39

11.04.23



mg cos)(1 mg sin)(2









2m


22

2 )(

)(

1m

g

g

)()( 2

2

2

gm

g

0)(sin

sin)1()(

cos)(

sin2

2

2

p

mnn

pp

2

2

2

22 )(

)(

1)()1(

)(

sin

cos)(

)(

sin

g

gpnn

pp

p

22

22

)()1()(

sin

cos)(

)(

sinmpnn

pp

p



)(cos)( mnPp

00 (cos ) 1P

01 (cos ) cosP 11 (cos ) sinP

0 22 (cos ) 1/ 2(3cos 1)P 12 (cos ) 3sin cosP 2 22 (cos ) 3sinP

03 (cos )P


40

11.04.23


Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung

Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung

0V

Spezielle Lösung

mit

Spezielle Lösung

mit

)()()(),,( pgrfrV

nrrf )(1)1(

2 )( nrrf

mg cos)(1

mg sin)(2

)(cos)( mnPp

Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller LösungenDie allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen

mPsmPcr

rVn

n

m

mnnm

mnnmn

sin)(coscos)(cos1

),,(0 0

1

mPsmPcrrVn

n

m

mnnm

mnnm

n sin)(coscos)(cos),,(0 0

Vergleich: Fourier-ReiheVergleich: Fourier-Reihe

1

( ) cos( ) sin( )n nn

f t a n t b n t

Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel

Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen.

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