Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 17. November 2011 Das Keplerproblem (Teil 3)

Annette Eicker APMG 1

1

11.04.23

Annette Eicker17. November 2011

Das Keplerproblem (Teil 3)


2

11.04.23

Wiederholung: Keplergesetze

3. Keplersches Gesetz:

Die Quadrate der Umlaufszeiten derPlaneten sind proportional zur drittenPotenz der großen Halbachsen.


Die Quadrate der Umlaufszeiten derPlaneten sind proportional zur drittenPotenz der großen Halbachsen. GM

aT

3

2


Die Planetenbahnen sind Ellipsenmit der Sonne im Brennpunkt


Die Planetenbahnen sind Ellipsenmit der Sonne im Brennpunkt


In gleichen Zeitintervallen werdengleiche Flächen überstrichen.


In gleichen Zeitintervallen werdengleiche Flächen überstrichen.

cos1 e

pr

Crr


3

11.04.23

Wiederholung: Keplerelemente

a eaPerigäum

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität

Perigäumsdurchgangszeit


4

11.04.23

Wiederholung: Keplerelemente

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität


Lage:

i Inklination

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens

Argument des Perigäums

Perigäum

Knotenlinie


5

11.04.23

Wiederholung: Verlauf des Satelliten auf der Bahn

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

03 tta

GMM

Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie

MEeE sin

Wahre AnomalieWahre Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

ar

E

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit:

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit: 0t


6

Zwischenfazit

11.04.23

1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt

2. Keplersches Gesetz

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.

3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

GM

aT

3

2

KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden

Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e

KeplerelementeKeplerelemente

a ei

Position, Geschwindigkeit

Position, Geschwindigkeit

r r


7

Umrechnungen

11.04.23


a e

i

Orts- und Geschwindigkeitsvektor


r r

Die Satellitenbewegung kann mit 6 Parametern beschrieben werden

Die Satellitenbewegung kann mit 6 Parametern beschrieben werden


8

11.04.23

Berechnung von Position und Geschwindigkeit aus den

Keplerelementen

Berechnung von Position und Geschwindigkeit aus den

Keplerelementen


9

11.04.23

Position und Geschwindigkeit

Exzentrische AnomalieExzentrische AnomalieMEeE sin

KeplerelementeKeplerelemente a e i


ta

GMM 3

Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden!=> Iteration notwendig

Diese Gleichung soll nach E aufgelöst werden!=> Iteration notwendig

Iteration:Iteration:

1 sink kE M e E Alle Winkel im Bogenmaß!

Startwert:Startwert:

0E M

Iteration der Kepler-Gleichung:


10

11.04.23




Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

AbstandAbstand

cos1 e

pr



ta

GMM 3

)1( 2eap BahnsystemBahnsystem

i

i

i

sinsin

cossincoscossin

cossinsincoscos

P

i

i

i

sincos

coscoscossinsin

coscossinsincos

QpGMC

Position und GeschwindigkeitPosition und Geschwindigkeit

QPr sincos rr

QPr )(cossin eC

GM

C

GM


11

11.04.23



ta

GMM 3



Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

BahnsystemBahnsystem

i

i

i

sinsin

cossincoscossin

cossinsincoscos

P

i

i

i

sincos

coscoscossinsin

coscossinsincos

Q


QPr sincos rr

QPr )(cossin ep

GM

p

GM

)1( 2eap

AbstandAbstand

cos1 e

pr



12

Umrechnungen

11.04.23


a e

i



r r


13

11.04.23

Berechnung der Keplerelemente aus Position und Geschwindigkeit

Berechnung der Keplerelemente aus Position und Geschwindigkeit


14

11.04.23

Keplerelemente

Gegeben: zum Zeitpunkt tGegeben: zum Zeitpunkt trr , Crr

i

iK

K

0C3e

1e2e

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

,i


15

11.04.23

Crr

Keplerelemente

Gegeben: zum Zeitpunkt tGegeben: zum Zeitpunkt t

GM

Cp

2

rr ,

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

,i)1( 2eap ExzentrizitätExzentrizität

a

pae

Wir brauchen a!Wir brauchen a!


16

11.04.23

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

0

cos

sin

ep

C

r

2222

22 cos2cossin ee

p

C r

Große Halbachse a

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

0

cos

sin

eC

GM

r

22

22 cos21 ee

p

C r

1cos22 22

22 ee

p

C r

p

e

p

e

p

C 222 1cos1

2

r

)1( 2eap cos1 e

pr

arGM

122r

GMr

a 22

1

r

GM

Cp

2


17

11.04.23

Crr

ExzentrizitätExzentrizität

a

pae

Keplerelemente


GM

Cp

2

rr ,

Große HalbachseGroße Halbachse122

GMr

ar

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

,i

Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


i

a

e


18

11.04.23

sinsincossincos erC

GMr

C

GMr

C

GMrr

Wahre Anomalie

AbstandAbstand

cos1 e

pr

GeschwindigkeitGeschwindigkeitPositionPosition

0

sin

cos

)(

r

r

tr

0

cos

sin

eC

GM

r

sinerC

GMrr

er

rp cos GMre

C rr sin


19

11.04.23

Crr


a

pae

Keplerelemente


GM

Cp

2

rr ,


GMr

ar

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

,i


er

rp cos

GMre

C rr sin

Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


i

a

e


20

11.04.23

Exzentrische Anomalie

a

ae

r

E

aeEar coscos

ea

rE

coscos

sinsinsin)( rEaEba 21

sinsin

ea

rE


21

11.04.23

Crr


a

pae

Keplerelemente



GM

Cp

2

rr ,

er

rp cos

GMre

C rr sin


GMr

ar


ea

rE cos

cos

21

sinsin

ea

rE

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

,i

PerigäumsdurchgangszeitPerigäumsdurchgangszeit

GM

aMt

3


EeEM sin

Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


Keplerelemente:

Inklination

Rektaszension


Große Halbachse

Exzentrizität


i

a

e


22

11.04.23


Knotenlinie


Knotenlinie


Perigäum

Knotenlinie

0

sin

cos

K

QK

PK

sin

cos Q


23

11.04.23


Knotenlinie


Knotenlinie


Perigäum

0

sin

cos

K

QK

PK

sin

cos

PQ

K

Knotenlinie

-Q

90

Wir suchen immer noch , dafür fehlen jetzt noch P und Q.


24

11.04.23

Bahnsystem


QPr sincos rr

QPr )(cossin eC

GM

C

GM

In MatrixformIn Matrixform

Q

P

r

r

)(cossin

sincos

eC

GM

C

GM

rr

Inverse TransformationInverse Transformation

r

r

Q

P

C

r

p

C

r

p

e

cossin

sincos


25

11.04.23

Crr


a

pae

Keplerelemente

Mittlere AnomalieMittlere AnomalieEeEM sin



PerigäumsdurchgangszeitPerigäumsdurchgangszeit

GM

aMt

3

GM

Cp

2

rr ,


ea

rE cos

cos

21

sinsin

ea

rE

er

rp cos

GMre

C rr sin


GMr

ar

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0C

BahnsystemBahnsystem

r

r

Q

P

C

r

p

C

r

p

e

cossin

sincos

,i

Arg. des PerigäumsArg. des Perigäums

QK

PK

sin

cos

KnotenlinieKnotenlinie

yx eeK sincos


26

11.04.23

ErhaltungssätzeErhaltungssätze


27

-11.04.23

(Linearer) Impuls(Linearer) Impuls

Impuls und Drehimpuls

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m Krrr m

(Bahn)Drehimpuls:(Bahn)Drehimpuls: prL

Drehmoment:Drehmoment:

rK

KrM Krpr

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

ML

rp m

Änderung des Impulses benötigt eine Kraft

Änderung des Impulses benötigt eine Kraft

Kp

ImpulserhaltungImpulserhaltung

0 0 K pDrehimpulserhaltungDrehimpulserhaltung

0 0 M L Bis hierhin bereits bekannt

=> Es fehlt noch die Energieerhaltung

Bis hierhin bereits bekannt

=> Es fehlt noch die Energieerhaltung


28

11.04.23

EnergieerhaltungEnergieerhaltung

Bekannt: E=T+V=const.

kinetische Energie21

2mr potentielle Energie

AnimationAnimation


29

11.04.23

Energieerhaltung


Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom

Ort abh.)

(entlang der Bahn)

(Arbeit A)2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C)

Ab jetzt: Sonderfall

konservatives Kraftfeld( )K r


30

11.04.23

Was ist ein konservatives Kraftfeld?Was ist ein konservatives Kraftfeld?


31

11.04.23

Konservatives Kraftfeld

Ein Kraftfeld

ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:

Ein Kraftfeld


rK

1. Es existiert eine Potentialfunktion1. Es existiert eine Potentialfunktion

rrK Vm


32

11.04.23


Ein Kraftfeld


Ein Kraftfeld


rK


rrK Vm

Die Gravitationskraft ist konservativ.

Potentialfunktion: Gravitationspotential

V

xV

Vy

V

z

g r r


33

Potential

11.04.23

Potential Höhe

Feldstärke Steigung

rrK Vm

große Höhe, kaum Steigung

große Höhe, kaum Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung


34

11.04.23



Ein Kraftfeld


Ein Kraftfeld


rrK Vm

rK

3. Das Feld ist wirbelfrei3. Das Feld ist wirbelfrei

0rK

2. Das Schleifenintegral verschwindet

Die Arbeit ist wegunabhängig:



0 rrK d

)()( AE mVmVdE

A

rrrrKr

r

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen


35

11.04.23



Ein Kraftfeld


Ein Kraftfeld


rrK Vm

rK

3. Das Feld ist wirbelfrei3. Das Feld ist wirbelfrei

0rK





0 rrK d

)()( AE mVmVdE

A

rrrrKr

r

konservativ

konservativ

nicht konservativ


36

11.04.23

Energieerhaltung


Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom

Ort abh.)

(entlang der Bahn)

(Arbeit A)2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )T t T t mV mV r r

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r r


37

11.04.23

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r rˆ( ) ( )V mVr r

Potentielle Energie Potential

potentielle Energie

ˆE T V

Gesamtenergie2 2 1 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )T t V T t V r r

1 2( ) ( ) .E t E t const

Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant

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