Arithmetik

4. Die natürlichen Zahlen

1 M

n M (n + 1) M

1 M

n M (n + 1) M

(4.1)

(4.2)

Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt M (4.3)

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

1 + 2 + 3 + ... + 100

100 + 99 + 98 + ... + 1

101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

= 5050

4.2 Der binomische Satz

Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)2 =

02 a2b0 +

12 a1b1 +

22 a0b2

Binomialkoeffizienten

02 = 1,

12 = 2 und

22 = 1

(a + b)n =

0n anb0 +

1n an-1b1 +

2n an-2b2 + ... +

nn a0bn

kn

kkknnnn

1)(3211)(2)1)((

= = 1

0n

1n

1-n

n= n =

nn

=

4.2 Der binomische Satz

kn

kkknnnn

1)(3211)(2)1)((

= = 1

0n

1n

1-n

n= n =

nn

=

1n

1n

=

2n

=

211)(

nn

3n

= 3212)1)((

nnn

usw.

nn

= nnnnnnn

1)(3211)(2)1)((

nnnnnn

1)2)((3211232)1)((

=

Pascalsches Zahlendreieck

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n

k kn

0 = 2n denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte.

k

n 1 =

1-k

n +

kn

Blaise Pascal(1623 - 1662)

23

57

810

649

4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten

5. Erweiterungen der Zahlenmenge

Die natürlichen Zahlen sind zwar abgeschlossen unter Addition und Multiplikation, denn für n, m ist (n + m) und (nm) . Dagegen ist n - m und n/m nicht immer eine natürliche Zahl.

5.1 Die ganzen ZahlenDie Erweiterung zu den ganzen Zahlen geschah im 13. Jahrhundert, im Zeitalter des aufblühenden Bankwesens, durch Leonardo von Pisa über die Interpretation von negativen Zahlen als Schulden.

Leonardo von Pisa (1170 - 1240)= Fibonacci

= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

x ≤ |x|

Die Abbildung Absolutbetrag bildet die ganze Zahl x auf die nicht negative Zahl |x| ab

0 falls0falls{

xx-xx

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

|x + y| ≤ |x| + |y|

|x| =

5.3 Die rationalen Zahlen

dbbc da

bdbc

dbda

dc

ba

31

6/22/2

62

dbca

dc

ba

cd

ba

dc

ba

/

Schon im 14 Jahrhundert hat Nicole von Oresme mit Hilfe von Identitäten wie

43 = 64 = 82

sogar gebrochene Exponenten eingeführt

43/2 = 8

Nicole von Oresme(1323 - 1382)

Vorsicht bei negativen Zahlen!

(-8) = (-2)3 = (-2)6/2 = 64 = 8

ist falsch. Grundsätzlich dürfen nur positive Zahlen mit gebrochenen Exponenten versehen werden.

3 5 810 10 10 x y x y10 10 10 x y x ya a a

xx

1a a

xx y x y

yaa a a a

x

x x x x 0x

aa a a 1 aa

310 10 10 10 1000

a 0

y yx ( x )a : a

yx x y( a ) : a

Wotans Ring Draupnir

t/s Anzahl

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

80 Protonen im Weltall

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

80 Protonen im Weltall

43 min 1000! übertroffen

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

80 Protonen im Weltall

43 min 1000! übertroffen

? 999

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

11 Sterne in der Milchstraße

14 Bakterien im menschlichen Darm

20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

22 Sterne im Weltall

34 Bakterien in den Erdmeeren

38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

80 Protonen im Weltall

43 min 1000! übertroffen

11 a 263 d 999

5.5 Die reellen Zahlen

2 a/b

2b2 = a2 ?

Jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die nicht selbst eine natürliche Zahl ist, kann nicht als Bruch dargestellt werden.

Man bezeichnet solche Zahlen als Irrationalzahlen.

= U

Die Gleichung

x2 = 2

besitzt zwei Lösungen, nämlich 2 und -2.