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BCS-BEC-CROSSOVER
Hauptseminarvortrag
Silvan Kretschmer
Dresden, 06/2014
1 Fermionische Kondensation: Phänomenologie
2 BCS - Meanfield - Theorie: Gap-Gleichung und chemisches Potential
3 BCS - BEC - Crossover: Experimenteller Nachweis
TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 2 of 16
01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:
exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap
∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:
exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap
∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:
exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap
∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc
- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:
exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc
- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap
∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)
- Einteilchenanregungs-Gap ∆:exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)
- Einteilchenanregungs-Gap∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Fermionische Kondensate
BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden
BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden
Phasenübergang ?
- Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:
exponentiell klein zu EF
- Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand
- Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap
∆ ∼ Eb groß gegenüber EF
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01 Kontrollparameter - Feshbachresonanz
as ≡ a ... Streulänge
kF ... Fermi-Wellenzahl ∼ n1/3 ... Dichte
Streulänge a an einer Feshbachresonanz, Bindungsenergie Eb = − ~2
2mra2
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02 Vielteilchen-Hamiltonian
Ĥ =∑σ
∫d3rΨ̂†σ(~r)
(−∇2
2m− µ
)Ψ̂σ(~r)
+
∫d3r
∫d3r′Ψ̂†↑(~r)Ψ̂
†↓(~r′)V(~r,~r′)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r
′)
Kontaktwechselwirkung V(~r1,~r2) = V(~r = ~r1 −~r2) = gδ(~r) ∂∂r r mit g =4π~2am
:
Ĥ =∑σ
∫d3rΨ̂†σ(~r)
(−∇2
2m− µ
)Ψ̂σ(~r) + g
∫d3rΨ̂†↑(~r)Ψ̂
†↓(~r)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r)
Meanfield + uniformes Gas ⇒ ebene Wellen, Fouriertransformation∆ = − 1
V
∑k
Vk
〈ck↑c−k↓
〉︸ ︷︷ ︸
Fk
= − gV
∑k
〈ck↑c−k↓
〉, Fk...Ordnungsparameter:
ĤBCS =∑k,σ
(~2k2
2m− µ
)c†kσckσ + ∆
∑k
(c†k↑c†−k↓ + ck↑c−k↓) + const.
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02 Vielteilchen-Hamiltonian
Ĥ =∑σ
∫d3rΨ̂†σ(~r)
(−∇2
2m− µ
)Ψ̂σ(~r)
+
∫d3r
∫d3r′Ψ̂†↑(~r)Ψ̂
†↓(~r′)V(~r,~r′)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r
′)
Kontaktwechselwirkung V(~r1,~r2) = V(~r = ~r1 −~r2) = gδ(~r) ∂∂r r mit g =4π~2am
:
Ĥ =∑σ
∫d3rΨ̂†σ(~r)
(−∇2
2m− µ
)Ψ̂σ(~r) + g
∫d3rΨ̂†↑(~r)Ψ̂
†↓(~r)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r)
Meanfield + uniformes Gas ⇒ ebene Wellen, Fouriertransformation∆ = − 1
V
∑k
Vk
〈ck↑c−k↓
〉︸ ︷︷ ︸
Fk
= − gV
∑k
〈ck↑c−k↓
〉, Fk...Ordnungsparameter:
ĤBCS =∑k,σ
(~2k2
2m− µ
)c†kσckσ + ∆
∑k
(c†k↑c†−k↓ + ck↑c−k↓) + const.
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02 Lösung des BCS-Hamiltonians
BCS-Grundzustand: |ΨBCS〉 =∏k
(uk + vkc†k↑c†−k↓)|0〉
v2k =1
2
(1−
ηk√η2 + ∆2
)=
1
2
(1−
ηk
�k
)ukvk =
1
2
∆√η2k + ∆
2=
1
2
∆
�k=〈ck↑c−k↓
〉= Fk
Mit ηk =~2k22m− µ, �k =
√η2k + ∆
2.
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02 Paarkorrelationsfunktion und Gap-Gleichung
Paarkorrelationsfunktion R = r1+r22
, s = r1 − r2:
F(s) =〈
Ψ̂↑(R +s
2)Ψ̂↓(R−
s
2)〉
=
∫d3k
(2π)3Fke
iks
Gap-Gleichung:
∆ = −1
V
∑k
Vk
〈ck↑c−k↓
〉= −
∫d3s V(s)
〈Ψ̂↑(R +
s
2)Ψ̂↓(R−
s
2)〉
= −∫
d3s δ(s)∂
∂ss〈
Ψ̂↑(R +s
2)Ψ̂↓(R−
s
2)〉
= −g[∂
∂ssF(s)
]s=0
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02 Gap-Gleichung und chemisches Potential
Mit ηk =~2k22m− µ, �k =
√η2k + ∆
2:
m
4π~2a=
∫d3k
(2π)3
(m
~2k2−
1
2�k
)(∆)
n =k3F
3π2=
∫d3k
(2π)3
(1−
ηk
�k
)(µ)
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Verhalten von µ und |∆| beim BCS-BEC-Crossover [1]
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03 Experimenteller Nachweis
(2004) JILA: C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin. Observation of resonance condensationof fermionic atom pairs.
(2004) MIT: M.W. Zwierlein, C.A. Stan, C.H. Schunck, S.M.F. Raupach, A.J. Kerman, andW. Ketterle. Condensation of pairs of fermionic atoms near a Feshbach resonance.
BCS: Time-of-flight Aufnahmen des fermionischeKondensats (40K; paarweise Projektion) für ∆B =0.12, 0.25, and 0.55 G bei B0 = 202.10± 0.07 G [8]
BEC: Time-of-flight Aufnahmen derMolekülwolke (40K) für T > Tcbzw. T < Tc [4]
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03 Experimenteller Nachweis
Beobachtung von Vortices in einem starkwechselwirkenden Fermigas (6Li; NachweisSuprafluidität und Phasenkoheränz) [3]
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04 Referenzen
[1] Leggett, A.J. Quantum Liquids - Bose Condensation and Cooper Pairingin Condensed-Matter Systems, Oxford University Press, (2006)
[2] Giorgini, S. and Pitaevskii, L and Stringari, S. Theory of ultracold atomicFermi gases Rev. Mod. Phys. 80, 1215 (2008)
[3] Ketterle, W. et al. Superfluidity in a gas of strongly interacting fermions.Journal of Physics: Condensed Matter 21.16 (2009): 164206.
[4] Greiner, M. and Regal, C.A. and Jin, D.S. Emergence of a molecularBose-Einstein condensate from a Fermi gas. Nature: Volume 426 (2003)
[5] Randeria, M. and Taylor, E. BCS-BEC Crossover and the Unitary FermiGas. Condensed Matter Physics: Vol. 5: 209-232 (2014)
[6] http://www.nature.com (04/06/2014).
[7] M. Zwierlein Teilchen auf Partnersuche, Physik Journal 7 Nr. 12 (2008).
[8] C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin. Observation of resonancecondensation of fermionic atom pairs. Phys. Rev. Lett., 92:040403, (2004)
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05 Anhang: BCS/BEC-Grenzfall analytisch [2]
BCS a→ 0− :E0
N=
3
5EF
(1−
40
e4eπ/kFa + ...
)BEC a→ 0+ :
E0
N= −
~2
2ma2+
3
5EF
(5kFa
9π−
5(kFa)4
54π2+ ...
)
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Fermionische Kondensation: PhänomenologieBCS - Meanfield - TheorieExperimenteller NachweisReferenzenAnhang