BIT – Schaßan – WS 02/03

Basisinformationstechnologie

HK-Medien

Teil 1, 3.SitzungWS 02/03

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Verknüpfungstabelle AND

Wird die Wertetabelle "AND" auf zwei Aussagen A und B angewandt, erhält man folgende Verknüpfungstabelle:

A B A ⋀ B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1Gumm/Sommer benutzen statt A ⋀ B auch A * B

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Verknüpfungstabelle OR

Wird die Wertetabelle "OR" auf zwei Aussagen A und B angewandt, erhält man folgende Verknüpfungstabelle:

A B A ⋁ B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1Gumm/Sommer benutzen statt A ⋁ B auch A + B

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Verknüpfungstabelle XOR

Wird die Wertetabelle "XOR" auf zwei Aussagen A und B angewandt, erhält man folgende Verknüpfungstabelle:

A B A ⋀ B'

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

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Gleichungen

Ob zwei Aussagen gleich sind, kann man durch Wertevergleich herausfinden.x y z y ⋁ z x ⋀ (y ⋁

z)x ⋀ y x ⋀ z (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀

z)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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Distributiver Verband

Eine Menge gültiger Gleichungen, die die folgende Struktur erfüllt, heißt distributiver Verband.

x ⋁ x = x Indempotenz x ⋀ x = xx ⋁ y = y ⋁ x Kommutativität x ⋀ y = y ⋀ x

x ⋁ (y ⋁ z) = (x ⋁ y) ⋁ z Assoziativität x ⋀ (y ⋀ z) = (x ⋀ y) ⋀ z

x ⋀ (x ⋁ y) = x Absorption x ⋁ (x ⋀ y) = xx ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z) Distributivität

x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z)

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Chips

Ein Chip ist ein Silizium-Plättchen, auf das die Transistoren aufgebracht werden. Der entstehende Schaltkreis heißt Integrated Circuit (IC).Die Verbindung nach außen wird mittels Golddrähten und sog. Beinchen (pins) realisiert, die an den Seiten und unter dem Chip herausführen. Es entsteht ein Pin Grid Array (PGA).Ein Intel Pentium-4 hat 423 Pins.

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Chip-Größen

Intel Pentium-4:42 Mio. Transistorfunktionen auf 217 mm2

Motorola PowerPC 7450:33 Mio. Transistorfunktionen auf 106 mm2

Benötigte Energie pro Schaltvorgang:1 pJ (Picojoule) = 10-12 JSchaltverzögerungen: NMOS-Transistoren: 0,8 ns CMOS-Transistoren: 0,08 ns

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Transistoren

MOS = Metal-Oxide-Semiconductor

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Transistoren als Schalter

Der Transistor besitzt drei Anschlüsse: Emitter, Gate und Kollektor (Source, Gate, Drain)

Ist auf dem Gate keine Ladung, dann ist der Schalter offen und es kann kein Strom fließen

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Schaltkreise

Schaltkreise sind aus Transistoren zusammen gesetzt. Die Transistoren werden als elektrische Ein-Aus-Schalter benutzt.Durch Kombination von solchen Schalter entstehen Schaltkreise, die beliebige Schaltaufgaben lösen können.Für die Lösungen wird die boolesche Algebra gebraucht.

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Einfache Schaltungen

Stromkreis aus Batterie B, Widerstand R (bzw. Lampe L) und Schalter S:

S L

0 0

1 1

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Serienschaltung

Ersetzt man den Schalter S durch S1 und S2, erhält man folgendes mögliche Schaltbild:

Und folgende Wertetabelle:

S1 S2 L

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Parallelschaltung

Eine zweite mögliche Schaltung mit den Schaltern S1 und S2 ergibt:

Und folgende Wertetabelle:

S1 S2 L

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

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Schaltungen gleicher Funktion

Es kann vorkommen, dass zwei Terme dieselbe Schaltfunktion beschreiben:

x ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z)

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Wechselschaltung

Eine Schaltung, die nicht durch eine SP-Schaltung zu realisieren ist, ist die Wechselschaltung. Aufgabe: Eine Lampe soll von zwei

verschiedenen Schaltern unabhängig ein- und ausgeschaltet werden können.D.h., jede Veränderung an einem Schalter ändert den Zustand der Lampe.

Welche Wertetabellen erfüllen dies?

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Wertetabelle für WS

Wie findet man den booleschen Term zu einer gegebenen Schaltfunktion?

x y L

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

x y L

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Realisierung von Schaltfunktionen

Definition: Ein Literal ist eine Variable oder eine negierte Variable. Ein Monom ist ein Produkt vom Literalen. Ein Monom wird nur dann zu 1, wenn

jedes darin enthaltene Literal 1 oder jedes negierte Literal 0 ist.x'yz' ist 1, wenn y = 1 und x,z = 0

Eine Summe zweier Monome wird 1, wenn mindestens ein Monom 1 ist.

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Realisierung (2)

Die Schaltfunktion liefert an zwei Stellen eine 1, sie ist also als Summe von 2 Monomen m1, m2 zu schreiben:

x y m1 m2 m1 ⋁ m2

0 0 0 0 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1 1 0 0 0

m1 = x'y m2 = xy' g(x,y) = x'y + xy'

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Disjunktive Normalform

Die Form des auf die geschilderte Vorgehensweise gebildeten Terms heißt disjunktive Normalform (DNF). Jede Variable hat in jedem Monom

direkt oder negiert vorzukommen. Aber: Bei Schaltfunktionen, welche

mehr Einsen als Nullen haben, ist diese Vorgehensweise unpraktisch.

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Konjunktive Normalform

Definition: Eine Elementarsumme ist eine Summe von Literalen. Die Schaltfunktionen einer

Elementarsumme ergibt genau für einen Input eine 0, sonst immer 1.

Das Produkt zweier Elementarsummen ergibt 0, wenn beide Summen eine 0 haben.

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KNF (2)

Gesucht sei eine Schaltfunktion, die es erlaubt, eine Lampe durch drei verschiedene Schalter unabhängig ein- und auszuschalten.

x y Z g(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

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KNF (3)

x y z g(x,y,z) e1 e2 e3 e4 e1*e2*e3*e4

0 0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1g(x,y,z) = e1*e2*e3 = (x+y+z) * (x+y'+z') * (x'+y+z') * (x'+y'+z)

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Regeln

Beliebige Schaltfunktionen können entweder als Ergebnis einer Addition von Monomen oder als Produkt von Elementarsummen geschrieben werden.Jede Schaltfunktion lässt sich durch einen booleschen Term realisieren.

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Negation

Definition: Ist S ein Schaltglied, dann sei S' dasjenige Schaltglied, welches genau dann offen ist, wenn S geschlossen ist. S' heißt die Negation von S.

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Regeln der Negation

Gleichungen für das Verhalten der Negation:

(x ⋁ y)' = x' ⋀ y' deMorgansche Regel (x ⋀ y)' = x' ⋁ y'

x ⋁ x' = 1 Komplementregelx ⋀ x' = 0x'' = x

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Transistoren als Schalter (2)

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Transistoren als Schalter (3)

Vext = externe elektrische SpannungVin = Spannung zwischen g und s

Vout = Spannung zwischen s und d

VR = Vext – Vout komplementärVin Vout

0 Vext

Vext 0

Vin Vout

0 1

1 0

Vin VR

0 0

1 1

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NAND-, NOR-Schaltungen

NAND NOR

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AND-, OR-Schaltungen

AND OR