Das Stokessche Gesetz

Reibungskraft an einer Kugel in laminarer Strömung

Inhalt

• Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes

• Geschwindigkeit beim Fall in viskosen Medien

Die reale Flüssigkeit

• Bei Bewegung gibt es Reibung zwischen den Teilchen– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden

Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant!

Versuch zum Stokesschen Gesetz

• Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin.

• Man erkennt, dass sich nach kurzer Beschleunigung eine vom Radius abhängige, konstante Geschwindigkeit einstellt

Das Stokessche Gesetz

Die Kugel fällt nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit: Gleichförmige Bewegung, also kräftefrei

Das Stokessche Gesetz

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N·s/m2 Viskosität

1 m Radius der Kugel

1 m/s Geschwindigkeit

vrF 6rv

Beispiele für Werte der Viskosität

Einheit Medium

8 ·10-3

1 N·s/m2

Blut in der Aorta z.B.

10-3 Wasser

2 ·10-5 Luft in den Atemwegen

Weshalb fällt die Kugel – trotz Gravitation - kräftefrei?

• Nach unten zieht die Schwerkraft

• Entgegen der Bewegungsrichtung steht die Reibungskraft

• Konstant bleibt die Geschwindigkeit - d.h. der Fall ist kräftefrei - wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

Kräfte beim Fall in ein viskoses Medium : Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft

Kräfte Gleichgewicht beim Fall in viskosen Medien

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N Schwerkraft

1kgMasse einer Kugel, Dichte ρ, Radius r

1 m/sGleichgewicht zwischen Reibungs- und Schwerkraft

1 m/sKonstante Fall-End-Geschwindigkeit

vrF 6

334 rm

gmF

3346 grr

9

2 2gr

Fall im viskosen Medium

Nicht alle Körper fallen gleichschnell• Bei gleicher Größe und Form fallen schwere

Körper schneller • Bei gleicher Dichte fallen große Körper schneller• Körper fallen mit konstanter Geschwindigkeit,

das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

Fall im viskosen Medium und „Freier Fall“

Bei Bewegung im „viskosen Medium“ Luft gibt es eine der Beschleunigung entgegen gerichtete Reibungskraft, proportional zur Geschwindigkeit, abhängig von der Dichte und der Form

Analog verhalten sich die Kräfte beim Zentrifugieren: Zentripetalkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft

Unter Wirkung der Zentrifugalkraft gilt für die Bewegung der Körper in einer Flüssigkeit

• Bei gleicher Größe und Form bewegen sich schwerere Körper schneller nach außen

• Bei gleicher Dichte bewegen sich größere Körper schneller nach außen

• Körper bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit, das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Zentripetalkraft ist

Voraussetzung ist die Reibungskraft nach dem Stokes-Gesetz: Deshalb enthält die Zentrifuge Materie und Flüssigkeit

Zusammenfassung• Das Stokessche Gesetz beschreibt die Reibungskraft bei

Bewegung einer Kugel in einem viskosen Medium F = 6 π·η·r·v [N]– η [N·s/m2] Viskosität des Mediums [N·s/m2]– r [m] Radius der Kugel– v [m/s] Geschwindigkeit der Kugel bezüglich des Mediums

• Wichtig als Näherung für die Reibungskraft bei (langsamer) Bewegung von beliebig geformten Körpern in Gasen oder Flüssigkeiten:– bei laminarer Strömung ist die Reibungskraft proportional zur

Geschwindigkeit– Für den Fall in viskosen Medien folgt

• konstante End-Geschwindigkeit• nicht alle Körper fallen gleichschnell

• Anwendung: Beim Zentrifugieren driften in einer rotierenden Flüssigkeit Teilchen, die sich in Dichte oder Form unterscheiden, mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten nach außen– Gleichgewicht zwischen Zentripetal- und Stokes-Reibungskraft

finis