Der Einfluss von Inputparametern auf Value at Risk - Modelle am Beispiel des Portfolios einer österreichischen Bank

FH Wien | Studiengang Financial Management & Controlling

Präsentation CFA Society Austria

Kathrein Bank | 1010 Wien, Wipplingerstrasse 25

29.11.2013

Verfasst von: DI Mag. (FH) Alexandra Petermann MA

Betreuer: Mag. Dr. Donald Baillie, FRM

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Problemstellung

Value at Risk (VaR) = Risikomaß

VaR = „Mit einer Wahrscheinlichkeit von X % wird das Portfolio nicht mehr als V Euro in den nächsten N Tagen an Wert verlieren.“

2 grundsätzliche Verfahren zur Risikomessung:

Varianz-Kovarianz-Ansatz

Historische Simulation

Welches ist das „bessere“ Modell?

Welche sind die wesentlichen Einflussfaktoren?

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Forschungsfragen

(1) a) Welche Unterschiede bestehen in der methodischen Vorgehensweise zwischen den Value at Risk Ansätzen der historischen Simulation versus Varianz-Kovarianz?

b) Was sind die jeweiligen Funktionsweisen von historischer Simulation bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz?

c) Was sind die jeweiligen Inputparameter?

d) Was sind die jeweiligen Besonderheiten von historischer Simulation bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz?

e) Was sind die jeweiligen und Vor- und Nachteile von historischer Simulation bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz?

(2) a) Wie erfolgt im Speziellen die Aufbereitung des Inputparametes „historische Daten“?

b) Wie soll mit nicht verfügbaren Daten umgegangen werden?

c) Sind Gewichtungen auf historische Modelle anwendbar?

(3) Welche Unterschiede bestehen bei der Berechnung des VaR unter Verwendung der unterschiedlichen Modelle und Parametrisierungen in den Softwarepaketen KVaR+ und SAS?

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Methode

1. Theoretische Analyse Literaturrecherche

Verifizierung durch Beispiele (Vergleich des Varianz-Kovarianz-Ansatzes mit Historischer Simulation anhand eines fiktiven Portfolios)

2. Empirische Untersuchung Vergleich von zwei gängigen Softwareprogrammen zur

Risikoberechnung

Reales Portfolio

Daten wurden von der RLB NÖ-Wien zur Verfügung gestellt

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Ergebnisse

Forschungsfrage 1a)Welche Unterschiede bestehen in der methodischen Vorgehensweise zwischen den Value at Risk Ansätzen der HS bzw. VC?

Varianz-Kovarianz-Ansatz Parametrischer Ansatz.

Legt statistische Annahmen über die Verteilungsfunktionen F(x) der Risikofaktoren zugrunde.

Ab zwei Risikofaktoren muss die Korrelation zwischen den Risikofaktoren berücksichtigt werden.

Historische Simulation Numerischer Ansatz.

Braucht keine spezifische Verteilungseigenschaft der Risikofaktoren. Beruht auf den empirischen Daten der Vergangenheit.

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Ergebnisse

Forschungsfrage 1b)Was sind die jeweiligen Funktionsweisen von HS bzw. VC-Ansatz?

Varianz-Kovarianz-Ansatz Ermittlung bzw. Schätzung der Varianzen und Kovarianzen

erforderlich Kovarianz-Matrix.

VaR = Standardabweichung x Multiplikator abh. vom Konfidenzniveau

Historische Simulation Mathematisch einfache zugrundeliegende Rechenoperationen

„simples Modell“.

Die historischen Veränderungen eines Risikofaktors werden in der Simulation mit dem aktuellen Marktpreis des Assets kombiniert.

VaR = als Quantilwert der sortierten Wertänderungen.

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Ergebnisse

Forschungsfrage 1d)Was sind die jeweiligen Besonderheiten von HS bzw. VC-Ansatz?

Varianz-Kovarianz-Ansatz Normalverteilung der Risikofaktoren wird unterstellt

Praxis: Renditen sind nicht normalverteilt, sondern haben eine leptokurtische Verteilung

VaR-Ergebnisse werden sehr stark von der Richtigkeit der Schätzmethode der Varianz-Kovarianz-Matrizen beeinflusst.

Historische Simulation Braucht keine spezifische Verteilungseigenschaft der

Risikofaktoren. Beruht auf den empirischen Daten der Vergangenheit.

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Ergebnisse

Forschungsfrage 1e)Was sind die jeweiligen und Vor- und Nachteile von HS bzw. VC-Ansatz?

Historischer Beobachtungszeitraum (IF 5) Varianz-Kovarianz-Ansatz

+ Einfache Formel.

- Schätzung der Varianzen und Kovarianzen wird mit steigender Anzahl der Positionen schnell komplex.

- Praxis: Renditen sind nicht normalverteilt, sondern haben eine leptokurtische Verteilung.

Historische Simulation+ HS stellt das praxistauglichere Modell dar.

- Vollständiger und gepflegter Datenhaushalterforderlich.

Abhängig von den Inputfaktoren der VaR-Berechnung.

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Theorie: Normalverteilung

Praxis: leptokurtische Verteilung

Tägliche Wertänderungen (P/L‘s)

HS stellt das „praxistauglichere“ Modell dar.

Ergebnisse - Forschungsfragen 1a, b, d, e)

Varianz-Kovarianz-Ansatz Historische Simulation

VaR

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Ergebnisse - Forschungsfragen 1a, b, d, e)

Varianz-Kovarianz-Ansatz

Normalverteilung der Risikofaktoren wird unterstellt

Ab zwei Risikofaktoren muss die Korrelation zwischen den Risikofaktoren berücksichtigt werden. Kovarianz-Matrix

Praxis: Renditen sind nicht normalverteilt, sondern haben eine leptokurtische Verteilung

VaR-Ergebnisse werden sehr stark von der Richtigkeit der Schätzmethode der Varianz-Kovarianz-Matrizen beeinflusst.

Historische Simulation

Braucht keine spezifische Verteilungseigenschaft der Risikofaktoren. Beruht auf den empirischen Daten der Vergangenheit.

Mathematisch einfache zugrundeliegende Rechenoperationen „simple Modelle“.

HS stellt das „praxistauglichere“ Modell dar.

Vollständiger und gepflegter Datenhaushalt erforderlich.

Abhängig von den Inputfaktoren der VaR-Berechnung.

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktoren:

1) Konfidenzniveau

2) Haltedauer

3) Art der Renditenberechnung

4) Verfügbarkeit der Daten

5) Historischer Beobachtungszeitraum

6) Gewichtung der historischen Daten

7) Prognostizierbarkeit der Volatilität

8) Art der Quantilermittlung

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Konfidenzniveau

Wahrscheinlichkeit, mit der die tatsächliche Änderung des Wertes eines Portfolios den VaR nicht überschreitet.

99 %: in 100 Tagen überschreiten die tatsächlichen Verluste höchstens einmal den VaR

Praxis: 95 % - 99 %

Fazit: IF ist in der Praxis gut ausdiskutiert.

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Haltedauer

Zeitraum, über den der VaR berechnet wird

= Zeitraum, der benötigt wird, um eine Risikoposition glattzustellen

≠ Abstand zwischen zwei Risikomessungen

Praxis: 1 Tag (Banken); 10 Tage (lt. Basel III)

Fazit: IF ist in der Praxis gut ausdiskutiert.

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktoren: Konfidenzniveau, Haltedauer und Art der Renditeberechnung

VaR = „Mit einer Wahrscheinlichkeit von X % wird das Portfolio nicht mehr als V Euro in den nächsten N Tagen an Wert verlieren.“

Konfidenzniveau

Haltedauer

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Art der Renditenberechnung

Stetige vs. diskrete Rendite

Illustration fiktives Portfolio: Abw. 0,0 % – 0,3 %

Hypothesentest: t-Test für abhängige (gepaarte) Stichproben

Behauptung: Differenz kleiner gleich 1 %

Erst bei 3 % kann die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese bestätigt werden

Praxis: stetige Rendite empfohlen

Fazit: Handhabung in Praxis geregelt.

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Verfügbarkeit der Daten

Finanzmarktdaten: jährlich theoretisch rund 250 Datenpunkte je Risikofaktor

Problematik: Lücken in den Datenreihen

Praxis: „Fill“ bzw. „Fill Backward“

Illustration anhand fiktives Portfolio: Abweichung 0,0 % – 0,3 %

Fazit: Handhabung in Praxis geregelt.

Beantwortet auch Forschungsfrage 2b)

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Historischer Beobachtungszeitraum

Wie weit werden zurückliegende Daten in der Berechnung berücksichtigt?

Problematik: Auswahl des optimalen Zeitfensters

Zu kurz gewählt: Wesentliche Informationen fallen evtl. bei der Ermittlung des VaR heraus

Zu lange gewählt: „Geistereffekt“, „Memoryeffekt“

Praxis: mind. 1 J. (Basel III)

Fazit: IF hat eine wesentliche Auswirkung auf das Ergebnis! Forschungsfrage 2a)

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Gewichtung der historischen Daten

Historische Daten sind Grundlage jeder VaR-Berechnung:

Varianz-Kovarianz-Ansatz: Basis für Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten u. Korrelationen

Historische Simulation: Wertveränderungen

Fokus liegt auf der Aufarbeitung der historischen Zeitreihen: (Wie) Kann man historische Daten gewichten?

Fazit: IF hat eine wesentliche Auswirkung auf das Ergebnis! Forschungsfrage 2c)

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Inputfaktoren: Historischer Beobachtungszeitraum und Gewichtung der Daten

Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

522 d

300 d

Sind alle historischen Daten gleich „wichtig“?

Stichtag der VaR-Berechnung:06.07.2012

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Ergebnisse - Forschungsfrage 2c)

Sind Gewichtungen auf historische Modelle anwendbar?

4 Modelle zur Gewichtung von historischen Daten

Gewichtung nach dem Alter (nach Boudoukh, Richardson and Whitelaw)

Gewichtung nach der Volatilität (nach Hull and White)

Gewichtung nach der Volatilität und Berücksichtigung von Korrelationen (nach Barone-Adesi)

Gewichtung unter Berücksichtigung der Veränderungen zwischen vergangenen und aktuellen Korrelationen (nach Duffie and Pan)

Rechenintensität steigt rasant von Modell zu Modell

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Prognostizierbarkeit der Volatilitäten

Vorhersage der Entwicklungen in der Zukunft, insbesondere der Volatilität, spielt eine zentrale Rolle bei der Risikomessung von Marktrisiken

Praxis: keine konstanten Volatilitäten sondern Volatilitätscluster

Ob und wie können diese (veränderlichen) Volatilitäten prognostiziert werden?

Fazit: IF hat eine wesentliche Auswirkung auf das Ergebnis! Forschungsfrage 2a)

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Prognostizierbarkeit der Volatilität

Geringe Vola – VaR wird idR unterschätzt

Hohe Vola – VaR wird idR überschätzt

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Ergebnisse - Forschungsfrage 2a)

Wie erfolgt die Aufbereitung des Inputparametes „historische Daten“?

Wie groß wird die Volatilität sein? Modellierung von Finanzmarktdaten

EWMA-Modell, GARCH-Modell

Praxis: GARCH-Modell

berücksichtigt Volatilitätsclustering und Mittelwertannäherung

Volatilität hängt nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Historie

kann schnell auf Marktveränderungen reagieren

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Art der Quantilermittlung

VaR entspricht dem negativen Quantil qp der P/L-Verteilung

Parametrische Methoden: Normalverteilung: alle Quantile sind eindeutig definiert

Numerische Methoden: Ermittlung des Quantilwerts empirisch aus einer geordneten Reihe

Problematik bei gewichteten Datenreihen

Fazit: IF hat eine wesentliche Auswirkung auf das Ergebnis! Forschungsfrage 2c)

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Ergebnisse - Forschungsfrage 1c)

Inputfaktor: Art der Quantilermittlung

Gleichgewichtung der Daten:Quantil eindeutig definiert.

Ungleichgewichtung der Daten:Quantil NICHT eindeutig definiert.

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Ergebnisse - Forschungsfrage 3)

Parameter der Berechnung

Portfolio bestehend aus 2 Aktien: CH0012221716 (EQUITIES-P106552_61016, 1.500 Stk.) und DE000A1EWWW (EQUITIES-P108831_117816, 300 Stk.)

Historische Simulation: Konfidenzniveau: 99 %

Haltedauer 1 d

Stetige Renditenberechnung

Beobachtungsfenster 522 d bzw. 300 d

Gewichtung nach dem Alter

Berechnung mit KVaR+, SAS, eigene Berechnung

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Ergebnisse - Forschungsfrage 3)

Vergleich VaR (d = 300 d vs. 522 d)

Ergebnis der VaR-Ermittlung: = 1,0 = 0,95 = 0,90

Ergebnis KVAR+, Historischer Beobachtungszeitraum 522 d

VaR (KVAR+) -1.475,7226 -1.048,7736 -879,5144

Ergebnis eigene Berechnung, Historischer Beobachtungszeitraum 300 d

VaR (Interpolation nach

Boudoukh/Richardson/Whitelaw)

-1.812,3101 -1.056,4223 -885,9245

Abweichung zu KVAR+ 23 % 1 % 1 %

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Ergebnisse - Forschungsfrage 3)

Entwicklung des VaR (d = 300 d)

SAS

KVAR+

83 %

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Ergebnisse - Forschungsfrage 3)

Unterschiede Softwarepaket KVaR+ und SAS

KVaR+ ermöglicht die Festlegung von verschiedenen IF für die Berechnung und sieht eine Gewichtung nach dem Alter vor.

SAS berücksichtigt im Standard keine Gewichtung.

Abweichung ungewichtete SAS-Standardvariante zur gewichteten KVaR+ - Variante bis zu 83 % (Beispiel reales Portfolio).

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Schlussfolgerung (1/2)

Literatur kennt als Inputparameter i.e.S.: Konfidenzniveau

Haltedauer

Weitere Einflussparameter: Art der Renditenberechnung

Verfügbarkeit der Daten

In der Praxis bisher nicht als Inputfaktoren identifiziert:

Historischer Beobachtungszeitraum

Gewichtung der historischen Daten

Prognostizierbarkeit der Volatilitäten

Art der Quantilermittlung

Wesentlicher Einfluss auf das Ergebnis!

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Schlussfolgerung (2/2)

Nicht nur 2 Inputfaktoren beeinflussen den VaR massiv.

2 gängige Programme berücksichtigen (in der Standardvariante) nur teilweise eine Festlegung der

Inputfaktoren

keine (SAS) oder lediglich eine simple Gewichtung (KVaR+) der historischen Daten.

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