Die Satzgruppe des Pythagoras

Pythagoreischer Lehrsatz 1

Höhensatz

Pythagoreischer Lehrsatz 2

Kathetensatz

Einführung

© D. Ortner 2004

.

Wenn man in einem Rechteck …

eine Diagonale zieht, …

so erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck …

mit den beiden Katheten a und b …

und der Hypotenuse c.

a

b c

Die alten Ägypter wussten bereits:

Ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges Dreieck.

Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.

3 4

5

rechter Winkel

Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.

Pythagoras erkannte ganz allgemein:

Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben (Pythagoras war Vegetarier).

Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind

und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …

… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.

Der Satz des Pythagoras.

a2

b2

c2

Es ist zu beweisen:

a2 + b2 = c2

Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate.

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Pythagoras 1

c2 = a2 + b2

.

Pythagoras 1

c2

c2 = ?

...

c

c

c

ca

a

b

bb2

a2

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Pythagoras 2

.

.

.

Pythagoras 2

c2c

c2 = a2 + b2c2 = ?

c

c

ca

aa2

b2

b

b

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Höhensatz

Höhensatz

p

b

.h

.

ah2

h2 = pq

h2 = ?

h

p

q

pq

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Kathetensatz

..

a2 = ?a2 = cp

Kathetensatz

p

b

q

a2

p

h

.

a c ahcp

Kathetensatz

a2 = cp

b2 = cq

Das Quadrat über einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

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