Post on 06-Apr-2015
Die Sinus-FunktionenDie Sinus-FunktionenEine Einführung
Definitions- und WertebereichDefinitions- und Wertebereich
Man definiert die Funktion y = sin x,mit x є R und y є R mit -1≤y≤1
Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet
Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um
Definitions- und WertebereichDefinitions- und Wertebereich
Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet:
2360
x
in ° Im Bogenmaß
Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß:
2360
x
Winkel in °
0°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
Winkel im Bogenmaß
0
¼ π = 0,7854
½ π = 1,5708
¾ π = 2,3562
π = 3,1416
1 ¼ π = 3,9270
1 ½ π = 4,7124
1 ¾ π = 5,4978
2 π = 6,2832
FunktionsgraphFunktionsgraph
Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen:
X 0 0,25ϖ 0,5ϖ 0,75ϖ ϖ 1,25ϖ 1,5ϖ 1,75ϖ 2ϖ
Sin x 0,00 0,71 1,00 0,71 0 -0,71 -1,00 -0,71 0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4 5 6 7
FunktionsgraphFunktionsgraph
Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art „Welle“
FunktionsgraphFunktionsgraph
Die Welle wiederholt sich mit einer Periodenlänge von 2ϖ Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es
übersichtlicher:
FunktionsgraphFunktionsgraph
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π(Schrittweite 0,25π)
Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.
Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)
FunktionsgraphFunktionsgraph
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)
x sin x
−2π 0
−1,75π 0,71
−1,5π 1
−1,25π 0,71
− π 0
−0,75π -0,71
−0,5π -1
−0,25π -0,71
0 0
0,25π 0,71
x sin x
0,5π 1
0,75π 0,71
π 0
1,25π -0,71
1,5π -1
1,75π -0,71
2π 0
2,25π 0,71
2,5π 1
2,75π 0,71
3π 0
3,25π -0,71
3,5π -1
3,75π -0,71
4π 0
FunktionsgraphFunktionsgraph
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)
Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität mit einer Periodenlänge von 2ϖ
Funktionsgraph - EigenschaftenFunktionsgraph - Eigenschaften
Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen…, −4π, −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …,allgemein k∙π mit k ∈ Z
Der Maximalwert (1) wird erreicht für…, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …,allgemein π/2 + k∙π mit k ∈ Z
Der Minimalwert (−1) wird erreicht für…, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …,allgemein 3/2 π + k∙π mit k ∈ Z
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x im Intervall von -2π bis 2π(Schrittweite 0,25π)
Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.
Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x
x 3 sin x 0,5 sin x
−2π 0 0
−1,75π 2,12 0,35
−1,5π 3 0,5
−1,25π 2,12 0,35
− π 0 0
−0,75π -2,12 -0,35
−0,5π -3 -0,5
−0,25π -2,12 -0,35
0 0 0
0,25π 2,12 0,35
x 3 sin x 0,5 sin x
0,5π 3 0,5
0,75π 2,12 0,35
π 0 0
1,25π -2,12 -0,35
1,5π -3 -0,5
1,75π -2,12 -0,35
2π 0 0
2,25π 2,12 0,35
2,5π 3 0,5
2,75π 2,12 0,35
3π 0 0
3,25π -2,12 -0,35
3,5π -3 -0,5
3,75π -2,12 -0,35
4π 0 0
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Der Parameter a in der Form y = a sin x…◦Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht◦Verändert den Maximalwert von 1 auf a◦Verändert den Minimalwert von −1 auf −a◦Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Der Parameter a in der Form y = a sin x…◦ Verändert den Maximalwert von 1 auf a◦ Verändert den Minimalwert von −1 auf −a◦ Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen
Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch Amplitude.
y(max) = 1 Amplitude ist 1y(max) = 3 Amplitude ist 3y(max) = 0,5 Amplitude ist 0,5
Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = sin (2x) und g(x) = y = sin (0,5x) im Intervall von -2π bis 2π(Schrittweite 0,25π)
Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.
Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)
Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)
Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)
x sin (2x) sin (0,5x)
−2π 0 0
−1,75π 1 -0,38
−1,5π 0 -0,71
−1,25π -1 -0,92
− π 0 -1
−0,75π 1 -0,92
−0,5π 0 -0,71
−0,25π -1 -0,38
0 0 0
0,25π 1 0,38
x sin (2x) sin (0,5x)
0,5π 0 0,71
0,75π -1 0,92
π 0 1
1,25π 1 0,92
1,5π 0 0,71
1,75π -1 0,38
2π 0 0
2,25π 1 -0,38
2,5π 0 -0,71
2,75π -1 -0,92
3π 0 -1
3,25π 1 -0,92
3,5π 0 -0,71
3,75π -1 -0,38
4π 0 0
Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)
Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert.
◦ b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische Wiederholungen◦ b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen
Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)
Der Parameter b in der Form y = sin (bx)…◦Verändert die Amplitude nicht◦Verändert Nullstellen und Periodizität!◦Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x-
Richtung
Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x
Für y = sin (bx) gilt …◦b > 1: Periodenlänge verkürzt sich◦b = 1: Periodenlänge von 2π◦0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich
b = 1 Periodenlänge 2πb = 2 Periodenlänge 1π b = 0,5 Periodenlänge 4 π