Kronberg-Gymnasium Kollegstufenjahrgang 2008/10

Aschaffenburg

Facharbeit aus dem Fach Mathematik

Thema:

Die Taylorreihe: Herleitung und Anwendugen

Verfasser: Daniel Benjamin Felix Otto Thiem

Leistungskurs: Mathematik

Kursleiter: StD H.J. Pauly

Abgabetermin: 29. Jan. 2010

Erzielte Punkte: _____________

(einfache Wertung)

Erzielte Punkte in der

mündlichen Prüfung: _____________

Abgabe bei der Kollegstufenbetreuerin am: ______________________________

_______________________________________________ Unterschrift des Kursleiters

- 2 -

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung ...................................................................................................................... 3

1.1. Zur Geschichte der Taylorreihe .............................................................................. 3

2. Mathematische Grundlagen .......................................................................................... 4

2.1. Reihen und ihre Konvergenz .................................................................................. 4

3. Die Herleitung der Taylorreihe ..................................................................................... 4

3.1. Die Herleitung anhand der 𝒆𝒆𝒙𝒙-Funktion ................................................................. 4

3.2. Verallgemeinerung ................................................................................................. 7

3.3. Das Restglied .......................................................................................................... 8

3.3.1. Das Restglied in Lagrange‘scher Form ........................................................... 9

3.3.2. Das Restglied in Integralform ........................................................................ 10

4. Annäherung an verschiedene Funktionen durch die Taylorreihe ............................... 12

4.1. Annäherung an die Sinus-Funktion ...................................................................... 12

4.1.1. Die MacLaurin‘sche Reihe ............................................................................ 14

4.2. Annäherung an die 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟏𝟏−𝒙𝒙

)-Funktion .................................................................. 15

4.3. Annäherung an die 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝒙𝒙

-Funktion ......................................................................... 17

5. Anwendungen ............................................................................................................. 20

5.1. Die Kleinwinkelnäherung ..................................................................................... 20

5.2. Anwendungen in der Physik mit Beispiel ............................................................ 20

6. Schluss ........................................................................................................................ 22

7. Anhang ........................................................................................................................ 23

7.1. Literatur und Quellen ........................................................................................... 23

7.2. Hilfsmittel ............................................................................................................. 24

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1. Einleitung Bevor Taschenrechner entwickelt wurden, war das Rechnen mit Winkelfunktionen, Lo-

garithmen und Exponentialfunktionen nur durch Nachschlagen in Tabellenbüchern und

Interpolation möglich. Dies führte dazu, dass solche Rechnungen sehr aufwendig und

teilweise ungenau waren. Durch die Erfindung der Taschenrechner konnten solche Wer-

te genauer und um einiges schneller bestimmt werden. Erreicht wurde das durch Reihen,

die sich an die oben genannten Funktionen annähern und diese sehr genau approximie-

ren können. Diese Reihen, die inzwischen fest in die Chips der Taschenrechner inte-

griert sind, leiten sich aus der Taylorreihe ab.1

1.1. Zur Geschichte der Taylorreihe

Schon der griechische Philosoph Zenon von Elea versuchte unendliche Reihen auf eine

endliche Summe zu lösen, stieß dabei aber auf ein Paradoxon. Erst durch einen philoso-

phischen Lösungsansatz von Aristoteles und später eine mathematische Lösung mittels

der Exhaustionsmethode von Archimedes wurde in einer Reihe ein endliches Ergebnis

erreicht.

Im 14. Jahrhundert fand der indische Mathematiker Madhava von Sangamagrama einige

Beispiele der Anwendung der Taylorreihe auf trigonometrische Funktionen. Jedoch

existieren davon keine exakten Aufzeichnungen.

Der Englische Mathematiker Brooke Taylor (1685-1731)2, der auf den Gebieten der

Differential- und Integralrechnung und der Interpolationstheorie arbeitete, veröffentlich-

te erstmals 1712 die später nach ihm benannte Taylor-Formel. Zuvor fand zwar der

schottische Mathematiker James Gregory einige Maclaurin’sche Reihen und veröffent-

lichte diese, konnte jedoch nicht eine generelle Methode für die Herleitung der Reihen

für alle Funktionen liefern.3

1 Vgl. Literatur 1, S.294

2 Vgl. Literatur 7, S.1047 3 Vgl. Literatur 9

- 4 -

2. Mathematische Grundlagen

2.1. Reihen und ihre Konvergenz Betrachtet man eine unendliche Folge von Zahlen ⟨𝑎𝑎𝑖𝑖⟩, also (𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … ), so kann es

auch eine Folge ⟨𝑠𝑠𝑛𝑛 ⟩ geben, welche die Summe einzelnen Zahlen bis zu dem 𝑛𝑛-ten

Glied darstellt:4

Entwickelt man nun diese Reihe gegen unendlich, so bildet man einen Grenzwert gegen

unendlich. Existiert der Grenzwert 𝑠𝑠, so heißt die Reihe konvergent. Existiert er nicht,

so ist die Reihe Divergent.

𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

5

3. Die Herleitung der Taylorreihe

� 𝑎𝑎𝑖𝑖

∞

𝑖𝑖=0

= lim𝑛𝑛→∞

� 𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

= 𝑠𝑠

3.1. Die Herleitung anhand der 𝒆𝒆𝒙𝒙-Funktion Die Taylorreihe hat den Sinn, sich an eine Funktion anzunähern und sie mittels einer

Polynomfunktion darzustellen. Dies wird erreicht, indem man die numerischen Werte

eines Punktes der Ableitung der Originalfunktion nutzt um die passenden Koeffizienten

der einzelnen x-Potenzen zu finden.

Diesen Herleitungsweg möchte ich mit darauffolgendem Beispiel erklären. Hierfür bil-

det man den Differenzenquotient von 𝑒𝑒𝑥𝑥 :

𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥) − 𝑥𝑥0

=𝑒𝑒𝑥𝑥+ℎ − 𝑒𝑒𝑥𝑥

ℎ=

𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒ℎ − 𝑒𝑒𝑥𝑥

ℎ= 𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙

𝑒𝑒ℎ − 1ℎ

Da bekannt ist, dass die Ableitung von 𝑒𝑒𝑥𝑥 auch wieder 𝑒𝑒𝑥𝑥 ergibt, muss der Grenzwert

des Differentialquotienten für den Fall, dass h gegen 0 geht, ebenso 𝑒𝑒𝑥𝑥 sein.

limℎ→0

(𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙𝑒𝑒ℎ − 1

ℎ) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 ∙ 1 = 𝑒𝑒𝑥𝑥

4 Vgl. Literatur 12 5 Vgl. Literatur 6, S. 881

- 5 -

3 2 1 0 1 2 3

2

4

6

8

10

Hier zeigt sich, dass limℎ→0𝑒𝑒 𝑥𝑥 −1

ℎ= 1 sein muss. Für kleine h gilt 𝑒𝑒

ℎ −1ℎ

≈ 1 ⟺ 𝑒𝑒ℎ ≈

1 + ℎ. Ersetzt man nun h durch x, so erhält man folgende Gleichung:

𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ 1 + 𝑥𝑥 für |𝑥𝑥| ≪ 1

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 ist eine Tangente zu 𝑒𝑒𝑥𝑥 , da sie durch den

gleichen Punkt geht und auch die gleiche Steigung

besitzt. Eine bessere Näherung wird erreicht, wenn

𝑔𝑔(𝑥𝑥) auch die gleiche Krümmung besitzt. Somit muss

auch die 2. Ableitung in diesem Punkt übereinstimmen.

Eine solche Funktion kann man als Parabel der Form

𝑝𝑝2(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 beschreiben.

Da die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 in allen Ableitungen in

dem Punkt 𝑥𝑥 = 0 den Wert 1 annimmt, muss zu einer

Übereinstimmung beider Funktionen folgendes gelten:

𝑝𝑝2(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 𝑝𝑝2(0) = 𝑎𝑎0 = 1

𝑝𝑝2′(𝑥𝑥) = 2𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎1 𝑝𝑝2′ (0) = 𝑎𝑎1 = 1

𝑝𝑝2′′ (𝑥𝑥) = 2𝑎𝑎2 𝑝𝑝2

′′ (0) = 2𝑎𝑎2 = 1

Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung der

Parabel:

𝑝𝑝2(𝑥𝑥) =12

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

Geht man nun davon aus, dass die Folge der Polynomfunktionen sich 𝑒𝑒𝑥𝑥 annähert je

höher der Grad des Polynoms ist. Um eine möglichst genaue Abbildung der Original-

funktion zu bekommen, kommt man auf die Funktion

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎2 ∙ 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

𝑝𝑝𝑛𝑛 (0) = 𝑎𝑎0

Damit das Polynom möglichst genau mit der e-Funktion übereinstimmt, muss man nun

das Polynom n mal ableiten, um die einzelnen Variablen a zu bestimmen.

𝑝𝑝𝑛𝑛′ (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛−2 + ⋯ + 2𝑎𝑎2 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎1

𝑝𝑝𝑛𝑛′ (0) = 𝑎𝑎1

Schwarz:𝑒𝑒𝑥𝑥 |Rot:1 + 𝑥𝑥|Blau:𝑝𝑝2

- 6 -

Beobachtet man die weiteren Ableitungen des Polynoms, ist nur der letzte Teil der je-

weiligen Ableitung, der kein x besitzt, wichtig, da man von 𝑥𝑥 = 0 aus entwickelt und

somit alle x-Terme wegfallen.

𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑘𝑘)(𝑥𝑥) = ⋯ + 𝑘𝑘 ∙ (𝑘𝑘 − 1) ∙ (𝑘𝑘 − 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘

𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑘𝑘)(0) = 𝑘𝑘 ∙ (𝑘𝑘 − 1) ∙ (𝑘𝑘 − 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘

Die Werte 𝑘𝑘 ∙ (𝑘𝑘 − 1) ∙ (𝑘𝑘 − 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 entstehen durch die jeweiligen Ableitungen

des Polynoms, da in jeder Ableitung immer die Potenz von x der vorherigen Ableitung

als Produkt vor x gesetzt wird.

Beobachtet man nun diese Werte, kann man sehen, dass hier ein Produkt der natürlichen

Zahlen von 1 bis k vorliegt. Dies wird in der Mathematik auch vereinfacht als Fakultät

von k (𝑘𝑘!) ausgedrückt. Die Fakultät von 0 ist so definiert, dass 0! = 1 ist. Dies ist im

späteren Verlauf für die Taylorreihe noch wichtig. Somit kann man die k-te Ableitung

an 𝑥𝑥 = 0 wie folgt ausdrücken:

𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑘𝑘)(0) = 𝑘𝑘! ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘

Um eine möglichst eng an 𝑒𝑒𝑥𝑥 angenäherte Form der Polynomfunktion zu erhalten, müs-

sen wieder alle Ableitungen des Polynoms an der Stelle 𝑥𝑥 = 0 mit den jeweiligen Ab-

leitungen der 𝑒𝑒𝑥𝑥 -Funktion an bei 𝑥𝑥 = 0 gleichgesetzt werden. Da die Ableitung von 𝑒𝑒𝑥𝑥

immer 𝑒𝑒𝑥𝑥 ist, findet sich für 𝑥𝑥 = 0 immer der y-Wert 1. Daraus ergibt sich folgende

Formel:

1 = 𝑘𝑘! ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘 und somit 𝑎𝑎𝑘𝑘 =1𝑘𝑘!

, da 𝑘𝑘! > 0

Setzt man nun die entsprechenden Werte in die Polynomfunktion ein, ergibt das:

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) =1𝑛𝑛!

𝑥𝑥𝑛𝑛 +1

(𝑛𝑛 − 1)!𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ +

12!

𝑥𝑥2 +11!

𝑥𝑥 +10!

Für die Taylorreihe wird üblicherweise das Polynom nach den Potenzen aufsteigend

geordnet:

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) =10!

+11!

∙ 𝑥𝑥 +12!

∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ +1

(𝑛𝑛 − 1)!∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +

1𝑛𝑛!

𝑥𝑥𝑛𝑛 ≈ 𝑒𝑒𝑥𝑥

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oder kurz: 𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ ∑ 1𝑘𝑘!

∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘=0

Setzt man nun für n Zahlenwerte ein, kommt man auf

folgende Terme:

𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ 1

𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ 1 + 𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ 1 + 𝑥𝑥 +12

𝑥𝑥2

𝑒𝑒𝑥𝑥 ≈ 1 + 𝑥𝑥 + 12

𝑥𝑥2 + 16

𝑥𝑥3 usw.

⋮

3.2. Verallgemeinerung Ziel ist es, eine Funktion an eine Polynomfunktion

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛

anzunähern. Dies muss nicht von dem Wert 𝑥𝑥 = 0 aus geschehen. Geht man von einer

Entwicklung von der Stelle 𝑥𝑥0 aus, müssen alle Summanden des Polynoms, die ein x

beinhalten, 0 ergeben, sodass nur noch 𝑎𝑎0 übrig bleibt. Dieses 𝑎𝑎0 erhält, wie es im wei-

teren Herleitungsweg zu sehen ist, den y-Wert der Originalfunktion. Damit also dieses

Kriterium erfüllt ist, muss statt x in der Funktion der Term (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) stehen, welcher an

der Stelle 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 0 ergibt.

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑎𝑎2(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛

Aus dieser Funktion können nun wieder 𝑛𝑛 Ableitungen gebildet werden. In diese wird

𝑥𝑥0 eingesetzt, womit alle x-Terme der Funktion wegfallen und nur noch der letzte Koef-

fizient übrig bleibt. Diese Funktion wird dann mit dem Wert der gleichwertigen Ablei-

tung der 𝑓𝑓(𝑥𝑥)-Funktion am Punkt 𝑥𝑥0 gleichgesetzt.

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0); 𝑝𝑝𝑛𝑛′(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0); 𝑝𝑝𝑛𝑛

′′ (𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0); … ; 𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)

0! ∙ 𝑎𝑎0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0); 1! ∙ 𝑎𝑎1 = 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0); 2! ∙ 𝑎𝑎2 = 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0); … ; 𝑛𝑛! ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)

3 2 1 0 1 2 3

2

4

6

8

10

Schwarz:𝑒𝑒𝑥𝑥 |Rot:𝑝𝑝3|Blau:𝑝𝑝4

- 8 -

𝑎𝑎0 =𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

0!; 𝑎𝑎1 =

𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0)1!

; 𝑎𝑎2 =𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0)

2!; … ; 𝑎𝑎𝑛𝑛 =

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑛𝑛!

Die daraus gewonnenen a-Koeffizienten können nun wieder in die Polynomfunktion

eingesetzt werden. Daraus folgt diese Reihe:

𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

0!∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)0 +

𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0)1!

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)1 +𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0)

2!(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + ⋯

+𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)

𝑛𝑛!(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛

Vereinfacht bildet sich also die Taylorreihe:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) +𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0)

2!(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + ⋯ +

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑛𝑛!

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛

3.3. Das Restglied Umso höher man 𝑛𝑛 für diese Polynomfunktion gehen lässt, umso genauer schmiegt sich

diese an den 𝑓𝑓-Funktionsgraphen an. Jedoch bleibt immer eine Differenz zwischen dem

Funktionswert 𝑓𝑓(𝑥𝑥) und dem Näherungswert 𝑝𝑝𝑛𝑛 (𝑥𝑥). Da diese Differenz vom Tiefen-

grad n der Näherungsfunktion und vom x-Wert abhängt, nennt man sie 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑥𝑥). Dies ist

das Restglied.

Geht man zudem davon aus, dass die Funktion in [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] (𝑛𝑛 + 1)-mal differenzierbar ist,

dann ist

𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) +𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)

2!(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)2 + ⋯ +

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥)𝑛𝑛!

(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛 + 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏)

Daraus folgt für 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏):

𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) −𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)

2!(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)2 − ⋯ −

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥)𝑛𝑛!

(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛

Mit dieser Formel lassen sich aber die Zahlenwerte nur schwer berechnen. Um eine sol-

che Berechnung zu vereinfachen, wurden verschiedene Restglieder eingeführt.

- 9 -

3.3.1. Das Restglied in Lagrange‘scher Form Um die Lagrange‘sche Form des Restgliedes 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏) für das Intervall [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] zu erhalten,

muss eine Hilfsfunktion hinzugezogen werden. Diese hat folgende Form:

𝜙𝜙(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) −𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)

2!(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)2 − ⋯ −

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥)𝑛𝑛!

(𝑏𝑏 − 𝑛𝑛)𝑛𝑛

−(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛+1

(𝑛𝑛 + 1)!∙ 𝐶𝐶 6

Diese Hilfsfunktion nimmt den Wert 𝜙𝜙(𝑥𝑥) = 0 an, wenn 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 erfüllt ist. Um eine

möglichst genau angenäherte Funktion zu erhalten, sollte auch 𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 0 zutreffen,

damit an beiden Enden des Intervalls keine Abweichungen auftreten. Da jedoch 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏

als Voraussetzung gegeben ist, muss es genau eine Zahl 𝐶𝐶 geben. Eine Berechnung die-

ses Wertes wird dadurch möglich, dass man 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 setzt und nach C auflöst. Hier wird

der Satz von Rolle zur Hilfe gezogen. Dieser besagt, dass, falls 𝑓𝑓 eine „im abgeschlos-

senen Intervall [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] stetige Funktion und im offenen Intervall ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ differenzierbar mit

𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) [ist], dann gibt es ein 𝑥𝑥0 ∈ ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ mit 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0) = 0“ 7

Da nun gelten muss, dass 𝜙𝜙′ (𝜉𝜉) = 0 für ein beliebiges 𝜉𝜉 ∈ ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ zutrifft, muss folgende

Gleichung gelten:

𝜙𝜙′ (𝜉𝜉) = 0 = �𝐶𝐶 − 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)� ∙(𝑏𝑏 − 𝜉𝜉)𝑛𝑛

𝑛𝑛!

0 = 𝐶𝐶 − 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉) → 𝐶𝐶 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)

. Dieser Satz trifft auf

𝜙𝜙(𝑥𝑥) zu, da sowohl 𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 0 und 𝜙𝜙(𝑏𝑏) = 0 zutrifft und die Funktion stetig und in

diesem Intervall differenzierbar ist.

𝜙𝜙′ (𝑥𝑥) = −𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) + 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) − (𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) ∙ 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) + 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) ∙ (𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) − ⋯ −(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑛𝑛!

∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑥𝑥) +(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑛𝑛∙ 𝐶𝐶 vereinfacht also: 𝜙𝜙′(𝑥𝑥)

= �𝐶𝐶 − 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑥𝑥)� ∙(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑛𝑛!

Mit 𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 0 ergibt sich: 6 Vgl. Literatur 2, S.294 7 Vgl. Literatur 3

- 10 -

𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 0 = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)−′𝑓𝑓′ (𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) −𝑓𝑓′′ (𝑎𝑎)

2!(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2 −′

′

… −𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑎𝑎)

𝑛𝑛!(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛

−𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)

𝑛𝑛 + 1(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛+1

Setzt man nun das Restglied 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏) mit 𝜙𝜙(𝑎𝑎) gleich, so erhält man das Lagrange‘sche

Restglied:

𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑏𝑏) =𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)

𝑛𝑛 + 1(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛+1 mit 𝑎𝑎 < 𝜉𝜉 < 𝑏𝑏

→ 𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓′ (𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) +𝑓𝑓′′ (𝑎𝑎)

2!(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2 + ⋯ +

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑎𝑎)𝑛𝑛!

(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛

+𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)

𝑛𝑛 + 1(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛+1

Setzt man nun wieder 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥 und 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥0, so erhält man nun die Taylorsche Formel mit

dem Lagrange‘schen Restglied:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) +𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0)

2!(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + ⋯ +

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑛𝑛!

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛

+𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)

𝑛𝑛 + 1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛+1 für 𝜉𝜉 ∈ ]𝑥𝑥0, 𝑥𝑥[

3.3.2. Das Restglied in Integralform Für das Restglied in Integralform gilt es, folgenden Satz zu beweisen:

Sei 𝐼𝐼 ∈ ℝ ein reelles Intervall und 𝑓𝑓(𝑥𝑥) in diesem Intervall (𝑛𝑛 + 1)-mal stetig differen-

zierbar. Dann gilt für alle 𝑥𝑥0 und 𝑥𝑥 aus I:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑥𝑥)

mit:

𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = �((𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)𝑛𝑛 )

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)d𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑥𝑥0

8

Um die Formel des Restglieds zu beweisen, benutzt man die Beweismethode der Induk-

tion. Als Induktionsanfang 𝑛𝑛 = 0 geht man nun von dem Hauptsatz der Integralrech-

nung (HDI) aus:

8 Vgl. Literatur 10

- 11 -

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + � 𝑓𝑓′ (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑥𝑥

𝑎𝑎

Die Induktion erfolgt durch den Schritt 𝑛𝑛 → 𝑛𝑛 + 1

𝑇𝑇𝑛𝑛+1(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛+1(𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑘𝑘)(𝑥𝑥0)

𝑘𝑘!

𝑛𝑛+1

𝑘𝑘=0

∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑘𝑘 + �(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)𝑛𝑛

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+2)(𝑡𝑡)d𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑥𝑥0

Um das Restglied in Integralform zu beweisen, muss das Integral nun partiell integriert

werden. Dies erfolgt nach folgender Regel:

� 𝑢𝑢(𝑥𝑥) ∙ 𝑣𝑣′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= [𝑢𝑢(𝑥𝑥) ∙ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)]𝑎𝑎𝑏𝑏 − � 𝑢𝑢′ (𝑥𝑥) ∙ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏

𝑎𝑎

9

In diesem Falle ist 𝑢𝑢(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥−𝑡𝑡)𝑛𝑛

𝑛𝑛 ! und 𝑣𝑣‘(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1). Setzt man dies nun in die Regel

ein, so erreicht man den folgenden Term:

𝑇𝑇𝑛𝑛+1(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛+1(𝑥𝑥)

= 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) +𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑥𝑥0)

𝑘𝑘!∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛+1 + �

(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)𝑛𝑛

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑡𝑡)�

𝑥𝑥0

𝑥𝑥

− � −(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)𝑛𝑛

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑥𝑥0

= 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) +𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝑥𝑥0) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛+1

𝑘𝑘!+

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1) −

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛 ∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)

𝑛𝑛!+ 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑥𝑥)

= 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) + 𝑅𝑅𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Somit entsteht die Taylorreihe mit dem Restglied in Integralform:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑘𝑘)(𝑥𝑥0)

𝑘𝑘!∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=0

+ �𝑥𝑥 − 𝑡𝑡

𝑛𝑛!∙ 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑥𝑥0

9 Vgl. Literatur 11

- 12 -

4. Annäherung an verschiedene Funktionen durch die Taylor-reihe

4.1. Annäherung an die Sinus-Funktion Die Sinus-Funktion nimmt in der Physik und der Mathematik einen hohen Stellenwert

ein. Sie ist jedoch als Term sin(𝑥𝑥) nicht direkt berechenbar, sondern nur durch die Nut-

zung von Wertetabellen oder durch das Eingeben der Werte in einen Taschenrechner.

Falls jedoch solche Geräte oder Tabellen nicht zur Hand sind, muss eine Näherung ge-

funden werden, die es ermöglicht, die Werte von sin(𝑥𝑥) direkt auszurechnen. Um diese

Näherung zu finden, kann die Taylorreihe genutzt werden.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥0) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) +𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥0)

2!(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + ⋯ +

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑛𝑛!

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛

Da die Taylorreihe nun n Ableitungen von 𝑓𝑓(𝑥𝑥) - hier sin 𝑥𝑥- verlangt, müssen diese erst

gebildet werden.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin(𝑥𝑥); 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) = cos(𝑥𝑥) ; 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = − sin(𝑥𝑥) ;

𝑓𝑓′′′ (𝑥𝑥) = − cos(𝑥𝑥) ; 𝑓𝑓′′′′ (𝑥𝑥) = sin(𝑥𝑥)

Da, wie hier gesehen, die 4. Ableitung wieder sin(𝑥𝑥) ergibt, wiederholt sich die Folge

wieder. Setzt man nun 𝑥𝑥0 = 0, so ergeben alle Ableitungen mit einem Sinus 0, da dieser

unabhängig vom Vorzeichen dort seine Nullstelle hat. Da sich die oben beschriebene

Reihe immer wiederholt, kann man sagen, dass somit alle Ableitungen wegfallen, die

ein Vielfaches von 2 als Ableitungsgrad haben. Der nicht abgeleitete Funktionsterm

fällt auch weg:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =cos(𝑥𝑥0)

1!∙ 𝑥𝑥 +

− cos(𝑥𝑥0)3!

∙ 𝑥𝑥3 +cos(𝑥𝑥0)

5!∙ 𝑥𝑥5 + ⋯

Bei 𝑥𝑥0 = 0 ergibt sich für den Cosinus immer 1. Deswegen sind hier auch die Vorzei-

chen vor dem Cosinus relevant. Dadurch, dass sich die Reihe der Ableitungen immer

wiederholt, kann man davon ausgehen, dass „+“ und „-“ immer abwechselnd vorkom-

men, startend mit „+“. Somit kommt man auf folgenden Funktionsterm:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =11!

∙ 𝑥𝑥 −13!

∙ 𝑥𝑥3 +15!

∙ 𝑥𝑥5 −17!

∙ 𝑥𝑥7 + ⋯

- 13 -

Diesen Term kann man auch mit einem Reihenterm ausdrücken. Diese Reihe stellt eine

Summe dar, die von 0 bis ∞ entwickelt wird. Da in einer Summe immer nur um eine

Ganzzahl vorangeschritten wird, muss dafür gesorgt werden, dass keine geraden Zahlen

vorkommen. Dies erreicht man, wenn man folgenden Term nutzt: (2𝑛𝑛 + 1). Das 2𝑛𝑛

sorgt dafür, dass die Zahl immer gerade ist. Wenn man nun noch 1 dazu addiert, so er-

langt man zwingend eine ungerade Zahl. Um dazu noch zu erreichen, dass die Vorzei-

chen sich immer abwechseln, muss der Term (−1)𝑛𝑛 noch vorangestellt werden. Bei

geraden Potenzen eliminieren sich die Minus-Zeichen und man erreicht „+“ als Lösung.

Für ungerade Potenzen gilt das umgekehrt. Nun erreicht man folgende Summenformel:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �(−1)𝑛𝑛 ∙𝑥𝑥2𝑛𝑛+1

(2𝑛𝑛 + 1)!

∞

𝑛𝑛=0

= sin(𝑥𝑥)

Da sich nicht eine Summe mit der oberen Grenze „∞“ errechnen lässt, muss man, wenn

man sich mit der Taylorreihe dem Sinus nähern will, eine klare Grenze setzen, was aber

auch dazu führt, dass die angenäherte Funktion nicht mehr der Sinus-Funktion ent-

spricht, sondern sich eben nur annähert. Wählt man beispielsweise 20 als obere Grenze,

so kommt man auf folgenden Funktionsterm 10

10 Errechnet und Ausgegeben mit Wolfram Mathematica 7.0; Quelltext :

Sum�(−1)𝑛𝑛 ∗ (𝑥𝑥2𝑛𝑛+1) �(2𝑛𝑛 + 1)!�⁄ , {𝑛𝑛, 0,20}�

:

𝑃𝑃20(𝑥𝑥) = �(−1)𝑛𝑛 ∙𝑥𝑥2𝑛𝑛+1

(2𝑛𝑛 + 1)!

20

𝑛𝑛=0

=𝑥𝑥1!

−𝑥𝑥3

3!+

𝑥𝑥5

5!−

𝑥𝑥7

7!+

𝑥𝑥9

9!−

𝑥𝑥11

11!+

𝑥𝑥13

13!−

𝑥𝑥15

15!+

𝑥𝑥17

17!−

𝑥𝑥19

19!+

𝑥𝑥21

21!−

𝑥𝑥23

23!

+𝑥𝑥25

25!−

𝑥𝑥27

27!+

𝑥𝑥29

29!−

𝑥𝑥31

31!+

𝑥𝑥33

33!−

𝑥𝑥35

35!+

𝑥𝑥37

37!−

𝑥𝑥39

39!+

𝑥𝑥41

41!

≈ sin(x)

- 14 -

Lässt man sich die die Abweichung der Polynomfunktion zu der sin 𝑥𝑥-Funktion als

Funktion plotten, so erhält man folgende Grafik:

Hier ist zu sehen, dass die durch die Taylorreihe angenäherte Polynomfunktion im In-

tervall [−14; 14] keine bemerkenswerten Abweichungen hat und somit zum Berechnen

von Funktionswerten innerhalb des Intervalls nutzbar ist.

4.1.1. Die MacLaurin‘sche Reihe Für die Annäherung an die sin 𝑥𝑥-Funktion wurde hier - um ein möglichst einfaches

Polynom zu erreichen - als Entwicklungspunkt für die Funktion der Wert 0 gewählt.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑘𝑘)(0)

𝑘𝑘!∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=0

= 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′ (0) ∙ 𝑥𝑥 +𝑓𝑓′′ (0)

2!∙ 𝑥𝑥2 +

𝑓𝑓(3)(0)3!

+ ⋯ +𝑓𝑓(𝑛𝑛)(0)

𝑛𝑛!+ ⋯

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

Schwarz: sin 𝑥𝑥 | Rot:𝑃𝑃20(𝑥𝑥)|𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝑏𝑏: 𝑃𝑃5(𝑥𝑥)

20 10 10 20

321

123

- 15 -

Dies ist ein Sonderfall der Taylorreihe, welcher auch die „Maclaurinsche Reihe“ ge-

nannt wird. Der Name stammt von dem schottischen Mathematiker Colin Maclaurin,

welcher diese in seinem Werk „Methodus incremetorum directa et inversa“11

4.2. Annäherung an die 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟏𝟏−𝒙𝒙

)-Funktion

nutzte.

Eine ebenso wichtige Funktion ist die ln(x)-Funktion. Jedoch besteht bei dieser auch

wieder das Problem, dass sich für sie nicht explizit durch einen Rechenterm die Funkti-

onswerte ausrechnen lassen. Eine Möglichkeit, einen solchen Rechenterm zu erstellen,

wäre also das Nutzen der Taylorreihe. Da man aber normalerweise als Entwicklungs-

punkt den Wert 𝑥𝑥0 = 0 nimmt, um eine MacLaurinsche Reihe zu erhalten, ist die ln(𝑥𝑥)-

Funktion ungeeignet, da sie bei dem Wert 𝑥𝑥 = 0 und allen negativen Werten nicht defi-

niert ist. Um dies zu umgehen, kann man nun den Entwicklungspunkt erhöhen, oder die

Funktion durch Veränderung des Wertes in der Klammer verschieben. Dafür wären die

Terme 1 + 𝑥𝑥 oder 1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

passend. Für den Term ln(1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

) konvergiert die Taylorreihe

schneller als für den Term ln(1 + 𝑥𝑥) 12. Somit scheint die Funktion ln(1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

) praktikab-

ler für die Betrachtung zu sein. Da ln(1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

) Definitionslücken bei 𝑥𝑥 = 1 und 𝑥𝑥 = −1

hat, ist der maximale Radius, in dem die Taylorreihe sich an die Funktion annähern

kann, der sogenannte Konvergenzradius gleich 1. Für den ln((1+𝑥𝑥)1−𝑥𝑥

)-Term trifft dies

auch zu. Um diese Funktion nun in eine Taylorreihe zu setzen, ist es wieder notwendig,

die Ableitungen zu bilden. Da der Term komplexer ist als z.B. ein sin(𝑥𝑥)-Term und sich

seine Ableitungen nicht nach einem Muster wiederholen, empfiehlt es sich, die Ablei-

tungen mittels eines Programms (In diesem Falle Wolfram Mathematica 7.0) zu bilden.

Diese durch den Computer berechneten Ableitungen, lassen an sich auf kein Muster

deuten. Wenn man jedoch 𝑥𝑥 = 0 immer einsetzt, kommt man auf folgende Beobachtun-

gen:

• Alle Ableitungen mit geraden Ableitungsgrad ergeben 0. Somit werden diese in

der Taylorreihe wegfallen.

• Betrachtet man nun die Werte, die durch die Ableitungen mit ungeraden Ablei-

tungsgrad entstehen, so erkennt man, dass diese Werte rasant ansteigen. Durch

11 Vgl. Literatur 4 12 Vgl. Literatur 5

- 16 -

das Einsetzen dieser Ergebnisse in die Taylorformel, lässt sich durch Kürzen

folgender Term erschließen:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 1

1+ 2𝑥𝑥 3

3+ 2𝑥𝑥 5

5+ 2𝑥𝑥 7

7+ 2𝑥𝑥 9

9+ 2𝑥𝑥 11

11+ 2𝑥𝑥 13

13+ 2𝑥𝑥 15

15+ 2𝑥𝑥 17

17+ 2𝑥𝑥 19

19

Hier lässt sich erkennen, dass die Nenner unter den einzelnen x-Potenzen den gleichen

Wert wie die Potenzen haben. Zudem wird jeder Bruch mit 2 multipliziert. Dies kann

man folglich auch mit einer Summenschreibweise darstellen:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln �1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥

� = 2 �𝑥𝑥2𝑘𝑘+1

2𝑘𝑘 + 1

∞

𝑘𝑘=0

für x ∈ ]-1;1[

Die Begrenzung, welche bestimmt, dass der angenäherte Term nur im Intervall ] − 1; 1[

gilt, kommt daher, dass die ln(1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

)-Funktion bei den Werten 𝑥𝑥 = −1 und 𝑥𝑥 = 1 Defini-

tionslücken besitzt ist und somit nicht stetig ist. Somit muss auch die Definitionsmenge

für die angenäherte Funktion gelten.

Entwickelt man nun die Näherung bis 𝑘𝑘 = 20, so erhält man folgenden Funktionsterm:

𝑃𝑃20(𝑥𝑥) = 2 �𝑥𝑥2𝑘𝑘+1

2𝑘𝑘 + 1

20

𝑘𝑘=0

= 2𝑥𝑥 +2𝑥𝑥3

3+

2𝑥𝑥5

5+

2𝑥𝑥7

7+

2𝑥𝑥9

9+

2𝑥𝑥11

11+

2𝑥𝑥13

13+

2𝑥𝑥15

15+

2𝑥𝑥17

17+

2𝑥𝑥19

19

+2𝑥𝑥21

21+

2𝑥𝑥23

23+

2𝑥𝑥25

25+

2𝑥𝑥27

27+

2𝑥𝑥29

29+

2𝑥𝑥31

31+

2𝑥𝑥33

33+

2𝑥𝑥35

35+

2𝑥𝑥37

37

+2𝑥𝑥39

39+

2𝑥𝑥41

41≈ ln �

1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥

� für x ∈ ]-1;1[

- 17 -

Hier lässt sich nur eine minimale Abweichung erkennen, welche man wieder plotten

lassen kann, was auf den untenstehenden Graphen führt.

Bei der Betrachtung der Abweichungswerte lässt sich sehen, dass nennenswerte Abwei-

chungen (Abweichung > 0,0001) erst ab ungefähr den Werten 𝑥𝑥 = ±0,845 erreicht

wird. Für alle betragsmäßig kleineren Werte ist also die Rechnung anwendbar. Entwi-

ckelt man bis 𝑘𝑘 = 40, so beginnt die nennenswerte Abweichung ungefähr erst ab den

Werten 𝑥𝑥 = ±0,917.

4.3. Annäherung an die 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝒙𝒙

-Funktion

Auch bei der Näherung an die 1𝑥𝑥-Funktion existiert das Problem, dass bei der Stelle

𝑥𝑥 = 0 eine Definitionslücke vorliegt. Deswegen empfiehlt es sich die Funktion zu ver-

schieben, um somit diese Definitionslücke ebenso zu verschieben. Zudem erzeugt in

diesem Falle eine zusätzliche Spiegelung an der y-Achse später in der angenäherten

1.0 0.5 0.5 1.0

4

2

2

4

2 1 1 2

6

4

2

2

4

6

Schwarz: ln �1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥

� | Rot:𝑃𝑃20(𝑥𝑥)|𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝑏𝑏: 𝑃𝑃5(𝑥𝑥)

- 18 -

Polynomfunktion einen besonders einfachen Term. Somit wird oft für eine zu 1𝑥𝑥 ähnliche

Funktion die Funktion 11−𝑥𝑥

-Funktion für die Taylor-Annäherung gewählt.

Um genügend Werte für die Taylorreihe zu erreichen, muss diese Funktion wieder

mehrmals abgeleitet werden. Hierfür kann man die Quotientenregel nutzen. Für diese

Regel substituiert man den Zähler des abzuleitenden Quotienten mit der Variable 𝑢𝑢 und

den Nenner mit der Variablen 𝑣𝑣. Diese werden dann in folgende Formel eingesetzt:

�𝑢𝑢𝑣𝑣

�′

=𝑢𝑢′ 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢𝑣𝑣′

𝑣𝑣2

Da die Ableitung von 1, also 𝑢𝑢, 0 ist, fällt der Minuend im Nenner weg. Deswegen

bleibt also nur noch −𝑢𝑢𝑣𝑣′ im Zähler übrig, was in diesem Falle 1 ergibt. Der Zähler

wird zu (𝑥𝑥 − 1)2. Somit wird die 1. Ableitung 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) = 1(1−𝑥𝑥)2. Für die 2. Ableitung

muss die Quotientenregel wieder angewendet werden. Jedoch ergibt sich hier im Zähler

nach Ableitung von 𝑣𝑣 mittels Kettenregel der Term 2(1 − 𝑥𝑥). Da aber im Zähler keine

Summe ist, kann (1 − 𝑥𝑥) einmal gekürzt werden. Das führt zu der 2. Ableitung

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 2(1−𝑥𝑥)3. Dadurch, dass immer durch die Kettenregel die Potenz des Nenners als

Faktor in den Zähler kommt und sich die (1 − 𝑥𝑥)-Terme im Zähler heraus kürzen, lässt

sich folgendes Muster in den Ableitungen erkennen:

𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥) =𝑛𝑛!

(1 − 𝑥𝑥)𝑛𝑛+1

Setzt man nun jeweils den Wert 𝑥𝑥 = 0 in die Ableitungen ein, so bleibt nur noch die

Fakultät von 𝑛𝑛 übrig. Angewendet auf die Taylorreihe ergibt sich also folgende Poly-

nomfunktion:

𝑝𝑝𝑘𝑘 (𝑥𝑥) =0!0!

∙ 𝑥𝑥0 +1!1!

∙ 𝑥𝑥1 +2!2!

∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ +𝑘𝑘!𝑘𝑘!

∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 1 + 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥𝑣𝑣𝑘𝑘

𝑣𝑣=0

Eine Entwicklung einer Annäherungsfunktion bis zum Wert 𝑘𝑘 = 20 ergibt folglich die-

sen Term:

- 19 -

𝑃𝑃20(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥𝑘𝑘20

𝑘𝑘=0

= 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥7 + 𝑥𝑥8 + 𝑥𝑥9 + 𝑥𝑥10 + 𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12

+ 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥15 + 𝑥𝑥16 + 𝑥𝑥17 + 𝑥𝑥18 + 𝑥𝑥19 + 𝑥𝑥20

Auch für diese Annäherung ist es wieder sinnvoll, sich die Abweichungen in einem

Graph anzuzeigen lassen:

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1

2

3

4

5

6

Schwarz:1

1 − 𝑥𝑥 | Rot:𝑃𝑃20(𝑥𝑥)|𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝑏𝑏: 𝑃𝑃5(𝑥𝑥)

- 20 -

Dieser Graph zeigt wieder, dass für die Werte, die ungefähr im Intervall [−0,8; 0,7]

liegen, sehr genau durch die Taylorreihe approximiert werden und somit für eine Rech-

nung nutzbar sind.

5. Anwendungen

5.1. Die Kleinwinkelnäherung Die Kleinwinkelnäherung dient in der Physik dazu, dass einige Rechnungen leichter

durchgeführt werden können. Sie besagt, dass bei genügend kleinen Winkeln der Wert

des Sinus ungefähr gleich dem Winkel ist. Für die Kleinwinkelnäherung muss also fol-

gende Gleichung gelten:

sin(𝛼𝛼) ≈ 𝛼𝛼

Diese Näherung ist durch die Taylorreihe des Sinus abzuleiten, welche durch die Sum-

me sin 𝛼𝛼 = ∑ (−1)𝑛𝑛 ∙ 𝛼𝛼2𝑛𝑛 +1

(2𝑛𝑛+1)!∞𝑛𝑛=0 ausgedrückt wird. Schreibt man nun die Entwicklung

aus, so erhält man folgendes Polynom:

sin 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 3

6+

𝛼𝛼 5

120− ⋯

Die Kleinwinkelnäherung wird oft für die Werte von 0° bis ca. 10° angewendet. Rech-

net man die Winkel in das Bogenmaß um, so kommt man auf den Wert 0,174533 für

10°. Da dieser Wert zwischen 1 und 0 liegt, wird er durch das 3-fache Potenzieren ver-

kleinert. Das weitere Teilen mit dem Nenner 6 verkleinert die Zahl weiter. Somit erlangt

man letztendlich einen vernachlässigbaren Wert von ungefähr 0,000886. Da sich im

weiteren Teil des Terms die Potenzen weiter erhöhen und die Werte der Nenner rasant

ansteigen, ist dieser Rest auch vernachlässigbar. Somit bleibt nur noch sin 𝛼𝛼 ≈ 𝛼𝛼 übrig.

5.2. Anwendungen in der Physik mit Beispiel In einigen Fällen sind gegebene Formeln in der Physik zu kompliziert oder zu komplex,

um sie für eine Rechnung zu nutzen, die kein sehr exaktes Ergebnis erfordert. Deswe-

gen wurden Näherungsformeln entwickelt, die versuchen, für einen gewissen Anwen-

dungsbereich möglichst genaue Ergebnisse zu liefern und trotzdem nicht zu schwer zu

errechnen sind.

- 21 -

Beispielsweise ist die Formel für die Körperausdehnung bei einem gewissen Tempera-

turunterschied13

Versucht man nun eine Näherungsformel zu erreichen, welche diese Wurzel nicht er-

hält, so kann man sich an die Funktion mittels einer Taylorreihe annähern. Dafür ersetzt

man 𝛾𝛾 ∙ Δ𝑡𝑡, welches die Variablen in der Formel darstellen, mit einem 𝑥𝑥 und entwickelt

somit um die Funktion

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √1 + 𝑥𝑥3

relativ komplex, da sie eine Wurzel 3. Grades enthält:

𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿1 �(1 + 𝛾𝛾 ∙ Δt)3

die Taylorreihe. Durch Ableiten erreicht man nun wieder die nötigen Werte für die Tay-

lorreihe.

𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) =13

(1 + 𝑥𝑥)−23 � 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =

13

∙ �−23

� ∙ (1 + 𝑥𝑥)−53 �

𝑓𝑓(3)(𝑥𝑥) =13

∙ �−23

� ∙ �−53

� ∙ (1 − 𝑥𝑥)−83

Für die Werte 𝑥𝑥 = 0 bilden also die Ableitungen folgende Ergebnisse:

𝑓𝑓′ (0) =13

� 𝑓𝑓′′ (0) = −29

� 𝑓𝑓′′′ (0) =1027

Entwickelt man nun aus diesen Werten das Taylorpolynom bekommt man diesen Term:

𝑃𝑃3(𝑥𝑥) = 1 +13

𝑥𝑥 −2

9 ∙ 2!𝑥𝑥2 +

1027 ∙ 3!

𝑥𝑥3

Für ein kleines x „verschwinden“ nun die Terme mit 𝑥𝑥2 und höher, da sie durch das

Potenzieren noch kleiner werden (z.B. 𝑥𝑥 = 0,001 => 𝑥𝑥 2

9≈ 0,0000001). Solche kleinen

Werte können also vernachlässigt werden, da eine derart exakte Messung nur schwer

oder gar nicht möglich ist.

Somit kann man nun die Funktion in einer Näherung mit dem Term

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1 +13

𝑥𝑥

13 Vgl. Literatur 1, S.297

- 22 -

umschreiben. Dies führt dazu, dass man eine Näherungsformel für die Körperausdeh-

nung angeben kann:

𝐿𝐿2 ≈ 𝐿𝐿1(1 +𝛾𝛾3

∙ Δ𝑡𝑡)

Durch das Finden dieser Näherungsformel ist es nun erheblich leichter zu rechnen, da

die Wurzel 3. Grades wegfällt. Eine Näherung durch die Taylorreihe nimmt also für die

Vereinfachung einer Rechnung in der Physik eine wichtige Stellung ein.

6. Schluss Die Facharbeit beschreibt nur einen Teil der Anwendungen und der Möglichkeiten der

Taylorreihe. Durch eine Erweiterung der Formel ist es selbst möglich, mehrdimensiona-

le Funktionen anzunähern. Dies kann beispielsweise in der Physik bei dem Rechnen mit

dreidimensionalen Vektoren sehr hilfreich sein. Auch in der Informatik, beispielsweise

in der Umrechnung von Fischaugen-Fotografien in Weitwinkelaufnahmen,14

werden die

Taylorreihen genutzt. Somit stellt die Taylorreihe eine wichtige mathematische Metho-

de dar und wird auch deswegen öfters genutzt.

14 Vgl. Literatur 1, S. 298

- 23 -

7. Anhang

7.1. Literatur und Quellen 1. Georg Glaser, „Der Mathematische Werkzeugkasten – Anwendungen in Natur

und Technik“, München, 2006

2. Kurt Degen, „Mathematisches Unterrichtswerk, Analysis 2“ , München, 1977

3. Andre Weil, „Wurzelzieher Mathepedia“ http://mathepedia.de/Satz_von_Rolle.aspx

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 17.01.2010)

4. Seite „Colin Maclaurin“. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bearbeitungs-

stand: 5. Januar 2010, 12:03 UTC. URL:

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Colin_Mclaurin&oldid=335986531

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)

5. Seite „Taylorreihe”. In Wikipedia, Die Freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 4.

Januar 2010, 19:41 UTC. URL:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylorreihe&oldid=68829819

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 24.01.2010)

6. Hermann Athen, Jörn Bruhn, „Lexikon der Schulmathematik, Band 3 - L bis R“,

1977, Köln

7. Hermann Athen, Jörn Bruhn, „Lexikon der Schulmathematik, Band 4 – S bis X“ ,

1978, Köln

8. Marianne Baierlein, Friedrich Barth, Ulrich Greifenegger, Gerd Krumbacher,

„Anschauliche Analysis 2 – Leistungskurs“ , München, 1984

9. Seite „Taylor Series“. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bearbeitungsstand:

21. Januar 2010, 11:32 UTC. URL:

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylor_series&oldid=339242431

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 17.01.2010)

10. Seite „Taylor-Formel”. In Wikipedia, Die Freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand:

6. Januar 2010, 20:06 UTC. URL:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylor-Formel&oldid=68923565

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)

11. Seite „Partielle Integration“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbei-

tungsstand: 23. Januar 2010, 13:12 UTC. URL:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Partielle_Integration&oldid=69691611

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 24.01.2010)

- 24 -

12. Seite „Folge (Mathematik)“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbei-

tungsstand: 5. Januar 2010, 10:26 UTC. URL:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Folge_(Mathematik)&oldid=68851671

(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)

7.2. Hilfsmittel Für das erstellen der Funktionsgraphen und das errechnen von Ableitungen und For-

meln nutzte ich das Programm Wolfram Mathematica 7.0. Der Text und die Formeln

wurden in Microsoft Word 2007 geschrieben.

Diese Facharbeit „Die Herleitung und Erklärung der Taylorreihe anhand verschiedener

mathematischer Funktionen und ihrer Anwendung in der Physik“ von Daniel Thiem

steht unter einer

Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0

Deutschland Lizenz.

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/

- 25 -

„ Ich erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die

im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe“

………………………, den …………… …………………………….. Ort Datum Unterschrift des Schülers