Niels Lategahn

SeminarFunktionale Datenanalyse

(WS 2014/15 )

10.11.2014

Funktionen mit NebenbedingungenFunktionen mit Nebenbedingungen

Niels Lategahn TU Dortmund

1. Fallstudie und Motivation

2. Nebenbedingungen

- positive Funktionen

- monotone Funktionen

- Wahrscheinlichkeitsfunktionen

- Dichtefunktionen

3. Aufgaben

4. Literatur

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis

Niels Lategahn TU Dortmund

Daten der Wachstumsstudie:

- Länge des Schienbeins eines Babys

- 40 Tage, tägliche Messung

- Problem: kleine Fehler in der Messung

führen zu nicht monotoner Funktion

Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation

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Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation

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Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation

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Welche Nebenbedingungen kann man an eine Funktion stellen?

Wie können diese bei der Anpassung berücksichtigt werden?

NebenbedingungenNebenbedingungen

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Mögliche Nebenbedingungen:

- Positive Funktion

- Monotone Funktion (Fallbeispiel)

- Wahrscheinlichkeitsfunktionen

- Dichtefunktionen

NebenbedingungenNebenbedingungen

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Positive Funktionen:

Nebenbedingung: x(t) ≥ 0

Beispiel: Wetterdaten

Positive FunktionenPositive Funktionen

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Transformation:

x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.

W(t) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst,

um den Term

zu optimieren (minimieren).

Positive FunktionenPositive Funktionen

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Transformation:

x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.

W(t) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst,

um den Term mit Korrelationsstruktur K

zu optimieren (minimieren).

Positive FunktionenPositive Funktionen

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Positive FunktionPositive Funktion

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Positive FunktionPositive Funktion

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Positive FunktionenPositive Funktionen

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Exkurs: Was sind Differentialgleichung?

1. Ordnung:

wird gelöst durch

4. Ordnung:

wird gelöst durch

Positive FunktionenPositive Funktionen

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Herangehensweise durch Differentialgleichung:

Erfüllt durch:

Definiere W(t) so, dass

Monotone Funktionen:

Nebenbedingung: Dx(t) ≥ 0

Beispiel: Wachstumsdaten

Monotone FunktionenMonotone Funktionen

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Monotone FunktionenMonotone Funktionen

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Transformation der Differentialgleichung:

Dx(t) ist positiv und dadurch x(t) monoton steigend

W(u) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst.

Monotone FunktionenMonotone Funktionen

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Monotone FunktionenMonotone Funktionen

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Differentialgleichung 2. Ordnung:

und

so ergibt sich folgendes W(u)

Ist w(t) = 0:

w(t) ≠ 0, const w:

Monotone FunktionenMonotone Funktionen

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Quelle: Ramsey, J.O., Silverman, B.W.(2005)

Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

Nebenbedingung: p(t) > 0 und p(t) < 1

Beispiel: Wahrscheinlichkeit des Lösens einer

Aufgabe (z.B. Raschmodell)

WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen

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WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen

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Nun:

mit

wird gelöst durch:

Definiere W(t) als

und erhalte:

WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen

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Dichtefunktionen:

Nebenbedingung: p(t) > 0 und ∫p(t)dt = 1

Beispiel: Dichteschätzung

DichtefunktionenDichtefunktionen

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DichtefunktionenDichtefunktionen

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Transformation:

mit

sodass

DichtefunktionenDichtefunktionen

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Maximieren der Log-Likelihood-Funktion

mit Strafterm

DichtefunktionenDichtefunktionen

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DichtefunktionenDichtefunktionen

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AufgabenAufgaben

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Aufgabe:

1. Simuliere 50 Daten der mon. steigenden Funktion

y(t) = t + sin(t) + e mit e ~ N(0,4) auf

dem Intervall [0,10] mit homogenem Abstand.

Plotte die Werte und passe eine Funktion

mit und ohne Nebenbedingung (Monotonie) an.

Benutze dazu die R-Funktion smooth.monotone

AufgabenAufgaben

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Aufgabe:

2. Ziehe zufällig 60 Werte aus einer

- N(0,1) – Verteilung

- Exp(2) – Verteilung

Passe eine Dichtefunktion zu den Werten an

und variere den Parameter λ des

Starfterms (3. Ordn.). R-Funktion: density.fd

LiteraturLiteratur

Niels Lategahn TU Dortmund

Ramsey, J. O., Silverman, B. W. (2005),

Functional Data Analysis, 2. Auflage,Springer, New York.

Ramsay, J.O., Silverman, B. W. (1997),

Funktional Data Analysis, Springer, New York.

Ramsay, J., Hooker, G., Graves, S. (2009)

Functional Data Analysis with R and Matlab, Springer.