Grundlagen der Regelungstechnik

Grundzüge der Regelungstechnik

4. LaplaceTransformation

GRUNDLAGEN DER REGELUNGSTECHNIK

Gunter ReinigE-Mail reinig@rus.rub.de

Telefon: 32-24060 IB 3 / 153

Regelungstechnik 1

Kapitel 4

Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik

4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik

0. Motivation / Allgemeines

Hoher Rechenaufwand bei Verwendung des Exponential-Ansatzes zur Lösungder Modellgleichungen (auf bei Anfangsbedingungen gleich Null)wegen „nachträglicher“ Berücksichtigung der Anfangsbedingungen

Schwierige Verrechnung von Blockschaltbildern, wenn Integrations- oder Differenzierungs-Operatoren auftreten

Alternativer Zugang:

Transformation aus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen „geeigneten Bildbereich“

Verrechnung, Manipulation im Bildbereich, ggf. Analyse im Bildbereich

Rücktransformation in den Originalbereich

4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen

Funktion f(s) bewirkt Abbildung einer Zahl aus der s-Ebene auf die f(s)-Ebene

Funktionaltransformation bewirkt Abbildung einer Funktionaus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen Bildbereich

Unabhängige Variable: Zeit t Unabhängige Variable: s = δ + i ω

Integraltransformation – eine Funktionaltransformationen für stetige Funktionen

Allgemein:

Originalfunktion

Laplace-Transformation:Originalfunktion

Kernfunktion

t1 = 0 t2 = ∞

definiert für t ≥ 0

Laplace-Integral:

Anwendbar für Funktionen, für die das Integral existiert

Kernfunktion der Transformation

4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen

Laplace-Integral:

Symbole: Λ [x(t)] = X(s) = [

Korrespondenz: ( )x t o X(s)•l

Beispiel Rampenfunktion

Korrespondenztabellen für wichtigste Funktionen verfügbar

4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Beispiel DGL 1. Ordnung

Nutzung von Überlagerungs- und Verstärkungsprinzip:

Für Systeme n-ter Ordnung:

Dringend benötigt: Lösung für Teilausdrücke:

Partielle Integration:

aus der Voraussetzung derExistenz des Integrals

Damit ergibt sich:

Bei x(0) handelt es sich definitionsgemäß um einen rechtsseitigen Grenzwert:

Die Laplace-Transformierten höherer Zeitableitungen ergeben sich analog:

Differenziationssatz der Laplace-Transformation

Für eine DGL 1. Ordnung wird damit:

Umgestellt nach xa

Anwendung des Differenziationssatzes auf DGL n-ter Ordnung:

ergibt:

bzw. unter Weglassen der Ausdrücke mit den Anfangswerten

Dabei wird verlangt, dass : und

„Umgang“ mit den Anfangsbedingungen:

Die rechtsseitigen Anfangswerte sind nicht bekannt.

Für die hier betrachteten Anwendungen wird angenommen:

Weitere vereinfachende Annahme: System befindet sich für t < 0 im Ruhezustand

„verschwindende Anfangsbedingungen“

Dann ergibt sich z. B. für eine DGL 3. Ordnung:

Laplace-Transformation und Ausklammern von Ausklammern von Xe(s) und Xa(s)

Verhältnis von Xa(s) zu Xe(s)bei verschwindenden Anfangs-bedingungen

Damit ergibt die Lösung für Xa(s) (zunächst im Bildbereich!):

Übertragungsfunktion:

Xa(s) Xe(s)Xe(s) Xe(s)

Xe(s)Xa(a)=

Schritte bei der Lösung einer linearen DGL in der linearen Regelungstechnik

1. Aufstellen der Übertragungsfunktion (unmittelbar aus der DGL unter Nutzung der Differenziationssatzes)

2. Laplace-Transformation der Eingangsgrößen Λ [xe(t)] = Xe(s) (ggf. unter Nutzung von Korrespondenztabellen)

3. Ermittlung von Xa(s) = G(s) Xe(s)

4. Rücktransformation der Bildfunktion Xa(s) in eine Zeitfunktion xa(t)

ax (t) = [X1 a

−L ︵s ︶]

Benötigte Ressourcen:KorrespondenztabellenRechenregeln (Sätze der Laplace-Transformation

4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale

1.) Einheitssprung σ(τ)

2.) Exponentialfunktion x(t) = ea t

a - beliebige reelle oder komplexe Zahl

Für a = 0: ea t = e0 = 1 =

3.) sinus x(t) = sin ω t

Trick zur Vermeidung der Integration: n=2

x(t)=sin t x(t) cos t und x sin t 2( t )

Umstellen:

Für ω ω ω ω ω• ••

= = −istEinsetzen von x( t )

••ergibt:

Umstellen:

Korrespondenzen-Tabelle

4.4 Die wichtigsten Sätze der Laplace-Transformation

Für verschwindende Anfangsbedingungen:

2. Zeitverschiebungssatz

Übertragungsglied mit (Transport-) Totzeit T bewirkt „Zeitversatz“ der Ausgangsgröße

1. Differenziationssatz

xa(t) = xe(t-T)

Mit x( t-T ) = 0 für t<T und der Substitution (t – T) = τ wird:

2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)

Für t > T kann τ durch t ersetzt werden

Zeitverschiebung im Originalbereich entspricht Multiplikation mit e-sT im Bildbereich

2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)

Beispiele für Anwendungen des Zeitverschiebungssatzesa) Übertragungsfunktion eines Totzeit-Übertragungsgliedes (Transport-Totzeit)

G(s) =e-sT

b) Laplace Transformierte einer abschnittsweise definierten Funktion

Nachbildung durch die Überlagerung von zwei Sprungfunktionen

Laplace-Transformation

Grenzübergang τ 0 führt zur Bildfunktion des Dirac-Impulses

2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

3. Faltungssatz (2)Produkt von Originalfunktionen wird für lineare DGL nicht benötigt

(u. nicht besprochen)Wichtig jedoch das Produkt von Bildfunktionen (insbesondere für Rücktransformationen):

oder mit dem Faltungs-Symbol *

mit den Eigenschaften:

Nützlich für den nicht seltenen Fall, dass die Bildfunktion als Produkt vonvon Bildfunktionen mit bekannten Rücktransformation darstellbar ist(Beispiele folgen).

3. Faltungssatz (3)

Beispiel für Zeitverschiebungssatz und FaltungssatzAbschnittsweise definiertes Eingangssignal

Übertragungsglied mit DGL

Eingangssignal als Summe zweier Rampen:

und DGL

Aus Korrespondenz-Tabelle:

Für xe2(t) Nutzung des Zeitverschiebungssatzes:

Summares Eingangssignal:

Ausgangssignal:

Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (2)

Rücktransformation

Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (3)

Aus Tabelle:

folgt mit Faltungssatz:

Für :≤ ≤0 t T

Für :≥t T

4. AnfangswertsatzBestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = 0+ direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)

5. EndwertsatzBestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)

4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung

Oft liegt Xa(s) als gebrochen rationale Funktion vor, z.B.:

)s(sR)s(Q

s)s(G)s(H)s(X a ===

Nach dem Gauß‘schen Fundamentalsatz der Algebra kann jedes Polynomals Produkt der Linearfaktoren geschrieben werden; für R(s) ergibt das:

− −=−−−−−=n

1kkn1nk1 )ss()ss)(ss()...ss()2ss)(ss()s(R ...

und H(s) kann in Partialbrüche zerlegt werden:

mit der Partialbruchzerlegung:

Einfache Rücktransformation der Teilausdrücke (s. Tabelle):

Für eine Sprungantwort / Übergangsfunktion mit x(t) = 1 und Xe(s) = 1/s :

Bestimmung der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich (Beispiel folgt)

Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung

Übertragungsglied mit DGL

Übertragungsfunktion

Bildfunktion der Sprungantwort / Übergangsfunktion

Partialbruchzerlegung

Korrespondenzen:

Ursprüngliche Bildfunktion Koeffizientenvergleich

Lösung / Übergangsfunktion im Zeitbereich

Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung (2)

Grundlagen der Regelungstechnik

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