Post on 06-Apr-2016
Gesetz von Darcy (1)Voraussetzung: Schleichende Strömung 4Re
qd
Darcy-Experiment: Q prop. hQ prop. AQ umgekehrt prop. L IkAQ
LhAkQ
fF
f
v/
Gesetz von Darcy (2)
Analog zu Hagen-Poiseuille Gesetz für einzelne Kapillare:
dxdh
dg p2
32v
Darcy Gesetz ist Erweiterung für statisches Ensemble von Kapillaren.
Hydraulische Leitfähigkeit
gkk f
k Permeabilität (Länge im Quadrat)
Gesteinseigenschaft
Fluideigenschaft
Typische Werte von kf:
Grobsand 10-3 m/sFeinsand 10-4 m/sTon 10-8 m/s
GeschwindigkeitsbegriffeFiltergeschwindigkeit (spezifischer Abfluss) vF=Q/A
Abstandgeschwindigkeit (Porengeschwindigkeit) u
vF
u = vF/n
Piezometerhöhe
2gv
2gv 22
hgpzH
In Grundwasserströmungen ist v sehr klein (.1 – 10 m/d)Deshalb kann v2/(2g)vernachlässigt werden.
hH
Die Piezometerhöhe (und das Potential) kann damit alsspez. Energie interpretiert werden.
Verallgemeinertes Darcy-Gesetz
hkq fF v
Bei homogenem Medium (kf=konstant) und Quellen-Freiheit folgt mit der Kontinuitätsgleichung:
00v 2 hhhkq fF
Die Grundwasserströmung im homogenen Medium ist einePotentialströmung
h Piezometerhöhe
Randbedingungen
Beispiel Dammdurchströmung
h
h
A: undurchlässiger Rand: q Rand Stromlinie.B: Übergang zu Oberflächenwasser: h = konst. PotentiallinieC: freie Oberfläche: q Wasserspiegel Stromlinie und p = 0 .h = z.D: Sickerstrecke: p = 0 h = z
Grundwasserleiter (Aquifere)
Gespannt: Begrenzt zwischen Sohle und Decke, Piezometerhöhe steht über Decke
Frei: Freier Grundwasserspiegel, Piezometerhöhe = GW-Spiegel
Sohle
DeckeTransmissivität T=kfm
1-D gespannter Aquifer
Stationäre Grabenströmung: d hdx
h2
2 0
Lösung mit obigen Randbedingung: xLhhhh 12
1
mkTmitLhhT
bQ
f
12
1-D freier Aquifer
Lösung mit obigen Randbedingungen:
Lxhhhh )( 2
22
12
12
Lhhhhk
Lhhk
qbQ ff )(
2)(
22121
22
21
0
dxdhhk
dxd
fStationäre Grabenströmung:
1-D freier Aquifer mit Neubildung
Lösung mit obigen Randbedingungen:
)()( 22
21
21
2 xLxkN
Lxhhhh
f
)2/(
2
22
21 LxNLhhk
qbQ f
Ndxdhhk
dxd
f
Stationäre Grabenströmung:
Geschichtete GrundwasserleiterParallel
Seriell
k dd
kfai
fi
n
i
1
1 1
1kdd kfh
i
fi
n
i
Gew. arithmetisches Mittel
Gew. harmonisches Mittel
Mittlerer Durchlässigkeitsbeiwert
Anwendung der PotentialtheorieGültig für ebene Strömungen und kf = konstant
q k kf f
Potentialfunktion bzw
Stromfunktion
x y x y, ,
y
kx x
kyf f ;
und erfüllen die Cauchy-Riemannschen DGL
Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (1)
ks nf
• Tangenten an - und -Linien orthogonal• Diagonalen einer Netzmasche orthogonal• In Netzmaschen können Kreise einbeschrieben werden• Strom- bzw. Potentiallinien dürfen sich weder berühren noch schneiden
Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (2)
-- Abgrenzung des Strömungsbereichs, in dem das Strömungsnetz konstruiert werden soll.-- Bestimmung der Randbedingungen.
- Konstruktion des Netzes durch Probieren, wobei die obengenannten Regeln beachtet werden müssen
Durchfluss Q
i i
Hn1
q ksf
Q q n B ks
n B k B kHn
Bf f f
B Breite bzw. Dicke senkrecht zur Zeichenebene
Strömungskräfte im porösen Medium
F n g g VG s w( ) ( )1 Gewichtskraft
Strömungskraft VshngyxhngF wwS
Sicherheit gegen hydr. Grundbruch: = FG/FS > 2
Bestimmung des Strömungsgefälles
hs
Hd d
1 22
Aus Potentialliniennetz:
Näherungsweise
hs
Hd
Bei vorhandener Sperrschicht
Brunnen im gespannten GWL
Annahmen: Medium homogen, isotrop, unendlich ausgedehnt,Strömung radialsymmetrisch
Brunnenformel (stationär, gespannter Aquifer)
Q r m q r m k dsdrf 2 2
ds Qmk
drrf
r
R
s r 2
0
''( )
Kontinuität
Randbedingungen
r = rB, s = sB, r = R, s = 0
Integration liefert:
bzw. s r Q
mkRrf
2
ln
s r QT
rR
2
ln
Brunnen im freien GWL (2)Kontinuität Q rh k
dhdrf 2
Separation der Variablen und Integration
hdh
Qk
drrf
r
R
h r
H
H h rQk
Rr
H h r H h rQk
rR
f
f
2 2
ln
ln
s r H h rQ
TrR
2
lnbzw.
Mehrbrunnenanlagen
Durch Superposition
Vorsicht:Superponiere s,da im Unendlichen Null. (HomogeneRandbedingungen)
s s r s r s r s r s r QT
Rr
Rr
Rr
Rr
s QT
r rr r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln
ln ; )
1 2 3 4 51 2 4 5
1 2
4 5
2
20
wobei s(r3