Post on 05-Apr-2015
Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation IVorlesung 5
WS 2000/2001
Topologie, Landkarten, Datenstrukturen
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
2 2
Zusammenhang II
• Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante.
• Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt.
• (Für Flächen mit „vernünfti-gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie)
elastischeVerformung
Pfadzusammenhang
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3 3
Regularisierung
• X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben).Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von Xreg(X) = X°¯
• Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen)
InneresAbschluß
X
reg(X)
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4 4
Tesselation
• Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen).
• vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche
• überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen
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5 5
Landkarten
• Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften:a) jede Masche ist der
geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent
b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent
• Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist
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6 6
Einschränkungen
Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen (Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen):
Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.
• Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt
• Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren
• Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend
• Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)
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Topologische Beziehungen in Landkarten
Adjazenz von Knoten und Kanten
Adjazenz von Kanten und Maschen
Adjazenz von Kanten und Kanten
Adjazenz von Maschen und Maschen
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8 8
Geometrisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten
• Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden
• Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?
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9 9
1. Spaghetti - Struktur
- nur Geometrie
- keine Topologie
Repräsentationen von Landkarten
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10 10
Flächen:
A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0
B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0
C: 5.0 4.05.0 6.0 5.0 7.00.0 3.0 1.0 1.0
(5.0 4.0)
(5.0 1.0)
(2.0 0.0)
(7.0 3.0)
(1.0 1.0)
(7.0 6.0)
(5.0 6.0)
(5.0 7.0)
(0.0 3.0)
A
BC
x y
Spaghetti
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11 11
UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur
M asche
Koordinate
2n
1..1
{geordnet}
Paare von Koordinaten
geordnete Folgevon Koordinaten
[0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]
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12 12
P2
P1
P3bP4a
P5a
P6
P7b
P8
P9
A
BC
Flächen:
A: P1 P2 P3aP4a P5a
B: P4b P3b P6 P7b
C: P4c P7b P8 P9 P5c
P5c
P4b
P7c
P3a
P4cP1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........
Spaghetti (Kompositionvon Punktobjekten)
Punkte:
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13 13
Flächen:
A: P1 P2 P3aP4a P5a
B: P4b P3b P6 P7b
C: P4c P7b P8 P9 P5c
Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........
P2
P1
P3bP4a
P5a
P6
P7b
P8
P9
A
BC
P5c
P4b
P7c
P3a
P4c
Spaghetti (Kompositionvon Punktobjekten)
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14 14
UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten
Masche
Punkt
n
1..1
{geordnet}
Komposition
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15 15
2.0, 5.0
3.0, 6.0
7.0, 2.0
Vor- und Nachteile
• Vorteile:– bequem für
Flächenberechnung
– gut für Graphikprogramme
• Zeichnen von Polygonen
• Nachteile:– Topologie nur implizit
– fehleranfällig
– wenig änderungsfreundlich
– Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten
P1
P1P2
P3P5
P4
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16 16
vorher
nachher
Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes
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17 17
Flächen:
A: P1 P2 P3 P4 P5
B: P4 P3 P6 P7
C: P4 P7 P8 P9 P5
Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................
Punktobjekte ohne Redundanz
P1
P2
P3
P6P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
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18 18
Flächen:
A: P1 P2 P3 P4 P5
B: P4 P3 P6 P7
C: P4 P7 P8 P9 P5
Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................
Punktobjekte ohne Redundanz
P1
P2
P3
P6P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
19 19
UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz
Masche
Punkt
n
1..n
{geordnet}
AggregationBeachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden.
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
20 20
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten-Maschen-Struktur
E6
P1
E11
P2
P3
P6P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
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21 21
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P3
P6P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
E6
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
22 22
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
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23 23
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
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24 24
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
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25 25
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
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26 26
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
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27 27
Knoten-Maschen-Struktur
P1
E11
P2
P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
P3
P6
E6
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
28 28
Masche
Kante
Knoten
Punkt
2
3..*
begrenzt
2
2..*
begrenzt
1
1Geometrie
neuTopologie explizit
Redundanzfreiheit wirderzwungen
UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur
Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 5
29 29
Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur
• Vorteile:– Geometrie ist
redundanzfrei
– Topologie ist explizit
– bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden
• Nachteil– der Kantenumring ist nicht
direkt gegeben, sondern muß berechnet werden
• Lösung: Kanten mit Flügeln