Institut für Theoretische PhysikInstitut für Theoretische Physik Ilmenau, 17. Juni Ilmenau, 17. Juni 20032003

Vortrag an der TU Ilmenau

Peter H. Richter

Was haben Fraktale mit Chaos zu tun?

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Wie lang ist die Küste von

England?

Koch 1904

Mandelbrot 1967

Hausdorff (1868-1942)

Sierpinski (1882-1969)

Richardson 1961

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Es gibt viele Methoden, Fraktale zu erzeugen

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zu f(z) = z3 – 1 oder anderen kubischen PolynomenNewton-Verfahren

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Julia

Julia und Mandelbrot-Mengen

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Fraktale Dimension

D 2 ?

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zzzf )1()( 3

13

2)(

3

3

z

zzN f

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Deterministisches Chaos

• Alternativen: – konservativ dissipativ– kontinuierlich diskret– gebunden (kompakt) offen (unbeschränkt)– Punktmechanik Quanten bzw. Wellen

• Aspekte:– Geometrie: Struktur der Blätterung des Phasenraums durch

invariante Mengen– Dynamik: permanente Bewegung mit kontinuierlichem Spektrum

und positivem Lyapunov-Exponenten– Symbolik: Identifikation und Interpretation von Hufeisen

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sin

sin

´

´

Kr

Kr

rr

Konservativ vs. dissipativ

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• Billard-Systeme• Planeten • f-Pendel und Kreisel

Methode: Poincaré-SchnitteMethode: Poincaré-Schnitte

Billard

K-Vergleich Jacobi

Konservatives Chaos

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Poincaré-Schnitteund Orbitsim S-Bereich

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Stabilität der Trojanerbahnen

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Keplers Kosmos

• Einfache Gesetze– Keplers 1., 2., 3. Gesetz

• Harmonie der Frequenzen• Göttlicher Bauplan

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Das eingeschränkte Dreikörperproblem

0.50.5

0.000 030.000 03 0.000 0030.000 003

0.0010.001

Jacobi-Potentiale

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Der goldene Schnitt …

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…im Doppelpendel und beim

Jupiter

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Trojaner-Stabilität

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