Institut für Theoretische Physik Ilmenau, 17. Juni 2003 Vortrag an der TU Ilmenau Peter H. Richter...

Institut für Theoretische PhysikInstitut für Theoretische Physik Ilmenau, 17. Juni Ilmenau, 17. Juni 20032003

Vortrag an der TU Ilmenau

Peter H. Richter

Was haben Fraktale mit Chaos zu tun?

Institut für Theoretische PhysikInstitut für Theoretische Physik PHR Ilmenau 17. 6. 2003PHR Ilmenau 17. 6. 2003

Wie lang ist die Küste von

England?

Koch 1904

Mandelbrot 1967

Hausdorff (1868-1942)

Sierpinski (1882-1969)

Richardson 1961


Es gibt viele Methoden, Fraktale zu erzeugen


zu f(z) = z3 – 1 oder anderen kubischen PolynomenNewton-Verfahren


Julia

Julia und Mandelbrot-Mengen


Fraktale Dimension

D 2 ?


zzzf )1()( 3

13

2)(

3

3

z

zzN f


Deterministisches Chaos

• Alternativen: – konservativ dissipativ– kontinuierlich diskret– gebunden (kompakt) offen (unbeschränkt)– Punktmechanik Quanten bzw. Wellen

• Aspekte:– Geometrie: Struktur der Blätterung des Phasenraums durch

invariante Mengen– Dynamik: permanente Bewegung mit kontinuierlichem Spektrum

und positivem Lyapunov-Exponenten– Symbolik: Identifikation und Interpretation von Hufeisen


sin

sin

´

´

Kr

Kr

rr

Konservativ vs. dissipativ


• Billard-Systeme• Planeten • f-Pendel und Kreisel

Methode: Poincaré-SchnitteMethode: Poincaré-Schnitte

Billard

K-Vergleich Jacobi

Konservatives Chaos


Poincaré-Schnitteund Orbitsim S-Bereich


Stabilität der Trojanerbahnen


Keplers Kosmos

• Einfache Gesetze– Keplers 1., 2., 3. Gesetz

• Harmonie der Frequenzen• Göttlicher Bauplan


Das eingeschränkte Dreikörperproblem

0.50.5

0.000 030.000 03 0.000 0030.000 003

0.0010.001

Jacobi-Potentiale


Der goldene Schnitt …


…im Doppelpendel und beim

Jupiter


Trojaner-Stabilität

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