Post on 06-Apr-2016
Kapitel 5 Rotation
5. Rotationsbewegung5.1 Translation – Rotation
Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen Punkt dreht.
Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen.
Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl, ...
Kapitel 5 Rotation
Der Drehwinkel (Winkelweg)
b
Die Punkte des starren Körpers umlaufen die Achse umso schneller, je weiter sie von der Achse entfernt sind.
Drehwinkel: rb
Einheit: rad11m1m1
rb
Radiant ist dimensionslos.
In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet.
Kapitel 5 Rotation
Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π.
Umrechnung Gradmaß Bogenmaß:
Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge!180
rb
180
Daraus folgt: φ ... Winkel im Bogenmaß
α … Winkel im Gradmaß
Gradmaß 0 30° 45° 57° 90° 180° 360°
Bogenmaß 0 1 π 2π6
4
2
Kapitel 5 Rotation
Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus!
Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm
Minutenzeiger: min = 14* π mm
Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm
Kapitel 5 Rotation
Winkelgeschwindigkeitsvektor
5.2 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbe-schleunigung, Bahngeschwindigkeit 5.2.1 Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit = Zeitbenötigte
Drehwinkelnerdurchlaufe
t
Einheit: s
rad1
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor in Richtung der Drehachse. Seine Richtung wird mit Hilfe der Korkenzieherregel (Rechtsschraubenregel) bestimmt.
Kapitel 5 Rotation
Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const.
Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung wichtig.
Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf)
Umdrehungszahl: f ( = Frequenz)
T1f f2
T2
Kapitel 5 Rotation
5.2.2 Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation
Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit.Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an.
Winkelbeschleunigung = Zeit
keiteschwindiglgWinkederÄnderung
t
Einheit: 2srad1
Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der Drehachse.
Kapitel 5 Rotation
5.2.3 Die Bahngeschwindigkeit
vr
tsv
T
r2 r
rv = x
rv
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.Vektorielles Produkt:
Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator!
vms
kmh
286160
6 37 10 464 16726,
Kapitel 5 Rotation
Schlag
1 2
r/2
r
Versuch:
Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die beiden Körper in die Höhe geschleudert.Um wie viel springt K2 höher?
Vermutung: wegen v = r → doppelt so hoch.
Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch.
Kapitel 5 Rotation
5.3 Die Zentripetalkraft
Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten.
Was ist dazu notwendig?
Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten.
Sie ist zum Zentrum hin gerichtet.
Kapitel 5 Rotation
Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu:
rmrvmamF 2
2
zZp
Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus!
Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das Doppelte erhöht wird?
22
22
z sm63,4
156,330
rva
1) 30 km/h
2) 60 km/h
3) 120 km/h
22
2
z sm52,18
156,360a
22
2
z sm07,74
156,3120a
Nicht realistisch
Kapitel 5 Rotation
Straßenverkehr
Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve (Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst („Fahre v-denke v2")!
Kapitel 5 Rotation
5.4 Die Zentrifugalkraft
Ein Körper wird auf einer sich gleichmäßig rotierenden Scheibe von einer Federwaage festgehalten. Die Federwaage zeigt eine Kraft an.
Kapitel 5 Rotation
Erklärung:
1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe): Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die Zentripetalkraft notwendig. Sie wird von der Feder aufgebracht.
rmF 2Zp
2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem): Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach außen gerichtet.
rmrvmF 2
2
Z
Kapitel 5 Rotation
ruhend
rotierend
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Die Zentripetalkraft bewirkt die Kurvenfahrt.
Die Zentrifugalkraft drängt mich nach außen.
Kapitel 5 Rotation
Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden Systemen auftritt.
Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik auch auf Nicht‑Inertialsysteme anwenden zu können.
Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetralkraft.
Beispiele zur Zentrifugalkraft:Zentrifuge, WäscheschleuderFliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen, ...)Abplattung der Erde (Modell zeigen)
Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer)Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen. Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit.
Kapitel 5 Rotation
Geoida=6378km, b=6357km
Geoid mit überhöhten Abweichungen.Schwarze Linie = Greenwich-Meridian
Geoid
Kapitel 5 Rotation
Übungsaufgaben zu RotationRotation: Zentrifugalkraft1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden.a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen das irdische Schwerefeld (g=10ms-2) vorzutäuschen? /(0,3s-1)b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s)c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den Wohnräumen? (32ms-1)2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt.a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h. (710N)b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um diese Forderung zu erfüllen, wenn der Springer eine Maximalgeschwindigkeit von 105km/h erreichen kann? (87m)
Kapitel 5 Rotation
5.5 Rotationsenergie - TrägheitsmomentDie Translationsenergie beträgt:
2mvE
2
K
m1m2
m3m4
r1
r4
r2
r3Die Massenpunkte haben jeweils andere , ...
4321 m,m,m,m4321 v,v,v,v
2rm
2vmE
2211
211
1K
2rm
2vmE
2222
222
2K
2rm
2vmE
22nn
2nn
nK
……….
Weil n21 ...
2rm...
2rm
2rmE
22nn
2222
2211
rot
Kapitel 5 Rotation
2rm...
2rm
2rmE
22nn
2222
2211
rot
22nn
222
211rot )
omentTrägheitsm...Irm...rmrm(
21E
2IE
2
rot
Rotationsenergie
m1m2
m3m4
r1
r4
r2
r3
Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand der Masse vom Drehzentrum ab.Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse bei der Translationsbewegung.Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu bestimmen. Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit Integralrechnung 8. Klasse)
Kapitel 5 Rotation
Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse): 2
mrI2
5mr2I
2
Kugel:
Versuch:Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten?
Ergebnis: Der Vollzylinder.
Ansatz: 2I
2mvmgh
22
Hohlzylinder: 2
22222
mvrv2
mr2
mv2
I2
mvmgh
ghv
Vollzylinder: 2
22222
mv43
rv22mr
2mv
2I
2mvmgh
3gh4v Im Hohlzylinder steckt
mehr Rotationsenergie.
Kapitel 5 Rotation
Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt:
Schwungräder (bei Dampfmaschine, Automotoren, ...)
Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst unruhiger Lauf).
Kapitel 5 Rotation
5.6 Der Drehimpuls Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den Drehimpuls festlegen.
Translation: Impuls p = mv
Rotation: Drehimpuls:
5.6.1 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen SystemTranslation: nn2211 vm...vmvmP
= konstant
Rotation: Gesamtdrehimpuls: ttankonsI...IIL nn2211
Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten.
Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden.
L
IL
Kapitel 5 Rotation
Versuch 1:
Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich.
→ VP rotiert schneller.
Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt.
Mit gestreckten Armen: ttankonsIL 11
Mit angezogenen Armen: ttankonsIL 22
aus 1212 II
Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt.
Kapitel 5 Rotation
Versuch 2:
Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel und hält ein Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Beide sind in Ruhe.
Gesamtdrehimpuls: 0L
Die VP beginnt das Rad von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.
Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn.
2121 LL0LLL
Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP und Rad zur Ruhe.
Kapitel 5 Rotation
Versuch 3
Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein rotierendes Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse.
Gesamtdrehimpuls: RLL
Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht.
Nun bremst die Versuchsperson ab.
R11 LLabgebremstRad
0LL
Kapitel 5 Rotation
Zusatzversuch: VP bekommt wieder das rotierende Rad.Gesamtdrehimpuls: RLL
Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°.
Kapitel 5 Rotation
Gesamtdrehimpuls am Beginn: RLL
Gesamtdrehimpuls nach Drehen der Radachse um 180°:
gedreht
LLL R1
RR1 LLL
R1 L2L
Die Versuchsperson dreht sich in die ursprüngliche Richtung des Rades (vor Drehen) aber mit höherer Geschwindigkeit als im Abbremsversuch.
Kapitel 5 Rotation
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant.
Kapitel 5 Rotation
5.6.2 Das Drehmoment
5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung
Der Hebel
F1
F2
b1b2r1
r2 r
F┴
Wir heben die Last F1. Dazu üben wir eine Kraft F2 längs b2 aus.Arbeit: W1 = W2
F1 b1 = F2 b2
2211 rFrF
Hebelgesetz: 2211 rFrF
Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm
Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der Drehmomente 0 ist.
Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet.
Kapitel 5 Rotation
Wir haben vorausgesetzt. r
┴ F
Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an.
Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm.
Definition des Drehmoments als Vektor:
FrM
M ist ein Vektor in Richtung der Drehachse (Rechtsschraubenregel)
vektorielles Produkt
M = 0 wenn r║ FM = max wenn r ┴ F
Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer Drehbewegung.
r
F
r0
M
. ))F,r(sin(FrM
Kapitel 5 Rotation
5.6.3 Bewegungsgleichung für die Rotation
Analog zu F = m·asetzen wir:
M = I·α wobei: M .... Drehmoment;
I ... Trägheitsmoment;
α... Winkelbeschleunigung
Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment.
Kapitel 5 Rotation
tLMtML
5.6.4 Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System
M
FL
L
Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen.
Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls verändert.
neuL
Kapitel 5 Rotation
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden Drehmoment.
MtL
Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment gleichsinnig parallel einzustellen.Regel vom gleichsinnigen Parallelismus.
Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus.
Kapitel 5 Rotation
F
M L1
LL
r
Kippt man das Fahrrad nach links, entsteht ein Drehmoment, welches eine Richtungsänderung der Radachse nach links hervorruft.
M
ΔL
L
L1
F
Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren.
Kapitel 5 Rotation
Präzession der Erde
L
FZ
FG
FR
M
Sonne
Auf der sonnenzuge-wandten Seite ist die Gravitationskraft größer, auf der abgewandten Seite die Zentrifugalkraft.Die resultierenden Kräfte rufen ein Drehmoment hervor. Erde kippt nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Präzessionskegel.
Diese Präzession dauert 26000 Jahre und hat zur Folge, dass in 13000 Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern.
Kapitel 5 Rotation
5.7 Analogien Translation-Rotation
Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93!Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu!
Größe Formel Einheit Größe Formel EinheitWeg m Winkelweg rad
Geschwindigkeit
Winkel-geschwin-digkeit s
radsm
tsv
t
Translation Rotation
s
Kapitel 5 Rotation
Translation
Zeit
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Masse
Impuls
Impulssatz n.abg.S.
Kinetische Energie
Bewegungsgleichung
t
tva
t
tsv
t tZeit
m
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
Drehimpuls
Trägheitsmoment
Winkelbeschleunigung
Rotationsenergie
Drehimpulss.n.abg.S.
Bewegungsgleichung
I=m·r2
Rotation
vmp
IL
tFp
tML
amF
IMEndeEnde
221
kin vmE 221
rot IE
s