Post on 29-Jan-2021
1
Kinetische Theorie der Gase
2
Zusammenfassung
TNkpVnRTpV
B==
Ideales Gasgesetz
Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur
mol1106.02
hlAvogadroza
23⋅=A
A
N
NAnzahl Atome in 12 g 12C
KmolJ31.8
teGaskonstaneUniversell
⋅=R
R
KJ1038.1
onstanteBoltzmannk
23−⋅==A
B
B
NRk
k
i
fisotherm V
VnRTW ln
derungZstandsänIsotherme
=
0nderung ZustandsäIsochore
==constVW
VpW constp Δ==
nderung ZustandsäIsobare
Möglichkeiten, in einem System eine thermodynamische Zustandsänderung
hervorzurufen
Adiabatische Zustandsänderungkeine Änderung der inneren Energie
3
Zusammenfassung
Atome und Moleküle in einem KastenDruck wird durch Stöße de Moleküle mit den Wänden erzeugt (Impulsübertrag)
2
2,
22,
21,
2
vv
v...vvvgkeitGeschwindi Mittlere
avgrms
Nxxxavg
=
+++=
MRT
rms3v =
mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur
Mittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft höher als die
Schallgeschwindigkeit
Mittlere kinetische Energie eines idealen
Gases unabhängig von Art des Gases
Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküle
TkKE Bavg 23
=
mittlere freie Weglänge
Offene Frage: Wie sind die Geschwindigkeiten in einem Gas verteilt?
4
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
James Clerk Maxwell(1831-1879)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
RTM
RTMP
2vexpv
24v
222
3
ππ
Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat
M: molare Masse
Geschwindigkeit
Wa
hsc
hein
klich
keit
5
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
RTM
RTMP
2vexpv
24v
222
3
ππ
Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat
( ) v2
vexpv2
4vv2
223
dRT
MRT
MdP ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=π
π
Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv
1v2v
( )∫2
1
v
vvv dP
Vorfaktoren sind so gewählt, dass eine Integration über alle möglichen
Geschwindigkeiten die Wahrscheinlichkeit EINS liefert
( ) 1vv0
=∫∞
dP
Geschwindigkeit
Wa
hsc
hein
klich
keit
dv
M: molare Masse
Normierung
6
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
( ) v2
vexpv2
4vv2
223
dRT
MRT
MdP ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=π
π
Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv
mittlere Geschwindigkeit
( )
( )MRTdP
MRTdP
avg
rms
π8vvvv
3vvvv
0
22
0
2
==
==
∫
∫∞
∞
wahrscheinlichste Geschwindigkeit
MRT
ddP
mp2v0
v2 =⇒=
mpv
mp: most probable
Geschwindigkeit
Wa
hsc
hein
klich
keit
Impulse werden stärker gewichtet
Kinetische Energien werden stärker gewichtet
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Geschwindigkeitsverteilung
da die Verteilung der Geschwindigkeiten asymmetrisch ist, ist der Wert für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vrmsgeringer als die mittlere Geschwindigkeit vmpAufgrund des Quadrats in der Berechnung ist die vrms noch höher
Nv: Anzahl der Moleküle mit einem Geschwindigkeitsintervall dvum die Geschwindigkeit v
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GeschwindigkeitsverteilungStickstoffgas aus 10000 Molekülen
Normierung diesmal die Anzahl der Moleküle im Volumen
9
Molare spezifische Wärmeideales Gas
nRTE
TkE
TkKE
Rk
B
Bavg
B
23
23nN
23
int
N
Aint
nN
A
A
=
⇓
=
⇓
=
=
mittlere kinetische Energie pro Atom
innere Energie von n Mol eines idealen Gases
Innere Energie eines idealen Gases hängt einzig und allein von der Temperatur des Gases ab!
Sie hängt von keiner anderen Zustandsvariablen ab.
Warum diese Einschränkung auf ein ideales Gas?Moleküle haben die Möglichkeit
Energie in inneren Freiheitsgradenzu speichern!
Vorläufige AnnahmeGas ist monoatomar
(z.B. He, Ar)
ideales Gas
Stimmt das in jedem Fall?
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Molare spezifische Wärme1. Fall Volumen konstant
TncQ VΔ=Temperatur steigt anDruck steigt anVolumen konstant
VVpppTTT
=Δ+→Δ+→
notwendige Energiemenge
molare spezifische Wörmebei konstantem Volumen
1. Hauptsatz der Thermodynamik
KmolJ12.5
23
23
int
00int
int
int23
int
⋅=
=
⇓
ΔΔ
=
⇓
−Δ=Δ−=Δ
Δ=Δ
==
=
V
V
TnRE
V
WpdVV
c
Rc
TnEc
WTncEWQE
nRTEVergleich zu realen atomaren Gasen
KmolJ12,6
KmolJ12,5
⋅=
⋅=
Arv
Hev
c
c
Der theoretische Wert stimmt gut mit den tatsächlichen Werten überein
KmolJ314.8⋅
=R
11
Molare spezifische Wärme1. Fall Volumen konstant
RcV 23
=TncE
TncE
nRTE
v
v
Δ=Δ=⇓
=
int
int
Gas idealesallgemein
int 23
konstanter DruckÄnderung des Volumens
Änderung von Druck und Volumens
keine Abhängigkeit von Druck oder Dichte des Gases
Änderung der internen Energie bei konstantem Volumen wird nur durch die Temperaturänderung
bestimmt und nicht vom gewählten ProzessEinfacher Weg die Änderung der internen
Energie zu berechnen
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Molare spezifische Wärme2. Fall Druck konstant
TncQ pΔ=notwendige Energiemenge
molare spezifische Wörmebei konstantem Druck
Vp cc > RccRcc
TnRTncTnc
WTncTnc
WTncTnc
WQE
Vp
pV
pV
nRTpV
pV
pd
pV
TncQTncE pV
+=
−=
Δ−Δ=Δ⇓
−Δ=Δ⇓
−Δ=Δ
−=Δ
=
=
Δ=Δ=Δ
Gas ideales
VWconstDruck
int
int c
molare spezifische Wärme bei konstantem Druck ist stets größer als die molare
spezifische Wärme bei konstantem Druck
Q
W
Wärmeenergie erhöht die Temperatur
Arbeit muß aufgebracht werden um den Stempel zu bewegen
Druck bleibt konstant
pdVW =
dVV +
p
V
67.1==V
p
cc
γ
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Molare spezifische Wärmen
AUFFALLENDFür mehratomige Gase
stimmen die Werte von cV und cp nicht mehr mit den berechneten Werten
von 12.5 J/ (mol K) überein
Woran liegt das?
Berechneter Wert für das ideale Gas
( )
67.1
KmolJ814.20
KmolJ314.85.12
KmolJ5.12
==
⋅=
⋅+=+=
⋅=
V
p
p
Vp
V
cc
c
Rcc
c
γ
)( R=
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Gleichverteilung der Energie
Im Gegensatz zu Atomen gibt es bei Molekülen zusätzliche Möglichkeiten Energie zu speichern
Freiheitsgrade
Atomen haben nur drei Freiheitsgrade der Bewegung (Translation in x, y, z Richtung)
3
Zweiatomige Moleküle haben zwei zusätzliche Freiheitsgrade der Rotation und einen Freiheitsgrad der Vibration
Mehratomige Moleküle haben zusätzlich drei Freiheitsgrade der Rotation und drei
Freiheitsgrade der Vibration
=f
6=f
9=f
andere Möglichkeiten der Energiespeicherung
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Freiheitsgrade der Bewegung
Das THEOREM von MaxwellJedes Molekül hat eine bestimmte Anzahl f von
Freiheitsgraden. Diese können unabhängig voneinander Energie speichern. Jeder Freiheitsgrad
verfügt im Mittel über eine Energiegehalt von
Gleichverteilungssatz der Energie
Mol pro 21
Molekül pro 21
RT
Tk
AB N
Rk
B
=
⇓
James Clerk Maxwell(1831-1879)
Molekül Beispiel Freiheitsgrademono-atomares Gas He 3 = 3 x transdi-atomates Gas H2 6 = 3 x trans + 2 x rot + 1 x vibpoly-atomares Gas CH4 9 = 3 x trans + 3 x rot + 3 x vib
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Molare Wärmekapzität
67.1=V
p
cc
29.1=V
p
cc
50.1=V
p
cc
Ideales Gas
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Molare Wärmekapazität von H2
Nach der Quantenphysik können Rotation und Vibration in einem Molekül erst bei Erreichen einer bestimmten Temperatur angeregt werden
oder anders ausgedrückt eine bestimmte minimale Energie ist notwendig, um in einem Molekül zunächst eine Rotation und dann eine Vibration anzuregen
2H
18
Adiabatische Expansionideales Gas
Bei einer Schallwelle wird Energie übertragen. Allerdings wird in der Regel das Medium nicht erwärmt.
einen solchen Prozess nennt man adiabatisch
0=Q
sehr schnell oder innerhalb eines isolierten Behälters
W
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Adiabatische Expansionideales Gas
Erster Hauptsatz Thermodynamik WQE −=Δ int
adiabatischer Prozess
thermisch isoliertQ=0
TncE VΔ=Δ int
pdVW
ppp fi=
≈≈
nahezu keine Druckänderung
ndTdVcp
dTncpdV
V
V
=−
=−⇓
Vp ccVdppdVndT
VdppdVnRT
pVnRT
−+
=
+=⇓
=Änderungen kleine
0=Q
Gesetz des idealen Gases
Vp ccR −=
constpV
constVp
VdV
cc
pdp
V
p
cc
V
p
=
=+⇓
=+
=
γ
γ
γc
lnln
0
nIntegratio
pdpVdVdVdV
cc
pdpVdVdV
ccc
ccVdp
pccdVdV
c
V
p
V
Vp
VpVpV
+=+−
+=−
−
−+
−=−
11
Druck-Volumen Abhängigkeit bei der adiabatischen Expansion eines idealen Gases
20
Adiabatische Expansionideales Gas
W
adiabatischer Prozess
V
p
cc
constpV
=
=
γ
γ
wobei
11
1
−−
−
=
=
=
⇓
=
⇓
=
γγ
γ
γ
γγ
ffii
nRTpV
ffii
VTVTconstTV
constVV
nRT
VpVp
0=Q
druckunabhängig umformen
n, R konstant
Temperatur-Volumen Abhängigkeit bei der
adiabatischen Expansion eines idealen Gases
21
Pneumatisches Feuerzeugadiabatische Erwärmung eines Gases
Adiabatische Komprimierung der Luft durch schnelles Einführen des StempelsKein Austausch der zugeführten Energie mit der Umgebung.
Komprimierte Luft erfährt sichtlichen Temperaturanstieg.
52
,
11
40.1
521
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇓
==
=−
−−
f
iif
ON
ffii
VVTT
VTVTγ
γ
γγGlasrohr
geschlossenes Ende
beweglicher Stempel zur
Druckerhöhung
CTf °= 350
Zündtemperaturen
CTf °= 175ZeitungspapierSchreibpapier
( ) C 480K 547cm³ 1cm³ 10K 300
52
°=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
f
f
T
T
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Nebelkammer
Flüssigkeit und Wasserdampf im thermodynamischen Gleichgewicht
Bildung von Nebeltröpfen, wenn Kondensationskeime vorhanden
Schnelle Expansion sorgt für Abkühlung und Bildung eines
übersättigten Gasgemischs
Nachweis schneller Teilchen und kosmischer Strahlung
Charles Wilson
(1869-1959)
23
Verdampfungswärme
evakuiertes Mantelvolumen
saugfähiges Material, dass Wasser stark adsorbiert
KühlprozessÖffnen des Ventils reduziert Dampfdruck des Wassers Energie für Verdampfung muss durch Abnahme der inneren Energie des Wassers erfolgenFlüssigkeit kühlt sich ab
20% des Wassers verdampft, Restwasser friert ein Kühleffekt: Biertemperatur nach 30 m etwa 7 °C
Regenerierung durch Ausheizen bei 350 °C
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Molare WärmekapazitätFestkörper
Stark nicht-lineares Verhalten von cv bei Abkühlung
quantenphysikalischer Effekterklärt von Peter Debye
0K 0 →⇒→ VcT
KmolJ253 RT⋅
≈→⇒→ RcT V
Regel von Dulong-Petite
gilt für alle Metalle
Pierre-Louis Dulong(1785-1838)
Alexis Petit (1791-1820)
Bei allen Metallen nähert sich bei hoher Temperaturen die molare spezifische Wärme einem konstanten Wert von 3R an
ZusammenfassungZusammenfassungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungGeschwindigkeitsverteilungGeschwindigkeitsverteilung�Stickstoffgas aus 10000 MolekülenMolare spezifische Wärme�ideales GasMolare spezifische Wärme�1. Fall Volumen konstantMolare spezifische Wärme�1. Fall Volumen konstantMolare spezifische Wärme�2. Fall Druck konstantMolare spezifische WärmenGleichverteilung der EnergieFreiheitsgrade der BewegungMolare WärmekapzitätMolare Wärmekapazität von H2Adiabatische Expansion� ideales GasAdiabatische Expansion� ideales GasAdiabatische Expansion�ideales GasPneumatisches Feuerzeug�adiabatische Erwärmung eines GasesNebelkammerVerdampfungswärmeMolare Wärmekapazität�Festkörper