Numerische Lösung des Dirichlet-Problems für die Laplace-Gleichung durch Quasi-Interpolation

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Numerische Losung des Dirichlet-Problems fur die Laplace-Gleichungdurch Quasi-Interpolation

Frank Muller ∗

Universitat Kassel, Fachbereich Mathematik/Informatik

1 Einleitung

Bei der Interpolation von Funktionen mit linearen Splines hat man ein System von Basisfunktionen, das eine Zerlegungder Eins auf einem beschrankten Intervall darstellt. Das Interpolationspolynom ist dann eine Linearkombination der Basis-funktionen. Wahlt man statt einer exakten Zerlegung der Eins eine naherungsweise Zerlegung der Eins, so erhalt man eineQuasi-Interpolation.

Wir werden hier die Losung eines klassischen Dirichlet-Problems fur den Laplace-Operator approximieren. Dazu gehen wirin drei Schritten vor. Zunachst stellen wir die Losung dar als Doppelschichtpotential mit einer noch unbekannten Dichte. Imersten Schritt ersetzen wir die unbekannte Dichte durch dieQuasiinterpolierende. Im zweiten Schritt approximieren wir denIntegralkern, und im dritten Schritt bestimmen wir Naherungswerte fur die Koeffizienten.

2 Quasi-Interpolation von Funktionen

SeienN ∈ N undh = 1/N . Fur u ∈ C2([−1, 1]) definieren wir die Quasiinterpolierende

uh : [−1, 1] → R , uh(x) :=1√2π

N∑

m=−N

u(mh)e−12 (xN−m)2

und erhalten die Abschatzung

∫ 1

−1

|uh(x) − u(x)| dx ≤ max‖u‖∞, ‖u′‖∞, ‖u′′‖∞ (11 · 10−9 + 5h + 2h2).

3 Das Dirichlet-Problem

SeiΩ ⊂ R2 ein beschranktes einfach zusammenhangendes Gebiet mitC2-RandΓ. Weiter seib ∈ C2(Γ). Wir betrachten das

Dirichlet-Problem (DP)

∆v = 0 in Ω, v = b auf Γ.

Aus der Potentialtheorie ist bekannt: Das DP besitzt eine eindeutige Losungv. Diese kann im Inneren vonΩ dargestelltwerden durch das Doppelschichtpotential

(Wϕ)(x) := − 1

Γ

x − y

|x − y|2 · n(y) ϕ(y) ds(y).

Dabei istn(y) die nach außen zeigende Einheitsnormale im Punkty ∈ Γ, und die Dichteϕ ist die eindeutige Losung derIntegralgleichung

1

2ϕ(x) + (Wϕ)(x) = b(x), x ∈ Γ.

Ist γ : [−1, 1] → Γ eine Parametrisierung vonΓ, so erhalten wir fur das Doppelschichtpotential die Darstellung

(Wϕ)(x) = − 1

∫ 1

−1

x − γ(t)

|x − γ(t)|2 · n(γ(t)) ϕ(γ(t)) |γ(t)| dt.

∗ e-mail:fmueller@mathematik.uni-kassel.de

PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 4, 708–709 (2004) / DOI 10.1002/pamm.200410335

© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Setzen wir

u := ϕ γ und f(x, t) :=x − γ(t)

|x − γ(t)|2 · n(γ(t)) |γ(t)|,

so schreibt sich das Doppelschichtpotential einfach

(Wϕ)(x) = − 1

∫ 1

−1

f(x, t) u(t) dt.

4 Das Approximationsverfahren

Wie bereits erwahnt, laßt sich die eindeutige Losungv des DP inΩ darstellen durch das Doppelschichtpotential, d.h. fur x ∈ Ωgilt

v(x) = (Wϕ)(x) = − 1

∫ 1

−1

f(x, t) u(t) dt.

Wir werden im Folgendenv in drei Schritten approximieren, um eine approximative analytische Darstellung ohne Integral-ausdruck zu erhalten.

4.1 Schritt 1 (Approximation von u durch uh)

Dau ∈ C2([−1, 1]) ist, ersetzen wiru durch die Quasiinterpolierendeuh und erhalten

v(x) ≈ − 1

∫ 1

−1

f(x, t) uh(t) dt = − 1

(2π)3/2

N∑

m=−N

u(mh)

∫ 1

−1

f(x, t) e−(t−mh)2

2h2 dt.

4.2 Schritt 2 (Approximation von f(x, t) durch f(x, mh))

Wir betrachten im Integral nurf(x, mh) stattf(x, t) und erhalten

v(x) ≈ − 1

(2π)3/2

N∑

m=−N

u(mh)

∫ 1

−1

f(x, mh) e−(t−mh)2

2h2 dt = − 1

4πN

N∑

m=−N

u(mh) f(x, mh) erf

(

m − N√2

,m + N√

2

)

.

4.3 Schritt 3 (Bestimmung von Naherungswertenum fur u(mh))

Da wir die Dichteϕ nicht kennen, kennen wir auch die Werteu(mh) nicht. Wir werden daher Naherungswerteum fur u(mh)bestimmen. Dazu verwenden wir die Randintegralgleichung.Fur xj := γ(tj) muss gelten

1

2u(tj) −

1

∫ 1

−1

f(γ(tj), t) u(t) dt = b(γ(tj)).

Fordern wir an dieser Stelle Gleichheit, wenn wiru durchuh ersetzen, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem zurBestimmung von Naherungswertenum fur u(mh). Durch

vh(x) := − 1

4πN

N∑

m=−N

um f(x, mh) erf

(

m − N√2

,m + N√

2

)

haben wir dann eine approximative analytische Darstellungder Losungv des DP gegeben.

References

[1] T. Ivanov, V. Maz’ya, G. Schmidt, Boundary layer approximate approximations and cubature of potentials in domains,Preprint No.402, WIAS, Berlin 1998.

[2] V. Maz’ya, G. Schmidt, On approximate approximations using Gaussian kernels, IMA J. Num. Anal. 16 (1996), 13-29.

© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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