Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

1848-1923 1902-1950 1924-

•Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896)

•George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949)

•Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (New York, 1977)

•Mark E.J. Newman: Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law Contemporary Physics 46 (2005) 323-351.

Literatur

Häufigkeitsverteilungen I

M.E.J. Newman (2005)

Körpergröße Geschwindigkeit von Autos

Die Normalverteilung

Carl Friedrich Gauß, 1777-1855

Häufigkeitsverteilungen II

nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)

Städte mit mehr als 10000 Einwohnern

Potenzgesetze

•Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X:

min)1( ,)( XXXAXP

XAP log)1(loglog

•Doppellogarithmische Auftragung:

→ Gerade mit Steigung -(α+1)

•Kumulative Verteilung:

XA

dxxPXQX

)()(

Zipf-Plot

•Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach:

NXXX ....21

/11

rXX r

•Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N

•Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent 1

Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten

aus: Per Bak, How Nature Works(New York, 1996)

1

Pareto-Verteilung von grossen Vermögen

Forbes 400, nach Klass et al. (2007)

Verteilung von Einkommen

Chatterjee et al., 2007

Große und kleine Einkommen

A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005

aus: Capital 26/2007

aus: Capital 26/2007

Was haben Potenzgesetzemit Selbstähnlichkeit zu tun?

Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz

•Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant):

)1()1(

)1()(

)(

)(

bXA

bXA

XP

bXPfür jedes X, b

•Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft

•Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme

Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben

Richter-Skala:

)/log(3

20EEM

E: freigesetzte Energie E0=63 kJ

B. Gutenberg, R.F. Richter 1944

Aussterben biologischer Arten

Aussterbeereignissefür Familien marinerSpezies

M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse

M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

Zahl von Kriegsopfern

L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)

1/f-Rauschen

M.A. Caloyannides (1974)

Frequenzspektrum der Spannungsschwankungenin einem Widerstand:

1,)( fAfS

1/f-Rauschen in der Musik

„Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)

“Wolken sind keine Kugeln,Berge keine Kegel, Küsten-linien keine Kreise. Die Rindeist nicht glatt – und auch der Blitzbahnt sich seinen Weg nicht gerade.”

Benoit B. Mandelbrot

Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie

B. B. Mandelbrot, 1967

How long is the coast of Britain?

Maßstabsabhängige Länge:

21,)1( DAlL D fraktale Dimension

Deterministische Fraktale

Dimension:

46.13log

5logD

“Vicsek-Schneeflocke”

Statistische Skaleninvarianz

JK, P. Meakin (1989)

Simulation der ballistischen Abscheidungunter schrägemEinfall

Diffusion-limited aggregation (DLA)

T.A. Witten, L.M. Sander 1981

Statistische Skaleninvarianz von DLA

P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium

Selbstähnlichkeit in der Geologie

Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

Selbstähnlichkeit in der Geologie

Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

Physics Today 1986

Further progress in this field depends upon establishing a more substantial theoretical base in which geometrical form is deducedfrom the mechanisms that produce it…Without that underpinningmuch of the work on fractals seems somewhat superficial and evenslightly pointless.

Exploring the consequences of self-similaritywas proving full of extraordinary surprises,helping me to understand the fabric of Nature. By contrast, the muddled discussion of the causes of scaling had few charms.

Der kritische Punkt

T. Andrews: “On the continuity of the gaseous and liquid states of matter”Proc. Roy. Soc. (1869)

Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt

T < Tc T = Tc T > Tc

aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999

Skaleninvarianz am kritischen Punkt

Kenneth G. Wilson: Nobelpreis 1982“for his theory of criticalphenomena in connectionwith phase transitions”

Self-organized criticality

Self-organized criticality

Per Bak (1948-2002)

Das Sandhaufen-Modell

Elaine Wiesenfeld

Das Sandhaufen-Modell

•Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1

•Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden → es entsteht eine Lawine

Das Sandhaufen-Modell

•Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz

Experimente mit Langkornreis

Frette et al., Nature 379, 49 (1996)

Schlusswort

„The sandpile theory – self-organizedcriticality – is irresistible as a metaphor.” Al Gore, Earth in the Balance (1992)