Post on 24-Feb-2016
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PlatonischeKörper
PolyederDie 5 platonischen Körper inspirieren
sowohl Wissenschaftler wie auch Mystiker seit Jahrtausenden. Aber wieso gibt es
eigentlich nur 5 regelmässige Polyeder? Nach dieser Lektion haben Sie den Beweis
in der Tasche!
Inhalt des Vortrags1. Platonische Körper in der Philosophie2. Platonische Körper in der Natur3. Platonische Körper in der Chemie4. Begriffsklärung5. Beweis, dass es nur 5 Platonische
Körper geben kann
Platonische Körper in
• Philosophie• Natur• Chemie
In Platons Timaios-DialogPlaton setzt die 5 regelmässigen Körper in
Beziehung zu den Begriffen Erde, Wasser, Luft und Feuer und zum Weltganzen.
Diese Darstellung stammt aus dem Buch „Mysterium cosmographicum“ des Astronomen Johannes Kepler.
Deutung bei Kepler Saturn
KubusJupiter
TetraederMars
DodekaederErde
IkosaederVenus
OktaederMerkur
Kristalle
Salz Fluorit
Pyrit
Coccosphäre der AlgeBraarudosphaera bigelowi
Skelett der Radiolarie circogonia icosaedra
Hepatitis C Virus
Platonische Körper in der Chemie
Ferrimagnetische Struktur von Spinellen
Tetraederlücke
Begriffsklärung
• Polyeder• Einfache Polyeder• Konvexe Polyeder• Platonische Polyeder
Polyeder-BegriffEin Polyeder (Vielflächner) ist ein Teil des
dreidimensionalen Raumes, der von Polygonen (Vielecken) begrenzt wird.
Polyeder-BegriffPolyeder können Löcher und innere Hohlräume haben, die dann ebenfalls von geraden Flächen
und Kanten begrenzt sein müssen.Sie müssen keinerlei Symmetrie aufweisen.
Ein einfaches Polyeder besitzt keine „Löcher“. Das bedeutet, dass sich sein Oberfläche
stetig in eine Kugeloberfläche deformieren lässt.
Einfache Polyeder
Ein Polyeder ist konvex, wenn zu je zwei Punkten aus dem Inneren des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen im Innern des Polyeders verläuft.
Konvexe Polyeder
Nicht-konvexe Polyeder
Definition der Platonischen Körper
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
1. Platonische Körper sind konvex.
Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,
weil er nicht konvex ist.
1. Platonische Körper sind konvex.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.
Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil die Flächen keine regelmässigen Vielecke sind.
1. Platonische Körper sind konvex.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.
Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,
weil verschiedenartige Flächen vorkommen.
1. Platonische Körper sind konvex.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.
Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,
weil nicht an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenstossen.
1. Platonische Körper sind konvex.
2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.
3. Alle Flächen sind kongruent.
4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.
Zusammenfassung der Definition der Platonischen Körper
• lauter kongruente regelmässige Vielecke• lauter kongruente Ecken
• einfach• konvex
Beweis
• Euklid• Polygone• Eck-Konfigurationen• Konstruktionen
Euklid schreibt im 13. Buch seiner Elemente:
Euklid von Alexandria(ca. 340–ca. 270)
„Weiter behaupte ich, dass sich ausser den fünf Körpern kein weiterer Körper errichten
lässt, der von einander gleichen gleichseitigen und gleichwinkligen Figuren umfasst würde.“
e=a und d=b, weilg parallel zu c.a+b+g=e+d+ge+d+g=180° a+b+g=180°
1. Schritt: PolygoneDie Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist gleich
zwei rechten Winkeln.
n=4: I4=2 180°=360°∙n=5: I5=3 180°=540°∙n=6: I6=4 180°=720°∙n=7: I7=5 180°=900°∙usw.
In=(n-2) 180∙
1. Schritt: PolygoneDie Innenwinkelsumme eines n-Ecks ist gleich
(n-2) mal zwei rechten Winkeln.
3180°α = =60°
3
2. Schritt: Regelmässige PolygoneDas regelmässige Dreieck ist das Gleichseitige.
42 180° 360°α = = = 90°
4 4
2. Schritt: Regelmässige PolygoneDas regelmässige Viereck ist das Quadrat.
53 180° 540°α = = = 108°
5 5
Das regelmässige Fünfeck (Pentagon)
2. Schritt: Regelmässige Polygone
64 180° 720°α = = = 120°
6 6
Das regelmässige Sechseck (Hexagon)
2. Schritt: Regelmässige Polygone
Das regelmässige Siebeneck (Heptagon)
75 180° 900°α = = = 128.57°
7 7
2. Schritt: Regelmässige Polygone
n
3 60°4 90°5 108°6 120°7 128.57°8 135°9 140°
10 144°
→ 180°
n
n - 2 180°i =
n
2. Schritt: Regelmässige PolygoneÜbersicht über die Peripheriewinkel
1. An einer Ecke müssen mindestens drei gleiche Flächen zusammenstossen.
2. Die Summe der Peripheriewinkel der Flächen, die an einer Ecke zusammenstossen, muss kleiner als 360° sein, da sonst die Flächen keine Ecke bilden.
3. Schritt: Bedingung
3. Schritt: Gleichseitige DreieckeAn einer Ecke können 3, 4 oder 5 gleichseitige
Dreiecke anstossen, nicht aber 6 oder mehr.
3 Dreiecke3∙60°<360°
4 Dreiecke4∙60°<360°
5 Dreiecke5∙60°<360°
6 Dreiecke6∙60°=360°
7 Dreiecke7∙60°>360°
usw. –unmöglich!
3. Schritt: 1.EckkonfigurationDrei gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
3. Schritt: 2. EckkonfigurationVier gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
3. Schritt: 3. EckkonfigurationFünf gleichseitige Dreiecke an einer Ecke
4. Schritt: QuadrateAn einer Ecke können 3 Quadrate anstossen,
nicht aber 4 oder mehr.
3 Quadrate3∙90°<360°
4 Quadrate4∙90°=360°
5 Quadrate5∙90°>360°
usw. –unmöglich!
4. Schritt: 4. EckkonfigurationDrei Quadrate an einer Ecke
5. Schritt: Regelmässige PentagoneAn einer Ecke können 3 regelmässige Pentagone
anstossen, nicht aber 4 oder mehr.
3 Pentagone3∙108° < 360°
4 Pentagone4∙108° > 360°
5 Pentagone5∙108° > 360°
usw. –unmöglich!
5. Schritt: 5. EckkonfigurationDrei regelmässige Pentagone an einer Ecke
6. Schritt: Hexa-, Heptagone, etc.Drei regelmässige Hexagone bilden keine Ecke!Dasselbe gilt für alle regelmässigen Polygone
mit n > 6.
7. Schritt: Konstruktion
Es kann also nur gerade 5 reguläre, konvexe Polyeder geben, bei denen an jeder Ecke gleich
viele reguläre Polygone anstossen.
Die 5 Platonischen Körper ergeben sich durch Konstruktion aus den 5 erlaubten
Eckkonfigurationen:
Ende des Beweises hx/wzbw/qed
7. Schritt: TetraederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Tetraeder (Vierflach) hat 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten.
7. Schritt: OktaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke vier
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Oktaeder (Achtflach) hat 8 Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten.
7. Schritt: IkosaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke fünf
gleichseitige Dreiecke anstossen.
Das Ikosaeder (Zwanzigflach) hat 20 Flächen,12 Ecken und 30 Kanten.
7. Schritt: Hexaeder (Würfel, Kubus) Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
Quadrate anstossen.
Das Hexaeder (Sechsflach) hat 6 Flächen,8 Ecken und 12 Kanten.
7. Schritt: DodekaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei
regelmässige Fünfecke anstossen.
Das Dodekaeder (Zwölfflach) hat 12 Flächen,20 Ecken und 30 Kanten.
Schlusswort
Ende des Vortrags
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