Post on 10-Feb-2016
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Tensoreigenschaften physikalischer Größen
Physikalische Größen Skalar – Gewicht, Masse, Volumen, Energie, Wärme, Arbeit Vektor – Feldstärke (des elektrischen oder magnetischen
Feldes, …), Gradienten (Temperatur, Konzentration, Wärme, …), Ströme (elektrischer Strom, Diffusionsstrom, Wärmeströmung, ...)
Tensor – mechanische Spannung, Verzerrung, Diffusionskoeffizient, atomare Temperaturschwingungen, …
Tensoren beschreiben Abhängigkeit einer physikalischen Eigenschaft von der kristallographischen Richtung (Anisotropie)
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Tensoreigenschaften physikalischer Größen
Pyroelektrischer Effekt (max. 3 Komponenten)
Elektrische Leitfähigkeit (max. 9 Komponenten)
Diffusionsstrom (max. 9 Komponenten)
Mechanische Belastung und Verzerrung des Kristallgitters (max. 81 Komponenten)
P p T
�j E
�J D c
� �� S
3
Proportionalkonstanten in physikalischen Gleichungen
3
1,
3
1,0
3
1, 0
23
1 0,0
20
2
02
2
00
21
21
21
khkhihk
hhihi
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kh
i
hh
h
iii
XXyXyYY
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XyXyYY
XdXYdX
dXdYYY
XfY
3 9 27 81: 3n+1 Komponenten
4
Tensor
xyzxyzzyxyx
xyzxyzzyxzx
xyzxyzzyxyz
xyzxyzzyxz
xyzxyzzyxy
xyzxyzzyxx
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165646362616
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164544342414
163534332313
162524232212
161514131211
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
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S
S
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5
Atomare Temperaturschwingungen
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n
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332
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11
1
1
2
222exp
2exp
22exp
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332313
232212
131211
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***
2
233231
322221
312121
FβFFB
uuB
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Tensoren und KristallsymmetrieDas Neumann-Prinzip Die Symmetrie einer physikalischen Eigenschaft kann
nicht niedriger sein als die Symmetrie der Punktgruppe des Kristallgitters.
Die Gruppe der Symmetrieoperationen (GT), die eine physikalische Eigenschaft (T) des Kristalls beschreibt, muss alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe K des Kristalls enthalten. Die Gruppe K muss deswegen eine Subgruppe der Gruppe GT sein: K GT.
Spezielle Anwendung: Brechungsindex kubischer Kristalle hat eine Kugelsymmetrie. Das gleiche gilt auch für atomare Temperaturschwingungen.
Oder anders: die höchstmögliche Kristallsymmetrie folgt aus der Symmetrie der physikalischen Eigenschaften.
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Tensoren und KristallsymmetrieDas Voigt-Prinzip Die im Neumann-Prinzip deklarierten Bedingungen sind
automatisch erfüllt, wenn die Komponenten des T-Tensors (Tensor der physikalischen Eigenschaften) gegenüber den Symmetrieoperationen der Symmetriegruppe K (Kristallsymmetrie) invariant sind.
Der Tenzor keiner physikalischen Eigenschaft darf bei den Symmetrieoperationen ändern.
Anwendung: Zusammenhang zwischen einzelnen Komponenten des Tensors T kann durch eine Multiplizierung mit den Matrizen für die Symmetrieoperationen festgestellt werden.
TTMMt
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Voigt-Prinzip – Beispiele
3331
22
1311
333231
232221
131211
333231
232221
131211
22
3332
2322
11
333231
232221
131211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
000
0
100010001
;100010001
00
00
100010001
;100010001
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T11
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MM
MM
TTMM
33
22
11
000000
tt
tT
Erste Spiegelebene
Zweite Spiegelebene
Beide Bedingungen gleichzeitig:
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Voigt-Prinzip – Beispiele
333231
232221
131211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
100010001
;100010001
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
T1
T
MM
TTMM
Inversion:
Keine Einschränkung für den Tensor der physikalischen Eigenschaften
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Tensoren und KristallsymmetrieDas Curie-Prinzip Ein Kristall ändert seine Punktgruppe (Punktsymmetrie)
unter dem Einfluss einer externen Kraft, dass nur die Symmetrieelemente erhalten bleiben, die gleich wie die Symmetrieelemente der belastenden Kraft sind.
~K K G
K ... Punktgruppe der Symmetrieoperation im Kristall
G ... Gruppe der Symmetrieelemente der äußeren Kraft