Trigonometrie

Mathe mit Geonext

Hintergrund

Griechisch:

- trigonon = Dreieck

- metron = Maß

Die Trigonometrie ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik.

Hintergrund

Warum nimmt das Dreieck in der Geometrie so eine wichtige Rolle ein?

Hintergrund

- Aus Dreiecken lassen sich beliebige Vielecke zusammensetzen

- Somit kann man Berechnungen an beliebigen Vielecken oft auf Dreiecksberechnungen zurückführen

Einstieg

In der Realschule werden geometrische Probleme vorwiegend zeichnerisch bzw. durch Konstruktion gelöst.

Einstieg

Konstruktion eines Dreiecks:

1. Welche Bestimmungsstücke gibt es?

2. Wie viele werden zur Konstruktion eines Dreiecks benötigt?

Einstieg

Kongruenzsätze:

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie,

in den drei Seiten (sss-Satz = Seiten-Seite-Seiten-Satz), oder

in einer Seite und zwei Winkeln (wsw = Winkel-Seiten-Winkel-Satz und sww = Seite-Winkel-Winkel-Satz), oder

Einstieg

in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder

in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw = Große-Seite-Kleine-Seite-Winkel-Satz)

übereinstimmen.

Einstieg

Es gibt vier Ähnlichkeitssätze:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)

Einstieg

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. (S:s:W-Satz)

Einstieg

Bis zur 10.Klasse werden in der Realschule geometrische Probleme hauptsächlich graphisch gelöst .

Darunter leidet aber die Genauigkeit der Ergebnisse.

Einstieg

Mess- und Zeichengenauigkeit bei Strecken und Winkeln:

Strecken: höchstens 0,5mm

Winkel: höchstens 0,5°

Einstieg

Tangens

12,0tan

tan100

12%12

m

m

84,6

rechtwinkliges Dreieck

Tangens

Definition:

In einem Dreieck mit γ = 90° gilt:

b

atan

Ankathete

teGegenkatheTangens

???

Aufgabe:

An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die Höhe von 1300m gegenüber NN ablesen kannst. Auf dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500m weit gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe von 1000m gegenüber NN gestartet.

Sinus

54,112,01500

300sin

30010001300

m

m

mmmh

Sinus

Definition:

Im rechwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt:

c

asin

Hypotenuse

teGegenkatheSinus

???

Aufgabe:

Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt. Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf eine Weglänge von 4,8 km. Welche Strecke musst du tatsächlich fahren, um am Ziel anzukommen?

Kosinus

kmkmkm

ss

km877,4

2,10cos

8,4

cos

8,48,4cos

2,1018,0tan

Kosinus

Definition:

Im rechtwinkligen Dreieck mit γ= 90° gilt:

c

bcos

Hypotenuse

AnkatheteusKo sin

Fazit

- Fehlende Bestimmungsstücke können berechnet werden

- Man kann geometrische Probleme nicht nur konstruktiv, sondern auch algebraisch lösen

- Die algebraische Lösung ist genau

Aber:

Bis jetzt haben wir nur ein ganz bestimmtes Dreieck betrachtet!

Das rechtwinklige Dreieck

Was gilt für beliebige Dreiecke?

???

Aufgabe:

Zu den wichtigsten Vorhaben der Chemnitzer Verkehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßenbahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisherigen Streckenführung benutzt. Berechne die Länge der neuen Straßenbahntrasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen werden darf.

Lösung

49sin6,2sin1,4

sin1,41,4

sin

96,149sin6,26,2

49sin

kmkm

kmhkm

h

kmhkmhkm

h

Lösung

59,2848,0sin49sin1,4

6,2sin

1,4

6,2

49sin

sin

km

km

km

km

Lösung

kmsss

kmskm

s

kmskm

s

ges 31,5

6,31,4

59,28cos

71,16,2

49cos

21

22

11

Sinussatz

Für beliebige Dreiecke gilt der

Sinussatz:

a

c

c

b

b

a

sin

sin;

sin

sin;

sin

sin

Einschub

Der Satz von Pythagoras:

Gilt nur für rechtwinklige Dreiecke!

222 cba

Wir suchen aber Beziehungen für beliebige Dreiecke.

Kosinussatz

Für jedes beliebige Dreieck gilt der Kosinussatz:

.cos2

;cos2

;cos2

222

222

222

abbac

abacb

abcba