Post on 18-Mar-2017
This article was downloaded by: [University of Chicago Library]On: 14 November 2014, At: 16:41Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK
Scandinavian Actuarial JournalPublication details, including instructions for authorsand subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/sact20
Über die Grundformeln derInvaliditätsversicherungWilliam Simonsen aa Kopenhagen , DenmarkPublished online: 22 Dec 2011.
To cite this article: William Simonsen (1936) Über die Grundformeln derInvaliditätsversicherung, Scandinavian Actuarial Journal, 1936:1-2, 27-51, DOI:10.1080/03461238.1936.10405436
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/03461238.1936.10405436
PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE
Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all theinformation (the “Content”) contained in the publications on our platform.However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make norepresentations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, orsuitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressedin this publication are the opinions and views of the authors, and are not theviews of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content shouldnot be relied upon and should be independently verified with primary sourcesof information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions,claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilitieswhatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connectionwith, in relation to or arising out of the use of the Content.
This article may be used for research, teaching, and private study purposes.Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly
forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
Uber die Grundformeln der Invaliditatsversicherung.
Von 'rilliam Simonsen (Koponhagon).
1. Zweck diesel' Arbeit ist die Entwicklung des Formelbestandes del' biometrischen Griissen del' Invalidihitsversicheruugunter moglichst allgemeinen, sogleich naher zu priizisierendeu Voraussetzung·en. Bekallntlich hat die Invalidihitsversicherung' in seinen verschiedellen Formen (Pensions- und SoziaJversicherung, Mitversicherung zusatzlicher Invaliditatsrente odeI' Priimienfreiheit im Invaliditatsfall bei Kapitalversicherungen n. a. m.) mit vielen Schwierig-keiten zu kampfen, und zwar Bowohl in praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Auf die praktischen Schwierigkeiten solI hier nicht naher eingegang-en werden, es geniigt auf die diesbezugliche sehr umfangTeiche Literatur zu verweisen; im folgendell wird vorausgesetzt, dass bestimmte Konventionen hinsichtlich solcher Begriffe wie Aktivitat (Enverbs- odeI' Dienstfiihigkeit) und Invalidittit festgelegt worden sind.
Die theoretischen Sch wierigkeiten del' Invaliditiitsvel'sicherung' waren uberwiegend dadurch entstanden, dass man Begriffe benutzte, die zu U nklarheiten Anlass g·aben. Wiihrend man im aHgemeinen in del' Lebensversicherung' mit einer Gesamtheit von Individuen zu tun hat, die nul' infolge einer Abgang'sursache, des Todes, abnimmt, so liegen die Verhaltnisse andel'S in del' Invaliditatsversicherung', in welcher sich die Gesamtheit del' Aktiven allmiihlich durch zwei einander ausschliessende Abgangsursachen: Invaliditat und Tod im Zustande del' Aktivitiit mindert; wird auch die Moglichkeit del' Reaktivierungmit in Betracht gezogen, so werden Reaktiviel'lUlg' und Tod im Zustande del' Invaliditat die Gesamtheit del' Invaliden lichten. Diese Verhiiltnisse hat man anfiinglich
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
28
dadureh zu besehreiben versueht, dass man die sogenannten abhangigen Wahrseheinliehkeiten eingefiihrt hat; z. B. istwie bekannt die abhiingige Invaliditatswahrseheinliehkeit eines x-jiihrig'en Aktiven die Wahrseheinliehkeit, in del' Altersstreeke ,c, x + 1 invalid zu werden, und zwar unter Beriieksiehtigllng' del' gleiehzeitig auftretenden Magliehkeit des tadliehen Abg'anges im Zustande del' Aktivitl1t. Dureh die Anwendung' diesel' Wahrseheinliehkeiten entstanden viele Sehwierig'keiten und Unklarheiten, und dies um so mehr, als man in vielen Fiillen die Anderungen del' Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden dureh populare, abel' oft unzureiehende Annahmen iiber die Verteilung' des Abganges auf das Versieherung'sjahr ohne Zuhilfenahme infinitesimaler Methoden darzustellen versuehte.
Ein wesentlieher Fortsehritt war die Einfiihrung dureh J. KARUpl von den Ausseheideintensitiiten und den damit in Verbindung stehenden unabhl1ngigen (reinen, absoluten odel' partiellen) Wahrseheinliehkeiten, bei denen die betreffende Abgangsursaehe von den ubrigen isoliert erseheint; beispielsweise ist die unabhiingige Invaliditiitswahrseheinliehkeit eines x-jl1hrigen Aktiven die Wahrseheinliehkeit, in del' Altersstreeke :C, x + 1 unter alleiniger Berii.eksiehtigung del' Invalidittit als Ausseheideursaehe invalid zu werden; es wird also fingiert, dass jedes dureh Tod im Zustande del' Aktivitl1t in del' genannten Altersstreeke ausgesehiedene Individuum sofort dureh ein aktives Individuum desselben Alters ersetzt werde.
Dureh die Anwendung del' Ausseheideintensitaten in Ve1'bin dung mit del' Infinitesimalreehnung als notwendigem Hilfsmittel wird eine durehaus bef1'iedigende und alle Einzelheiten beriieksiehtigende Darstellung del' Anderungen del' Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden maglieh; die oben besproehenen (abhangigen und unabhangigen) Wahrseheinliehkeiten sind daIlll im wesentliehell als Hilfsgrassell aufzufassen. Es liegell bekanntlieh mehrere das Problem del' Besehreibung del' Ande-
1 In einem illl Jahre 1875 verfertigt('n Gntachten iiLer Invaliden- und Witwenpensionsverhiiltnisse der Heichsbeamten; s. auch MASIUS' Rundschan der V crsicherungen (1876-1878) n.: Finanzlage der Gotbaischen Htaatsdienerwitwensozietiit am 31. Dezember 1890 (1893).
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
29
rungen del' erwlihnten Gesamtheiten behandelnde Arbeiten VOl', von denen insbesondere die Abhandlungen von L. G. Du PAKQUIER lund E. SCHOENRAUllI 2 hir das folgende von Interesse sind, weil darin das Problem unter sehr allgemeinen Voraussetzungen untersucht wird. Du PASCtUIER betrachtet (1. c.) Gesamtheiten von Aktiven und Invaliden, bei denen ausser Tod (im Zustande del' Aktivitat odeI' Invaliditat) auch Invaliditat und Reaktivierung wirksam sind, und nimmt an, dass slimtliche Intensitaten nul' vom erreichten Alter des betrachteten Indi viduums abhangig seien. SCHOENBA UllI hat 3 die Losung des Problems unter del' wesentlichen Verallgemeinerung del' Voraussetzungen hinsichtlich del' Intensiti'iten durchgefiihrt, dass die Sterbens- und Reaktivierungsintensitiiten del' Invaliden llicht nul' vom erreichten Alter des Invaliden, sondern auch von dessen letzter Invaliditlitsdauer abhangig seien. SCHOE1\:lU. Dr skizziert ferner 4 unter Beibehaltullg" del' genannten Voraussetzungen hinsichtlich del' Invaliden die Losung in dem allgellleinen Falle, dass die Sterbens- und Invaliditatsintensitiiten del' Aktiven yom erreichten Alter und yon del' gesamten Dienstdaner des betreffenden Aktiven abhiingig seien, nilllmt abel' keine Rucksicht darauf, dass die yerschiedenen Intensitiiten auch davon abhiing'en konnen, ob das behachtete Individuum ein odeI' mehrere Male aktiv bzw. invalid gewesen sei.
1m folgenden soll clie Losnng des Problems unter del' Annahme durchg'efUhrt werden, dass die Sterbensintensihiten aktiver bzw. invalider Personen sowie clie Invaliclitiitsintensitiit aktiver und clie Reaktivierungsintensihit inyalicler Personen sowohl yom erreichten Alter des betreffenden Individuums als auch von dessen lctztcr Aktivitats- bzw. Invaliditiitsclauer abhangen. 5 Es wird dabei anfangs (§ 2) vorausgesetzt, class diese
1 Mathematischc TheOl'ie cler lnvaliditiitsversieherung. }Iitt. d. Yerein. sell\\'eiz. Yers. nwth. 8. Heft ,) Ill3'. -
" An\Ycndung der YOLTEHRA'schen Intcgralgleiehungen in <ler mathe, matischen Statistik, Hkand. Aktnarietidskr. VII - YIII (1024-1025).
" Skand, A ktuarietidskr. VII (1924\ p. 25\)-265 u. VIII (I025:, p. 1-8. , Skand, Aktuarietidskr. VIn (1025), p, 14-15 u, 17-22. 5 ,Yir ,veiehen also yon del' SCIIoEKBATnr'schen Darstellnng in dn
Hinsieht ab, dass wir hei den Aktivcn die Hterbens- und Im'ali(litatsintensitiHen nicht durch die tobIe, sondern dureh die znletzt ahgelanfpne Aktivitiitsdallel' charaktcrisieren, wodul'ch cinc einlleitliehp RehancUllngsweise der Intcnsitiiten el'reirht ,,,il'd ..
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
31)
Intensitaten davon unabhangig seien, wie oft das Individuum, der betrachteten Gesamtheit angehol't hat; spater (§ 3) werden WIr diese Voraussetzung fallen lassen.
2. Wir betrachten jetztl eine gemischte Gesamtheit ;r;
jahriger Individuen 7"" von denen l~ vollaktiv (d. i. nie invalid
g>ewesen), l~ reaktiviert und l{ invalid sind; die Gesamtheit del'
Aktiven ist dann l~ = l~ + l~; fiir x = Xo seien l,~ = 0 und
l~ = 0, also lxo = 7;'0 = l~~o' Wir nehmen fiir die beiden Gesamt
heiten del' Reaktivierten und del' Invaliden an, dass alle lndividuen, die in eine diesel' Gesamtheiten im gleichen Alter eingetreten sind (einerlei ob zum ersten, zweiten u. s. w. 1fale) nnd danach ununterbrochen in del' gleichen Zeitdauer del' Gesamtheit angehort haben, derselben Moglichkeit des Ausscheidens aus del' Gesamtheit nnterworfen seien.
Es seien dann .ui~(i], !L~:'il die Sterbens- bzw. Invalidit~its-
intensitiit x-]·iihriz. er Vollaktiven, u[£rll _ /lJi_rl _ (I: ~ a:) die '-' • L;J+::r-.;' I L;J+;C~; :, -
Sterbens- bzw. Reaktivierungsintensihit x-jahriger lnvaliden, die nach Invalidisiernng im Alter g im ununterbrochenen Zustande del' Invalidit~it das Alter x erlebt haben, und ju[~r~""<,
,ui~{~x-; (; ;;:;: x) die Sterbens- bzw. Invaliditatsintensitiit 2 xjiihriger Reaktivierten, die nach Reaktivierung im Alter ~ 1m unnnterbrochenen Zustande del' Aktivitiit das Alter x erlebt haben; ferne1' seien:
1 Hinsiehtlich del' im folgenden vorkommenden Bezpichnungen sci hemerkt, dass ieh cine mit den von J. F. STEFFENSEN in del' Ahhandlung: Some remarks on invalidity functions (Berichte d. IX internat,. c\.ktuarkongresses in Stockholm (1930), Bd. 3, p. 68--77) vorgesehlagenen Pril1zipien iillerf'illstimmende Bezeichnnngsw<,ise benutzt habe, jcdoch mit del' Modifikation, dass ieh statt der 1. c. (p. 70) al1gefiihrtell Indizes CG und f'l die Doppelindizes [ael] und [aiJ bzw. (wenn es sich um Ansscheiden aus der Gesamtheit Reaktivierter handelt) [rdl und [riJ benutze. Die Indizes il, II, i und l' gelten als ,\. bkiirzungen fiir b,nv. »death", »activity", »invalidity" nnd »re-aetiyity", nnd die gcnanntcll Doppelindil'cs dentcn wie anch die Doppelindizes [i rlJ nnd 'i 1'J den thergang von dem dnrch den ersten Index angedeuteten Znstande zu dem dnrch den zweiten bezeiehneten an. Die 1. c. (p. 69) vorgeschlagcne Konvention, wonach Symhole, die durch eillen einzelnell hoehgestellten Index z. B. a, i, r) bezeichnet sind, in dersdben 'Veise ,,-ie die entsprecbendcll Symbole in der Lebensversicberungsmathematik hehandelt wcrden ~ollen, lassen wir anch fiir Symbole gelten, die mittels in eckigm Klammern ges('briebener hochgestellter Doppelindil'es bezeichnet sind.
2 Es ware vielleicht korrekter von »l{e·in Yalidisiernngsintensitiit" zn sprechen.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
:31
(1)
(2)
und (:3 )
,u~~, ,uin+x-; und ,ll[';]+,"_; sind dann die totalen Ausscheidein
tensitiiten del' dl'ei Teilgesamtheiten. Die dl'ei zugehol'ig'en Ausscheideol'dnungen sind dul'ch
und
:r
-.fln~rlH pll = e Xu = III Ita
.t'u: ;i' :r .l"u'
;1' -.r ,nr~l+o-; rI fj
1{';::t. = c :; = l!;j +," _;ll!;]
~r
- /"'[";1+11
J{;: ,.1 = e .; .dO -,
= 11" Ill" ,''+<_, i'] l"'J • ':> c""
(4)
(;) )
(G)
bestimmt; p~:(),. ist die Wahrscheinlichkeit eines xo-jiihrigen
Vollaktiven, das Alter x in demselben Zustallde zu erleben, wiihrend ph].l' (bzw. P e.;] ,x) die Wahrscheinlichkeit eilles im
Alter ~ invalidisiertell (reaktivierten) Illdividuums olme Unterbl'echung des Zustandes del' Invaliditat (Aktivitat) das Alter ;J;
zu erleben ist. Wil' werden bei den folgenden Entwicklungen von den
lntegralgleichungen yom VOLTERRA'schen Typus Gebrauch machen miissen und erwiihnen deshalb ganz kurz das von del' allgemeinen TheOl'ie diesel' Gleichungen \ was wir spiiter brauchen werden. Es geniigt fiir un sere Zwecke die V OL'l'ERRA'sche Integralgleichung zweiter Gattung mit clem Kern K(x,y):
:r
f(x)=cp(x) + IK(x,Y)f(Y)d!l (7)
1 Einc ansfiihrliche Darstellnng giht z. B. ]~. GOURSAT: ('ours d'analysc mathemati(lue. Tome JTr (ilerne ed. 1923), Chap. XXX, p. 323-:341.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
32
~u betrachten, wo j(x) die unbekannte Funktioll ist, und wo rp ee) und K (x, y) bekannte Funktionen sind,. die flir x ;::;; a bzw. im Bereiche x;::;; {{, ({ ~ y ~ x definiert und stetig sind.
Die eindeutig bestimmte Losung del' Gleichul1g Ci) ist clurch
or
j(x) = rp (x) + I r(x, y) rp (y) ely (8) (/
gegebel1, wo del' resol vierende Kern r (x, y) durch
r(x, y) = 11.1 (;x:, y) + "K2 (x, y) + ... (9)
defil1iert ist; die iterierten Kerne ltv (:e,.I/) (v = 1,2, ... ) sind rekursiv durch
.t
11.1(;;c,y)=K(x,y), IC+d:e,y) = IK(X,O)]{, (O,y) dO (v;::;;l) (10) /1
~n bereclmen; sie haben denselben Definitionsbereich wie ]((:/;, y), und die Reihel1entwicklung' in (9) konverg'iert gleich~ mtissig in jedem durch ([ ~ ,7: ~ b, a ~ y ~ x (b belie big' ;::;; (I) begrenztcn Bereich.
Es seien nun l['{l bzw. l{~] zwei Hilfsfnnktionen, die dadurch
definiert sind, dass 'i'i] dx die Menge del' aktiven (vollaktiven
odeI' reaktivierten) Individuen, die in del' Altersshecke x, x + dx invalic1isiert werden, wahrend 'l;:] dx die Menge del' invalid en
lndividuen, die in del' Altersstrecke x,:r + !Ix reaktiviert wer~ den, sind; es ist dann, wie eine einfache Uberleg'ul1g ~eigt:
(11)
x
l{,~ = I 1~1]1{;! . ,. ,H[~r~x-; II ~ (12)
;1'0
und
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
( 13)
·l'u
:l~
r;, = r 'ldl 1{" •. 1: d ~ . (14) '('0
El'setzt man in (11) unc1 (12) :f: unc1 g c1urch ~ bzw. Yj, unc1 seht man c1ie resultierenc1en Ausdrilcke fill' l~lJ unc1 lt~J in (12) bzw. (11) ein, bekommt man:
.l'
li'~ = f'l l' {l[!' iJ 1/- gU.rJ. d 2 + I,I'J ~; [:;J. J: I [~l+x~~ •
:1"
+ r II ~ I 7!;,j pi,'}. ; /If:;iL-,) pb. I: ,fliH'~;i'-; rill (16) :1'0 ;cu
odeI' unter Benutzung del' DIRICHLET'schen Integralformel:
h:1" b 1)
IdxIF(X,y) dy= IdxIF(y,X)rfY (17) (/
durch U mfol'mung del' Doppelintegrale:
:1' J;
7/') =l" U[I,'iJ + j'Z/li d<=j'1/" ll[~rJ -11" fl[riJ dl) [xJ ,I' I .r [;]:' [;J .,)' [;;+1;-; [I,J •. )' [';J+:l'-'; , (18)
:Co .;
.1:
1),' = f' ll~ Il[u iJ 1)i, Il[l:rJ, cl t + [.r] ~;I",; -[.;]:xt'[;]+:I'-.; :,
;1' :r
..L j'UR ltj' ,r 1/[1::'] _1)' U[irJ lit)' (19) I Ln ( :,. P[;].,; 1"'[;J+1;-; , [l;J::l' I [>;J+,(-1i" •
:i'o ,;
:1- 36:301. 8kandinavisk Aktuarietidskri/t 1936,
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
31
setzt man: ,,'
}ii =/1/ '['1: x ['1 ':-~ .,..~
(20)
;
,I'
i.['E: x = I1{]:); ,ui~]i~,;_; p~';J : x .u[:;l'~,/,-)' d r; (21)
und (22)
erhalt man aus (IS) und (19) zur Bestimmung- del' Funktionen 7/;) und li" die VOLTERRA'schen InteQ'ral!deichung-en zweiter [,,] [x] ~ co co
Gattung: ,('
lhi = 1", u[a il + j'l",j Ifi ,d'C [;/'J .1" .r , [,] [;J: ,l' " ,
:r r
lj,' = J lr: Ill."i] A/~' d'C + f t is )"" 1/' ,c [xl ; ~, [,]:" " • (i] Til" ".
,ro
(23)
(2-1)
Dureh Betraehtung- del' Formeln (20), (21) und (22) erkennt man sofort, dass )'U]:", d x (bzw. ){'j, x d x) die Wahrseheinliehkeit
ist, dass ein im Alter ~ (zum ersten, zweiten u. s. w. Male) invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum zum naehsten Male in del' Altersstreeke x, x + dx wieder invalidisiert (reaktiviert) werde, wiihrend AifJ x d:r: die Wahrscheinliehkeit ist, dass ein
im Alter ~ (zum ersten, zweiten u. s. w. Male) invalidisiertes Individuum, nach ununterbrochener Invaliditiit bis zum Alter x, in del' Altersstrecke x, x + dx reaktiviert werde.
Die Gleichungen (23) und (24) lassen eine eillfache Deutungzu; (23) driickt namlich aus, dass die Menge del' in del' Altersstrecke x, x + dx invalidisierten Individuen 7fl1 dx die in
del' genannten Altersstrecke invalidisierten Vollaktiven samt den Invaliden umfasst, die nach Invalidisierung in einem Alter zwischen Xo und .x zum nlLchsten Male in del' Altersstrecke x, ::c + d x wieder invalidisiert werden, wiihrend (24) besagt,
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
dass die Menge del' in del' Altel'sstrecke :c, x + dx l'eaktivierten Individuen ll;~] dx aus den ursprl'tnglich Vollaktiven, die
nach vorausg'ehendel' Invaliditat zum ersten Male in del' genannten Altel'sstrecke reaktiviert werden, und aus den Reaktivierten, die nach Reaktiviel'ung in einem Alter zwischen Xo
und x zum nachsten Male in del' Altersstl'ecke :x:, x + dx wieder reaktiviert werden, besteht.
Setzt man nun in (7)-(10): f(x) = l~:t], rp (x) = l~~ ,u}"'],
K(x,Y)=}-L~]x' a=xo, r(,x,y)=AUJr und K,(x,y)=).U]J:O el'halt man als Losung von (23):
wo
.r
[llj = 1" u[a i] + j'l" u[!' i] Ai.,! 1 I: [ .... ] .1:' ;r .;' .; [;] : x ( ~,
A ii - )'ii + ,ii -+ [n;x - 1 '[~];x "'-[;]::r'
(25)
(v;::; 1), (26)
(27)
Um die Losung' von (24) zu bekommen, setzt man in (7)-(10): ;1:
f( :c) = 1.1" m (x) = j'lll uri'i] i_i./, ell: K (c,Y' 11) = J~.r/' 'I 'I' [:r]' 'Y .; '.; [;J;,. ", '-', J [!I]:X'" = 'A'O,
r(x,y)=AC;;;x und K , (x,y)=,l.r!:;x; man hat dann:
wo
i//' d1J 'I [r,]: x
(v;::; 1),
(28)
(29)
(30)
wird das Doppelintegral in (28) mittels (17) umge£ol'mt, e1'halt man:
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
x X
l.i"=f'lafl[lIiJ(}.i'~ +j'j/:~ Al'l'dn)dE [.1'] ;,; [;J:X l;J: I; ['1;_ :.1: ~ J ~
(31 )
.1'0 .;
oder, wenn man :"1'
Ai'.~ = }il' + f' }il' AI'I' 7 [':;J: t '[;] : .r • TiJ :,; [';J :"' ( 1] (32)
setzt: ;I'
lis = j'la dill] Air iii:.. [,!,] ':;' ;[.:;J:.1: ~
(33) J'o
Die in den Formeln (25)-(33) eing'ehenden GrossenJUJ:""
A[iJ:t' JUi.T' A['8:'" und A!;ix haben trotz ihrem kompliziertell Aufbau recht eillfache Bedeutungen. Durch Rekursion erhellt zunttchst aus (26) und (29), dassJHJx If.x (bzw. Jriix dx) die
,Vahrscheinlichkeit dafiir ist, dass ein im Alter ~ (zu irgend einem Male) invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum, nach gerade y·maliger Reaktivierung (Invalidisierung) in del' Altersstrecke ~,x, wieder in del' Altersstrecke :.c, x + d.x invalidisied (reaktiviert) werde. Aus (27) und (30) geht dann hervor, dass A~iJ:1' dx: (bzw. A[ljl' dx) die Wahrscheinlichkeit dafii.r ist, dass
ein im Alter ~ (IIU irgend einem Male) invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum, nach mindestells eillmaliger Reaktivierung (Invalidisierung) in del' Altersstrecke ~, x, wieder in del' Altersshecke :x:, x + dx illvalidisiert (reaktiviert) werde. Endlich drii.ckt (32) aus, dass AiFJx dx die Wahrscheinlichkeit dafi.'tr
ist, dass ein im Alter ~ (zu irgelld einem Male) invalidisiertes Individuum in del' Altersstrecke x, x + dx reaktiviert werde.
Aus diesen Bemerkullgen erhellt nun leicht die Bedeutung del' Gleichullgen (25) und (33), die als die defillitivell Ausdrucke fiir lUl und li,:] auftreten; diese Ausdriicke sind ausschliesslich
mittels l~: ,lt~ail und del' obenerwiihnten nur von den Ausscheide
illtensitatell Illvalider und Reaktivierter abhiingigen Grossen AU],!' und AUi", aufgebaut. Man sieht, dass die Losung del'
Integralgleichungen (23) und (2-1) fi.i.r l~i; bzw. 't,:] sozusagen
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
37
automatisch einen detaillierten Einblick in die Wanderungsverhiiltnisse zwischen den drei Teilgesamtheiten l~~, l{ und l:~
gibt, so dass man im Stande ist, die Anderungen diesel' Gesamtheiten dmch Wanderung und Tod im Laufe del' Zeit vollshindig zu verfolgen, wie dies aus den Gleichungen:
d -l" = - u" l" dx x •. J: .J:'
(34)
(:36 ) .ro
(36)
die aus (4) bzw. aus (13) und (14) unter Benutzung von (5) und (6) durch Differentiation nach x hervorgegangen sind, erhellt.
Setzt man nun in (13) und (14) die durch (26) bzw. (33) gegebenen Ausdriicke fill' lf11 und ltil ein, erh1:llt man unter
Benutzung von
1.,. = 1:: + l{ + 7::.: (37)
.,.
+ Id~ I1:~llfl"il[AI~1.:;Pb x +Ai~J.:;p[·n.Jd1]. (38)
Wird das Doppelintegral 111 (38) gemass (17) umgefol'mt, bekommt man:
;1:
xd~ + IAiFl"ipc·'il.:cd1JJ d~. (39) ;
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
38
Aus (39) ersieht man, dass 7.,. und demgemtiss die gemischte Sterbensintensitlit
(-W)
durch die iibrigen sechs Ausscheideintensitaten (nach Festlegung von l.,,) vollstandig bestimmt sind. Man sieht unschwer ein, dass die in (39) auftretenden Glieder pf~x = pb:" +
~ ~.
+ f' A[i~J' p[';.J ." elr) und p[i~]'. v = J A[i~J • p[rJ . x. d 1] die Wahr-~ .1i Ji .• 1 ':> •• u ." . '1, '1/ ••
- -
scheinlichkeiten dafur sind, dass ein im Alter ~ invalidisiertes Individuum das Alter x im Zustande del' Invaliditiit bzw. Aktivitiit erlebe.
Aus (39) erkennt man ferner, dass. die Intensitliten fh', u[aiJ u[i:rlJ. u[f'·J. Il[~dJ ~ und ,,[~iJ _ eindeutig (nach Fest-.. ,' ,. [;J+.'-;" [;J+"-;' r- [;J+x-; r[;J+,r-;
legung von l~,~o = l:rol l~~ und damit fl~ und die Sterbensintensitat
vollaktiver Individnen f-l~"(J bestimmen; denn lx ist in dies em
FaIle eine gegebene Funktion, wahrend die jetzt unbekannte Funktion l:~ durch die VOLTERRA'sche Integralgleichung zweiter
Gattullg (39) bestimmt wird. Man sieht also, dass nicht widerspruchslos libel' aIle sieben Intensitaten verfugt werden kann, da sie in allen Fallen (39) zu erfullen haben.
Betrachten wir den von Du P ASQUIER untersuchten :E'all, wo die Ausscheideintensitaten nul' yom erreichten Alter des Indivicluums abhangen, uncl wo zwischen Vollaktiven und Reaktivierten kein Unterschied hinsichtlich del' Moglichkeit des Ausscheiclens (clurch Invaliditiit odeI' Tod im Zustancle del' Aktivitat) besteht, haben wir in den Formeln (2) und (3) einfach die Indizes r~l + x - ~ durch x und}' durch a zu e1'setzen 1., in cliesem Fane ist lhj = ,,[aiJ lli ri.' = Il[iaJ li. pll. =
[l"J r--,r :c' [.rJ r-" .,.' [o;J:"
= l,,~/l~ und pb.c = l;jlJ- Aus (13) und (14) bekommen wir dann:
,;
l~ = l~(~ + ':~ = l~ + l~ J (l1.ll~a]/l'J) d~, (-1,1 )
:1'0
1 "'l'r h'b 1" t t [iaJ t tt [i,·] Be reI en a so Je.z fl., sa· flm+J:-;'
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
( 4:!)
Differenziert man (41) bzw. (42) nach x, erhiilt man:
.r
c.l , lli = - ,u". l(~ r 1 + J' (li ,ali "]jl'_,.') d ~J- + ,U[i 0] 7i , (43) d;r.l .' . .1 ", .1.(
·1'0
:r
zi~ 1::' = - i<. 1;' I (1~ ft~'i]jlD (I"; + It~Oi] 1~; (44) ;:t'li
eliminiert man die in (41)-(44) auftl'etenden Integrale, hat man zur Bestimmung del' Funktionen 1'; und 7:; die zwei simul
tanell linearen Differentialgleichungen erster Ordnung:
If - 7" = - fta 1" + !L.[,i"] 7 . .1,:, !Ix .r .,. .1:
(45)
cl l' . l' I·; 7' - .J = - ft' .J + ItJ"J ' dx .1: ,/" .r .r .r) (+G)
die sich auch leicht durch einfache Uberlegung ableiten lassen. Setzt man in (45) und (46) ,U\~/('l, ,n~(( i], ,It.~ "] und It\i aJ (und
dam it auch ,u~(~ und Il;.) als bekannt voraus, kann die Liisung
diesel' Gleichungen, wie Du PASQUIER 1 gezeigt hat, auf die L6sung einer RICATTI'schen Gleichung zuri.lckg·efiihrt werden. Durch die Substitution 2
l!: = t., . 1':. (47)
g'ehen (46) und (46) in die Gleichungen erster Orclnung mit den Unbekannten t;r und I:: libel':
1 1. e. R 26. 2 Von SCHO:ENBAD[ (1. c. VIII, p. Il) angegeben. Du l'ASQUIER be-
lllltzt die Rllhstitution H (. = - !i 1"11') . , dJJ .,' x
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
40
d - t. + u[ia] t2 + (U i . - /1") t. = (l[ai] (1 X x i;C .c I .1' .f.l I X '
d lb + (ua _ Il[ial t.) I" = 0 cZ:,c ,/: I.r (",!~ ;\, a.: , (49)
von denen (48) eine RICATTI'sche Gleichung ist, deren Lasung im allgemeinen nicht explizite angegeben werden kann. 1st (48) in besonderen Fallen explizite lasbar, ergibt sich sofort aus (49):
X
l" f' [ia] t (8 "' . 1'0 0 (
(~ ·1'0
oder, weil ja 7" = la : • ;('0 ·t'o
x r [i"] t (" 1'0 0 ( "
l~: = l~~' e':l\1 ,
und l~. ist dann auch durch (47) und (50) bestimmt.
Setzt man dagegen voraus, dass !lx, !l~'i], ,u~'dl und ,u~i!l]
(und damit !l;,) bekannt, wahrend !l~ad] (und damit ,u;~ und ':n ZIl bestimmen seien, ein Fall, del' am haufigsten in der Praxis auf tritt, gelingt es leicht, die Lasung von (4-5) und (46) in expliziter Form anzugeben, Ersetzt man ntimlich in (-16) l';. durch Ix - l{, erhult man zur Bestimmung der unbekanntell
Funktion l:~ die lineare Gleichung erster Ordnung':
d l.i + (u i + u[ai]) U = 7. u[ai] d x;r I X . I X J" '.l j;r ' (51)
deren Lasung (unter Beriicksichtigung von It = 0)
;c
1{ = I 1; ,uY'i] W, l;~"']/l~ ly'i;) dg (62)
;1'0
ist; Z:2 iJ ist durch
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
41
:r - f' n[al] dO
[ '1 l' '] .' /I ( [ " ) 111 /, = cal C .r" lal] beliebi!! > 0 X '(0 ·1'0 '-'
(53)
definiert. Ersetzt man nun III (;">2) l:~ durch l." - lZ, hat man als
.A usdruck fiir l'" .t:'
:1:
1':. = 1.1' - 1~, l.~11 i] I (l; ,U~II i]!l1'~"1) d ~ . (5-1)
.to
Differenziert man la, = l~:, + Z{ nach x, bekommt man:
- ,u.,,7., ' {d 1':. + ltl l{ oder, wenn man (-15) und (-16) heranzieht: (X' (X
Il.Z. = ,l[II11] 1') + u lid1 U .C .{; X .1' '.0 .c' (;')5)
deren Bedeutung umuittelbar einleuchtend ist; lost man (55) nach Il~l(I] auf, erhiilt man nach Addition von Il\:'iJ und unter
Benutzung von l.r = l~ + l:~:
[ .] " I] L· ( ,. /1) IlII = U ll1 + ult! + --' u. - Illl( J j.1.: l.-c j .1.: lb j.t r- .1;
.1'
(5G)
und schliesslich 111 mittels x
Die Formeln (54), (5G) und (57) gestatten sehr leicht ellle praktische Verwendung unter Benutzung von Formeln fill' numerische Integration 1 .
3. Wil' geben nun die zum Anfang des vorigen Paragl'aphen erwiihnte Voraussetzung auf, nehmen also an, dass die Moglichkeit des Ausscheidens eines Individuums aus del'
1 Siehe z. B. .J. F. MTEFFENSEN: Interpolation, Baltimore '1927,. RR 12 &. 14.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
.12
Gesamtheit, del' es angehart, ausser von den dort ang'eg'ebenen Argumentell auch davon abh~ingen kanne, wie viele Male es del' Gesamtheit angehart hat. Wir behalten die im vorigell Paragraphen eingefiihrten Bezeichnungen fllr die Ausscheideintensitiiten, jedoch mit dem Unterschied, bei, dass wir durch einen hochgestellten in Klammern gesetzten Index angeben, wie viele Male das. Individuum invalidisiert bzw. reaktiviert geworden ist.
Es sind sodann !ti~l~;'2-..' und !tt~i~;~~.' die Sterbens- bzw.
Reaktivierungsintensitat v-maliger Invalidisierten, !tI1Jt·;~.' uncl
u'~iJJ'~~; die Sterbens- bzw. Invaliditiitsintensitat v-malig'er Reak-, ''''.''[ ."
tivierten; wir haben analog (2), (3), (6) und (6) die Relationen:
;t~
( ). -J P ~' =(' :; [;]; x .
;l'
i +e_:;r!o
f' (I'I r -, It~;l+{I_;dH
1~(1') l' = e ; [;1 :.r
= l(vl i j'z!I" i :;]+.t-; [.'] ,
(6tl)
(59)
(60)
(61)
Bezeichnen wir die Meng'e del' aktiven Individuen, die in del' Altersstreeke x, x + d.:c zum v-ten Male invalidisiert werden, mit I!j !lx, und diejenige Menge del' invaliden Individuen,
die in del' Altersstrecke x, x + d X Z11m v-ten Male reaktiviert
werden, mit lf~.j-i"dx, sind:
lbj = "'.., l',l hj [x] ~ [:rJ ' (62)
1'=1
(63)
BeriicksichtiQ,t man die BedeutunQ' del' Funktionen l(r', iJj '-' LJ l.rJ
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
und ' (I' ~= 1, :.?, ... ), kann lllan die folg-enc1en Rekursions-
formeln aufstellen:
r1' II) = la u[1l i] [.1'] .1' i ,I" '
(v ~ 1), (ti-J.)
·1'0
(65)
'ersetzt man in (65) ; und x durch r; bzw. ;, und setzt man den resultierenden Ausdruck in die zweite Formel (64) ein, el'hiilt man:
.ro :1'0
el'setzt man ferner in (65) v durch I' + 1 und in del' zweiten Formel (64) ; und x durch r; bzw. ;, und setzt man den erhaltenen A usdruck f1ir l[~t' Ii) in die SOdfUlll modifizierte Formel (65) ein, bekommt man:
Formen Wir (66) und (G7) mittels (17) UIll, erhalten WIr die Rekursionsformeln:
or J.'
".+l.l)j = f·l".~! I)) d'c: f'piJ~' i I(J~" fir] -1/':' I' I((.ri [ril d11 (v ~ 1) '. ((is) ~.(~ __ l.;::] :-, ~_ [;j :'1; I' l;]+'l1-'; [,til :.1" I ~'lJ]+.r-I. "j
:ro .;
x :r
7' ',+1' j' =J'll'~1 j S d t:J'l/:~ I' U(l) [l'1: -1/"'+ Ii i U;d 1! JrJ (rl] [.I'J [.;]::' l.; .. : lj j l;j +lj-'; ~l;;:;C • l'll] +X-l; (v~l) (69)
;ru .;
oder, wenn Wll'
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
,!C
l'I"'U=j 'J'l'li U("I[ir] 'il'll' Ui")[l'i] d ':;] ocr _ 1 [;] :'1' [;]+1;-;1 [Iii :.1" [,:I+;r-Ij 1] (I';:;; I), (70)
,;
," AIVirr=j'i','ll' (,l[d] (1'+lli ,lv+I)[irI7 '[;1:.1: P[::1:11 fL[;1+11-;:P[,;] ocr ,U[1;I+x-lj ( 1] (71)
,;
setzen: ;e
l ,v+l)ilj= f'li~)bj}.,(:iiifll: (~' 1) ["I [~I -I,] ,," U " V ~ , (7:! )
Dureh (72) und (73) in Verbindung mit den Relationen:
7(1) hj = In urn i] [.1:] .1" 'i: , (7 -!)
;I'
li l ,)} S = j' l(~ uln i] lil) i l' d l: [;r] ';'; 1;1:"" , (75)
wo
(7 (i)
ist, werden die FUllktionen It;jilj und l'[~r (v = l, 2, ... ) rekur
soriseh vollstandig bestimmt. Man sieht leicht ein, dass },t~li,~ dx (bzw. }'i~j ~.~ dx) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein iIll
Alter ~ zuml'-ten Male invalidisiertes (reaktiviertes) Individuum zum nachsten Male in del' Altersstrecke x, x + dx wieder invalidisiert (reaktiviert) werde, ferner, dass lm ~~ dx die Wahr-
scheinlichkeit eines im Alter ~ illvalidisierten Vollaktiven in del' Altersstrecke .x, x + dx zum ersten Male reaktiviert zu werden ist.
Definieren wir rekursorisch die Funktionen l.ll[~11 ~~ und
,).[w.~ (v=l, 2, ... ) mittels:
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
:r
j<liii=}lllii },l)ii= /' ~Il)ii}il+liidr; 1 T,oJ:o, "[';1 'x ' vi"! "[;1 ,," /' ':,,1, 'i "[1,1,·(, (v ~ 1), (77)
(v ~l), (71-1)
ist }"'~I ii dx (bzw. J,'1,1 rr dx) die Wahrscheinlichkeit dafi'tr, dass J I,J,:( 1 [;J "c
ein im Alter ~ zum ersten Male inva1idisiertes (reaktiviertes) Individuum in del' Altersstl'ecke x, x + d:r: zum (v + 1)-ten ::VIale invalidisiert (reaktiviert) \Verde. Wil' erhalten dann die Formeln:
;1'
l'1'Illj = /' Zl llhj },niidt I.t] I;J 1'-1 "I;jx s (/' > 1), (7D)
(80)
cleren Richtigkeit leicht durch eine einfache Ubedegung- einznsehen ist; wir wollen sie indessen auch rechnerisch mittels Rekursion beweisen. .B'iir v = 2 hat man ja nach (72) und del' ersten Formel m (77) bzw. nach (73) und del' ersten Formel in (78):
;:-
Z)2i II) = J' l'll I)) Jyi if d t [x] [;1 1 [,;J: ,I' " ,
;ro
"0
so dass (79) und (80) fliT v = 2 richtig sind, und nimmt man (79) und (80) als fiir Index v 2) bewiesen au, liefern die Formeln (72) und (73):
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
JG
:t ~
7,,·-'-1).i.< =c f' eF j'I'I!)8 Air'"':),":'l'l'd11 [.).] " [I;J 1'-1 [1;1:; :;I:x 'J . .
.I'U .to
oder, nach Umformung gemilss (17) uud unter Berii.cksichtig·Ullg· von (77) und (78):
womit (79) und (80) bewiesen sind. Wir fonnen zwecks sofortiger Allwendullg den Ausdruck
(80) flir l[~':JJ 8 folgeudermassen um) iudem wir (75) und (74) be
Butzen:
odeI' mittels (17):
:1" ;1'
li'·".i 8 = f' 1'1) I)j de j' A'~I ;1'_ i,l)ll'l' cz,r) [,r] [;] ~ [;] :1; 1 1 [1)]:,~ (v> 1); . .
,to .;
setzell WU':
;r
A,I""I'=A(l'iil' A,l"il'== j'},(~lil' ,_},i1il'l'd11 1 [';]:,1' [-'l:,c' l' [-'l:.r [.;J:1;' 1 [1)J:,r 'J
(v> 1),
(81 )
(82)
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
ist r A[1l ~:,: d.1,' die Wahrscheinlichkeit dafiir, dass ein im Alter ~
zum erst en :Male invalidisiertes Individuum in del' Altersstrecke X, ;r; + dx zum v-ten :Male reaktiviert werde; wir bekommen dann miHels (7-1), (76), (81) und (82):
,,.
(",IJ,'=, f'l'~III),),'llirdt (JI;:;; 1). [.!'] [;]) [;J:;r ., (8:3)
Benutzt man nun (G2) nnd (63), hat man mit Berilcksichtigung von (79) u11(l (813):
,r
11)) = ~ 1'1,,11) = 1,1'11) -L ~ /' 7'1. 11)_ X~I i i d t =. 1'IIIJ) + ["J ~ [.1'J l.r]' ~ [;] I 1 [;]:.,." [xJ
'l'=1 1'-"----'] ~ .tll
+ f'~ 7111 {I) de ~ A,ll,ii [;1 '" ~,. [;];1"
~ l'=l ·1'0
setzt man:
( 8-1)
(86)
ist A,l'iidx (bzw. All\ird;r) die vVahrscheinlichkeit dafllr, class [;]: .I' [;] :.T
ein im Alter g zum ersten :Male invalidisiertes Individuum ill del' Altersstrecke x, x + dx zu irgend einem Male wieder invalidisiert (reaktiviert) werde; man hat dann fiir l~~l u11(l li;~] mit Benutzullg von (7-1), (84) und (86):
l'
1IJj = la, a[a i] + J' l': u[!' i] A(l) i i rU= [.r] :t' .G ';' .; L';]::/.' ~,
( 80)
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
48
;1'
V' = J' l~ u r.(/ i] A'~' iT de. [,r] ;. ; [;J ;cr " , (87)
diese Formeln bringen die Formeln (26) und (33) des vorIgell Paragraphen in Erinnerung, haben jedoch eine ganz andere Struktur, weil AiW; und Al~l;;: nur an Invaliden gekniipft sind,
die zum erst en Male in validisiert sind. Urn Ausdriicke fiir z.~, und Z:~, abzuleiteu, benutzen wir die
leicht einzusehendell Relationen:
OC J< 7i = '" l":")ip(:'i, d':. .r ...::...J [;] [;] :.1' ~,
'1',--,---1 .
(88)
" 0
(8£))
Beriicksichtigen WIr die Relatiollen (79) und (83), haben WIr mit Benutzung von (17):
benutzen Wll' (74), bekommen wir:
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
(90)
(91 )
Setzen WH zur A bkiirzung:
(92)
(93)
ist pJl i.: bzw. pal:,:: die Wahrscheinlichkeit dafiir, dass em llli
Alter ~ ZUIl1 ersten Male invalidisiertes Individuum das Alter I' 1111 Zustande del' Invalidihit bzw. Aktivitiit erlebe; wir haben sodann:
.,.
l.i = J' In. uf!l ilJPi ii d ;: ,0 .;''; [;] :;r :"
( 9-1)
.,.
7-' = J' l(~ u[rl ilJP! ir If t. .r .; j.; , [.;] ::1' :, (95)
"Vir bekoll1men nun schliesslich mit Hilfe del' Relation:
(96)
unter Beriicksichtigung von (94) und (95):
x
l. = 1" -l- J' 1"; 1/[." iJ [1P,) if + 'Yl(~) irj IF. .1 .t·· ;r'; ["l;x 1'[;J,'" " (~)7)
4-36301. Skandinavisk Aktuarietidskrift 1936.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
[")0
Nehmen WIr an, dass !l[~:ilJ, ,U;~(i] und die Intensitiiten u':! lid] _ u(v.! [i1'] _ Il':' [I'd] _ una u '':) [ri] _ fiirv = 1 2 ... bekannt , [;]+,r-;' , [;]-1-:1-;' ~ [;]+x-; I [;]+x-; , ,
seien, bestimmt (97) nach Festlegung von 1"'0 eindeutig Z.e und damit lUX' 1st statt ,LL~( d] die Intensit~it ,ll.r bekannt, liefert (~)7)
zur Bestimmung von l~ eine VOLTERlu'sche Integralgleichung
zweiter Gattung, so dass l~ und damit !l~: und ,U~ldl nach Fest
lecruncr von 1" = 1· eindeuticr bestimmt sind. ~ b J'I);10 b
-1. In den zwei vorigen Paragraphen ist die Darstellung' del' Grundlagen del' Invaliditatsversicherung unter sehr allgeme in en V oraussetzungen durchgefiihrt; diese Voraussetzungen sind so weit gefasst, dass sie aIle in Betracht kommende ziffernIll~issig ausdrnckbare U mstiinde beri:icksiehtigen diirften. Obwohl das auf diesem Gebiet bis jetzt vorliegende Beobaehtungsmaterial li.berwiegend noch zu sparsam odeI' zu unzuverliissig sein moge, um die Bedeutung einiger diesel' U mstande erkennen zu lassen,l durften zukunftige Amvendungen des iIll vorigen entwiekelten Formelapparates nicht ausgesehlossen sein; jedenfalls hat es, wie die in del' Einleitung erliluterten theoretisehen Sehwiel'igkeiten gezeigt haben, grossen Wert an sieh, li.bel' die zu beobachtenden Gl'ossen im vol'aus iIll Klaren zu sein, um die Beobachtungen del'al't anstellen zu konnen, dass sie so unmittelbal' wie miiglieh diese Gl'ossen lief ern.
Die gewonnenen Resultate haben, wenn man passende U mdeutungen del' Ausscheideintensittiten vornimlIlt, ein wei teres Anwendnngsgebiet als die InvalidWitsversieherung·. Wie man leieht einsieht, sind sie auf aIle Gesamtheiten anwendbar, die sich im Laufe del' Zeit in zwei Teilgesamtheiten, analog del' Gesamtheiten von Aktiven (Vollaktiven und Reaktivierten) und Invaliden, sralten, zwischen denen wechselseitig Wanderungen stattfinden, wiihrend del' Tod beide Teilgesamtheiten gleiehzeitig liehtet. Wir el'wahnen von del'artigen Anwendungsgebieten beispielsweise die in del' Bevolkerungsstatistik vorkommenden Ausscheideordnungen Lediger bzw. Verheirateter (Manner odeI' Frauen); es ware hier ein Leiehtes, nach den im
1 Vergleiche z. 1>. die Bemerkungen SCHOENEAUM'S, 1. c. VII, p. 246-255.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14
51
Paragraph en :3 benutzten Methoden auch den Fall zu untersuchen, in welchem die Gesamtheit del' verheiratet Gewesenen in zwei Gesamtheiten: die Gesamtheit Venvittweter und die Gesamtheit Geschiedener gespaltet werde, fiir die verschiedene A usscheideverhiiltl1isse gelten mogen, die iiberdies von del' Anzahl del' vorausg'egangenen Ehen abhiingen konnen, Ein praktisch bedeutnngsvolles Anwendungsgebiet ist (eventuell unter simplifizierenden Voranssetzungen) zweifellos die Krankenversicherung, weil darin die Bedeutung del' im vorigen betrachteten Umstiinde Idarer als in del' lnvaliditiitsversichel'ung hel'Yortritt, Beispielsweise sind die Gesundungs- und Stel'bensintensitaten kranker Personen bekanntlich in weit grosserem Masse yon del' Krankheitsdauel' als yom erreichten Alter abhKngig, und es diirfte sehr plausibel sein, dass die Ausscheideintensihiten sowohl Gesunder als auch Kranker von del' Allllahl del' yorausgegangenell KrankheitsHille beeinfiusst seien.
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
ity o
f C
hica
go L
ibra
ry]
at 1
6:41
14
Nov
embe
r 20
14