Vorlesung Geoinformatik I

0. Einige Grundbegriffe & Grundlagen

Fakultät Forst, Geo- und Hydrowissenschaften, Fachrichtung Geowissenschaften, Professur Geoinformationssysteme

Lars Bernard

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Überblick

Einige mathematische Grundlagen der Geoinformatik

Mengentheoretische Grundbegriffe Grundbegriffe der formalen Logik Grundbegriffe der Graphentheorie

Einige informatorische Grundlagen der Geoinformatik Grundlegende Begriffe Aufbau und Funktionsweise von Computern

Für Nicht-Mathematiker und Nicht-Informatiker…

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Mengentheoretische Grundbegriffe - Wozu?

z.B. für alle Operationen und Algorithmen auf Daten“mengen“

etwa für die relationale Algebra, die wiederum Grundlage der Abfragesprachen für (relationale) Datenbanken ist…

Abfrage in SQL:SELECT HName, HAdresse,

HTelefon, STypFROM Sensoren, HerstellerWHERE Sensoren.HName =

Hersteller.HNameAND Zustand = 'defekt'

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Unter einer Menge A versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen; diese Objekte werden Elemente a der Menge A genannt.

Schreibweise: a ∈ A "a ist Element der Menge A" b ∉ A "b ist nicht Element der Menge A"

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Die Festlegung einer Menge A kann erfolgen explizit durch Angabe aller Elemente, z.B. M = {a, b,..., z}; dies ist nur bei einer endlich grossen Menge möglich.implizit durch Angabe eines Prädikates, d.h. einer charakteristischen Eigenschaft aller Elemente dieser Menge, z.B.:

M = { x | x ∈ Z und x > 0; Z = Menge der ganzen Zahlen }

Die Anzahl M der Elemente einer Menge M heißt Kardinalität von M.

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Beziehungen zwischen Mengen

Transitivität:A ⊆ B und B ⊆ C ⇒ A ⊆ C

TeilmengeA ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) für alle x ∈ AA ⊂ B ⇔ A ⊆ B und A ≠ B (echte Teilmenge)

Gleichheit:A = B ⇔ jedes Element von A ist Element von B und umgekehrt; anderenfalls ist A ≠ B

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Spezielle Mengen:

A × B := {(x,y) ⏐ x ∈ A und y ∈ B}Menge aller geordneten (Koordinaten-)Tupel (x, y)Allgemein: A×B×C usw.Speziell: A×A×A ... ×A := An

z.B. R3 dreidimensionale reeller Zahlenraum

Produktmenge(Kartesisches Produkt):

P(A) = { X ⏐ X ⊆ A } Menge aller möglichen Teilmengen von ABeispiel: A={1,2} → P(A)={∅, {1}, {2}, {1,2}}

Potenzmenge

∅ = { x ⏐ x ≠ x }, auch: { }Leere Menge

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Mengenalgebraische Verknüpfungen:

A \ B = { x ⏐ x ∈ A und x ∉ B}"A ohne B"

Differenzmenge

A ∪ B = { x ⏐ x ∈ A oder (auch) x ∈ B}

Vereinigung

A ∩ B = { x ⏐ x ∈ A und x ∈ B}A und B sind disjunkt, wenn A ∩ B = ∅

Durchschnitt

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Einige Gesetze der Mengenalgebra (etwa zur Vereinfachung komplexer Ausdrücke)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Distributivität

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(gilt ebenso für ∪)

Assoziativität

A ∩ B = B ∩ A (gilt ebenso für ∪)Kommutativität

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Mengentheoretische Grundbegriffe

RelationenEine mittels bestimmter Eigenschaften definierte Teilmenge R ⊆ X×Y der Produktmenge X ×Y heißt eine zweistellige (binäre) Relation R zwischen den beiden Mengen X und Y.Statt (x,y) ∈ R schreibt man auch: xRyAnalog definiert man n-stellige Relationen.

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Relationen

Beispiel 1:"<" ist eine binäre Relation im R2: (x,y) ∈ "<" bzw. x < y

Beispiel 2:"liegt zwischen" = { (a, b, c) ⏐a, b, c ∈ G und c ist ein Punkt auf der Geraden g(a, b)} ist eine dreistellige Relation R ⊆ G×G×G für Punkte eines 2-dim. Gebietes G.

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Eigenschaften von Relationen:

z.B. ist "<" transitivaRb und bRc → aRcTransitiv:

z.B. ist "≤„ antisymmetrischaRb und bRa → a = bAntisymmetrischz.B. ist "=" symmetrischaRb ↔ bRaSymmetrischz.B. ist "≤" reflexivxRxReflexiv

R heißt Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.Die Menge der Elemente, die in Äquivalenzrelation zueinander stehen, bilden eine ÄquivalenzklasseR[x] = { y ⏐ (x,y) ∈ R}. .Mittels Äquivalenzrelationen können also Partitionen (Klasseneinteilungen) in einer Menge gebildet werden.

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Mengentheoretische Grundbegriffe

Äquivalenzrelationen Beispiel:"parallel" ist eine Äquivalenzrelation in der Menge aller Geraden einer Ebene; damit können Klassen paralleler Geraden gebildet werden.

Ordnungsrelationen R heisst eine Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist (z.B. ≤). Ordnungsrelationen sind z.B. für das grössenmässige Sortieren von Daten wichtig.

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Wozu?

Grundbegriffe der formalen Logik z.B. für alle Arten der Verknüpfung von Daten Etwa für Analysen der Art: mein Haus soll nah an der S-Bahn und ruhig gelegen seinoder einen großen Garten haben…Reduzierung der Aussagemöglichkeiten auf wahr oder falsch erleichtert bzw. erlaubt die automatisierte Verarbeitung und Analyse und ist methodische Basis heutiger Rechnerchips

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Grundbegriffe der formalen Logik

Unter einer Aussage versteht man ein natürlichsprachiges Konstrukt, dem man einen der beiden Wahrheitswerte WAHR (W) oder FALSCH (F)zuordnen kann.

Die Bewertung erfolgt nach dem Prinzip tertium non datur(entweder W oder F). fuzzy logic ist eine Verallgemeinerung dieser zweiwertigen Logik.

Beispiele:1. "Die Lufttemperatur liegt unterhalb von Null Grad Celsius"

ist eine Aussage, die W oder F sein kann2. "Regnet es immer noch?" ist keine Aussage.

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Grundbegriffe der formalen Logik

Aussageform: Enthält ein sprachliches Konstrukt anstelle eines konkreten Subjektes nur eine Variable, so handelt es sich um eine Aussageform

Beispiel: "X < 0 °C" ist eine AussageformWird X an ein konkretes Subjekt gebunden, entsteht eine wahre/falsche Aussage:"Die Lufttemperatur ist < 0 °C" kann W oder F sein.

Tautologie: Aussageformen, die bei jeder Bindung der Variablen eine wahre Aussage ergeben

Beispiel: "X < 0°C oder X > 0°C oder X = 0 °C"

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Grundbegriffe der formalen Logik

Verknüpfung von Aussagen Umgangssprachlich und, oder, wenn…dannFormal: Wenige, eindeutig definierte Junktoren (Wahrheitstafeln)

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Grundbegriffe der formalen Logik

Formeln der Aussagenalgebra Komplexe Aussageformen, die durch Verknüpfung mehrerer Aussageformen entstanden sind

Beispiel: (A ∧ B) → (A ∨ B)übrigens eine Tautologie…

Beispiel: Die Subjunktion "ein Viereck ist rund" → "5 < 2" ergibt eine wahre Aussage …nach dem formal-logischenPrinzip "ex falso quod libet" !...

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Grundbegriffe der formalen Logik

Schlussregeln Mittels sogenannter Schlussregeln lassen sich wahre Aussagen bzw. Aussageformen (also Tautologien) in andere Aussageformen umwandeln. So lassen sich komplexe logische Formeln vereinfachen.Mit den de Morgan‘schen Regeln kann weiterhin jede Formel so reduziert werden, dass nur die Verknüpfungen UND, ODER und NICHT (∧, ∨, ¬ ) benötigt werden!…letztlich kann so jede Aussageform in eine (elektronische) logische Schaltung abgebildet werden (Halbleiter)…

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Grundbegriffe der formalen Logik

Beispiel einer praktischen Implementierung: Volladdierer

DezimalBinärdarstellung

100101a+b =

510111b =5101a =

20212223Beachte:0+0=00+1=1+0=11+1=0 mit Übertrag 1

Allgemein:Übertrag an Stelle i: Üi; Summe an Stelle i: S; Ü1 = A0 ∧ B0 S0 = (A0 ≠ B0)Ü[i+1] = (Ai ∧ Bi) ∨ (Ai ≠ Bi) ∧ Üi (i = 1, . . . n-1)Si = (Ai ≠ Bi ≠ Üi) (i = 1, . . . n-1)

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Wozu?

Grundbegriffe der GraphentheorieFür alle Analysen von Nachbarschaftsbeziehungen (Topologie)Etwa Streckenberechung in Netzen Konsistenzbestimmungen Aber auch Datenstrukturierung (Bäume)…

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Grundbegriffe der Graphentheorie

Ein Graph besteht aus Kanten (Abk. e von edge) und Knoten (Abk. v von vertex), wobei eine Kante durch zwei Knoten gebildet wird

Zwei Knoten heißen adjazent (benachbart), wenn sie zu einer gemeinsamen Kante gehören; diese beiden Knoten heißen dann inzident zur betreffenden Kante.

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Grundbegriffe der Graphentheorie

Beispiel:Graph G = (V, E) mitV = {v1, v2, v3} und E = {e1, e2, e3}wobei e1 = (v1, v2); e2 = (v2, v3); e3 = (v3, v1)

Adjazenzliste zur einfachen „Speicherung“ eines Graphen:Für Graph mit n Knoten ist dies eine Liste aus n Elementen;Jedes Element ist eine knotenspezifische Liste, die einen Knoten und alle seine Nachbarknoten aufführt.Hier: { [v1, v2, v3], [v2, v3, v1], [v3, v1, v2] }…natürlich hoch-redundant

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Grundbegriffe der Graphentheorie

Spezielle GraphenIn einem zusammenhängenden Graphexistiert für je zwei verschiedene Knoten x und y stets ein Weg von x nach y.

- Ein Weg von x (Anfangsknoten) nach y (Endknoten) ist eine nicht-leere, endliche Liste von paarweise adjazenten Kanten.

In einem gerichteten Graph bestehen alle Kanten aus geordneten Knoten-Paaren (= Vorgänger-Knoten und Nachfolger-Knoten).

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Grundbegriffe der Graphentheorie

Spezielle GraphenEin Graph, bei dem alle Knotenpaare adjazent sind, heißt ein vollständiger Graph und ist ausschließlich zyklisch (…etwa Kataster). Die Zyklen bilden Maschen/Flächen f (engl. faces).

Die (isomorphe) Abbildung planarer Graphen in der 2D-Ebene hat ausschließlich Knoten als Schnittpunkte von Kanten

In planaren Graphen gilt der Eulersche Satz (Konsistenzbestimmung): V+F = E +Smit Anzahl Knoten V, Maschen F, Kanten E und zusammenhängenden Teilen S

Masche f

planar

nicht planar

V = 3F = 1E = 3S = 1

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Grundbegriffe der Graphentheorie

Spezielle Graphen – Bäume:Ein Baum ist ein zusammenhängender, schleifenloser, gerichteter Graph (...Fluss). Ein Wurzelbaum ist ein Baum, der genau einen Knoten ohne Vorgänger-Knoten besitzt (Wurzel). Alle anderen Knoten besitzen genau einen Vorgänger-Knoten ('Vater'). Knoten ohne Nachfolger-Knoten ('Sohn') heißen Blatt (…wichtig etwa für Datenstrukturen).In einem Binärbaum, hat jeder Knoten höchstens zwei Söhne (linker & rechter Sohn; …wichtig etwa für die Suche). Vereinfachung des Eulerschen Satz: E = V - 1

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Überblick

Einige mathematische Grundlagen der Geoinformatik

Mengentheoretische Grundbegriffe Grundbegriffe der formalen Logik Grundbegriffe der Graphentheorie

Einige informatorische Grundlagen der Geoinformatik Grundlegende Begriffe Aufbau und Funktionsweise von Computern

Für Nicht-Mathematiker und Nicht-Informatiker…

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Der Prozessor führt die Anweisungen des Programms aus.

Der Hauptspeicherenthält das auszuführende Maschinenprogramm und nimmt die Daten auf.

Der I/O-Controller (E/A-Kanal) führt die Kommunikation mit der Umwelt (Peripherie) des Computers durch.

Das Bussystem stellt die Verbindungen zwischen diesen Komponenten her.

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Charakteristika von Prozessoren Taktfrequenz:

- Häufigkeit des Wechsels der Schaltzustände im Prozessor pro Sekunde;

- je höher desto schneller ist der Prozessor; Maßeinheiten = MHz, GHz (MegaHerz, GigaHerz)

Internes Datenformat: - Anzahl der Bit die in einer Takteinheit gleichzeitig verarbeitet werden können

(je breiter desto schneller)Externes Datenformat:

- Anzahl der Bit, die in einer Takteinheit zwischen Prozessor und Hauptspeicher ausgetauscht werden können; ("Datenbus - Breite„)

Physikalischer Adressraum: - Anzahl der Speicherzellen, die für Programm, Daten und Systemsoftware

maximal adressierbar, also mit Daten belegbar sind; Maßeinheit MB/GB; Maximale Rechenleistung:

- Theoretisch auf Grund der Taktfrequenz und der Datenformate erreichbare Rechenleistung,

- Einheit MIPS = million instructions per second

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Charakteristika des Hauptspeichers(Arbeitsspeicher)

ROM: - Read Only Memory- Beim Startvorgang (boot)

wird aus dem ROM (Lese-Speicher) zunächst ein Kernprogramm in den Arbeitsspeicher geladen. Dies lädt dann maschinenspezifische Daten und einen Teil des Betriebssystems in den Arbeitsspeicher.

RAM: - RAM-Speicher (Random Access Memory)

Der eigentliche Hauptspeicher mit Schreib- und Lese-ZugriffCache

- Spezieller Puffer-Hauptspecher zwischen dem Prozessor und dem eigentlichen Hauptspeicher

- enthält jeweils die am häufigsten benutzten Daten, Befehle oder Adressen

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Charakteristika des I/O-ControllerKommunikation

- über Hardware-Schnittstellen (Ports) und Software-Schnittstellen (Treiber):

Beispiele für Standards für Hardware-Schnittstellen bei PCs: 1. Serielle Schnittstelle (auch: V24 oder COM)

– alter, langsamer jedoch recht einfacher Standard; in Industrie-Peripheriegeräten immer noch sehr verbreitet (Sensoren!)

2. Parallele Schnittstelle (auch: Centronics oder LPT): - Ebenfalls älterer Standard, Datenwerden parallel übertragen

3. Universal Serial Bus (USB)- Neuerer Schnittstellentyp, mit sehr schnellen Datenübertragung - Erlaubt hot-link: jeweiliges Peripheriegerät kann bei laufendem Rechner

angeschlossen werden, der jeweilige Gerätetreiber wird automatisch erkannt

4. FireWire-Schnittstelle (IEEE 1394, i.link): - Neuerer Schnittstellentyp mit extrem schneller Datenübertragung, (Audio-

und Videodaten, externer Festplattenlaufwerke)

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Bus-Systemstellt die Verbindungswege zwischen den Funktionseinheiten des Computers her. Funktioniert nach dem Prinzip einer Sammelleitung Es werden Datenbus, Adressbus und Kontrollbus unterschieden

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Aufbau und Funktionsweise von Computern

Externe SpeicherMagnetplatten (Festplatten)

- Magnetisches Speicher-Medium bestehend aus übereinander angeordneten rotierenden Platten mit Schreib-/Leseköpfen.

- Erlauben schnellen Zugriff und werden als Fest- oder Wechselplatten genutzt; gezieltes Lesen und Schreiben von Dateien.

- Meist genutzt zur Daten-Bearbeitung CD-ROM, DVD

- Ähnlich der Audio-CD (Lasertechnik); Kapazität 650 MB bei CD-R/RW; relativ langsam; DVDs sind CD-ähnliche Medien mit sehr hoher Speicherkapazität (4,7 GB bei DVD-R/RW)

- Meist genutzt zur DatenarchivierungUSB Sticks

- Wiederbeschreibbare Flash-Speicher die über den USB Port angeschlossen werden

- Meist genutzt zum Daten-Austausch…

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Aufbau und Funktionsweise von ComputernBetriebssystem bündelt

Basis-Schnittstelle zum Anwender (Betriebssystem-Kommandos) Manipulation von Daten und Dateien (z.B. Kopieren, Löschen) Ansteuerung von Peripherie-Geräten (Tastatur, Monitor, Disketten, Festplatten, Drucker)

(Aktuelle) BeispieleWindows (Microsoft): Leistungsfähiges 32bit-Betriebssystem für PC und Workstations; in mehreren Varianten für Clients und Server verfügbar (z.B. Windows XP) UNIX (ULTRIX/DEC, Solaris/SUN, HP-UNIX…) : Betriebssystem für leistungsfähige Rechner (Workstations); leichte Vernetzbarkeit, gute Sicherungsmöglichkeiten gegen unerlaubten Zugriff; relativ kompliziert in der Wartung; diverse, nicht immer kompatible UNIX-DerivateLINUX (Open Source): Als Alternative zu UNIX von einer internationalen Entwicklergemeinschaft im Internet entwickelt; praktisch kostenlos; großer Pool kostenfreier Software verfügbar

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Aufbau und Funktionsweise von Computern‚Gesetz‘ von Moore (1970/65):

Anzahl an Transistoren auf einem handelsüblichen Prozessor verdoppelt sich ca. alle achtzehn Monate

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Mooresches_Gesetz

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Literatur und Referenzen…

Umfassende (Schul-)Formelsammlung

Bartelme, N. (2000): Geoinformatik – Modelle, Strukturen, Funktionen.

Bill, R. (1999): Grundlagen der Geoinformationssysteme. Band 1 & 2. Heidelberg, Wichman.

Worboys, M. F. (1995). GIS - A Computing Perspective. London, Taylor & Francis.